2023届高考数学二轮复习专题六解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质学案

第2讲　圆锥曲线的定义、方程与性质

1.[圆锥曲线的定义](2021·新高考Ⅰ卷,T5)已知F1,F2是椭圆C:

+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　C　)

A.13 B.12 C.9 D.6

解析:因为F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,所以|MF1|+|MF2|=6,

又|MF1|·|MF2|≤()2=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,取等号,

所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.故选C.

2.[圆锥曲线的方程](2022∙全国甲卷,T11)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为(　B　)

A.+=1 B.+=1

C.+=1 D.+y2=1

解析:因为离心率e===,解得=,b2=a2,

A1,A2分别为C的左、右顶点,则A1(-a,0),A2(a,0),B为上顶点,所以B(0,b),

所以=(-a,-b),=(a,-b),因为·=-1,所以-a2+b2=-1,将b2=a2代入,解得a2=9,b2=8,

故椭圆C的方程为+=1.故选B.

3.[抛物线的性质](多选题)(2022·新高考Ⅱ卷,T10)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则(　ACD　)

A.直线AB的斜率为2

B.|OB|=|OF|

C.|AB|>4|OF|

D.∠OAM+∠OBM<180°

解析:对于A,易得F(,0),由|AF|=|AM|可得点A在FM的垂直平分线上,则点A的横坐标为=,代入抛物线方程可得y2=2p·=p2,则A(,),则直线AB的斜率为=2,A正确;

对于B,由斜率为2可得直线AB的方程为x=y+,联立抛物线方程得y2-py-p2=0,设B(x1,y1),则p+y1=p,则y1=-,代入抛物线方程得=2p·x1,解得x1=,则B(,-),则|OB|==≠|OF|=,B错误;

对于C,由抛物线定义知|AB|=++p=>2p=4|OF|,C正确;

对于D,·=(,)·(,-)=·+·(-)=-<0,则∠AOB为钝角,

又·=(-,)·(-,-)=-·(-)+·(-)=-<0,则∠AMB为钝角,

又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°,则∠OAM+∠OBM<180°,D正确.故选ACD.

4.[圆锥曲线的性质](2022·全国甲卷,T15)记双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值　　　　. 

解析:因为双曲线C:-=1(a>0,b>0),所以C的渐近线方程为y=±x,

结合渐近线的特点,只需0<≤2,即≤4,可满足条件“直线y=2x与C无公共点”,

所以e==≤=,又因为e>1,所以1<e≤.

答案:2(满足1<e≤皆可)

5.[抛物线的方程](2021·新高考Ⅰ卷,T14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为　　　　　　　　　. 

解析:由题意,不妨设P在第一象限,则P(,p),kOP=2,因为PQ⊥OP,所以kPQ=-,

所以直线PQ的方程为y-p=-(x-),

当y=0时,x=,因为|FQ|=6,所以-=6,解得p=3,所以抛物线C的准线方程为x=-.

答案:x=-

　　圆锥曲线的定义方程和性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:

(1)利用圆锥曲线的定义求解圆锥曲线的方程,利用定义实现距离的转化都是高考常见的命题方向,多以选择题、填空题的形式考查,难度中等,主要考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

(2)利用圆锥曲线的几何性质解决问题是高考的重点,尤其是椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐近线等,多以选择题、填空题的形式命题,难度中等,主要考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

热点一　圆锥曲线的定义与标准方程

(1)圆锥曲线的定义.

①椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).

②双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|).

③抛物线:|PF|=|PM|,l为抛物线的准线,点F不在定直线l上,PM⊥l于点M.

(2)求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”.

所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值.

典例1　(1)已知F是椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点,椭圆E上一点P(2,1)关于原点的对称点为Q,若△PQF的周长为4+2,则a-b=(　　)

A. B. C. D.

(2)已知A,B是抛物线y2=8x上两点,当线段AB的中点到y轴的距离为3时,|AB|的最大值为(　　)

A.5 B.5 C.10 D.10

解析:(1)因为P与Q关于原点对称,则Q(-2,-1),所以|PQ|=2=2,

又△PQF的周长为|QP|+|PF|+|QF|=4+2,所以|PF|+|QF|=4.

设椭圆的右焦点为M,则由椭圆的性质,得|PF|=|QM|,所以|QM|+|QF|=2a=4,所以a=2.

将点P(2,1)代入椭圆方程,得+=1,则b=,所以a-b=2-=.故选A.

(2)

设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,线段AB的中点为M.如图,分别过点A,B,M作准线l的垂线,垂足分别为C,D,N,连接AF,BF.因为线段AB的中点到y轴的距离为3,抛物线y2=8x的准线l:x=-2,所以|MN|=5.因为|AB|≤|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=10,当且仅当A,B,F三点共线时取等号,所以|AB|max=10.故选C.

(1)方法技巧:回归定义,借助几何条件解题.

涉及圆锥曲线上的点与焦点的问题,一般都与圆锥曲线的定义有关,解题的关键一是回归定义,二是分析图形的几何关系.

①椭圆、双曲线定义的应用,主要是关联焦点三角形的周长和面积问题,注意正弦定理、余弦定理(涉及最值问题时常用到基本不等式)在解题中的应用.

②抛物线定义的应用,主要是利用定义确定动点的运动轨迹是不是抛物线的问题,涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题等,注意在解题中利用两个距离之间的相互转化.

(2)常用结论:焦点三角形问题.

焦点三角形是椭圆、双曲线中特有的几何图形,与其面积有关的常用结论有:

①椭圆+=1(a>b>0)中,若P是椭圆上的点,F1,F2是两个焦点,且∠F1PF2=θ,则=|PF1|·|PF2|·sin θ=b2tan .

②双曲线-=1(a>0,b>0)中,若P是双曲线上的点,F1,F2是两个焦点,且∠F1PF2=θ,则=|PF1|·|PF2|·sin θ=.

热点训练1　 (1)已知双曲线x2-5y2=25上一点P到其左焦点F的距离为8,则PF的中点M到坐标原点O的距离为(　　)

A.9 B.6 C.5 D.4

(2)(多选题)在△ABC中,AB=4,M为AB的中点,且|CA-CB|=|CM|,则下列说法中正确的是(　　)

A.动点C的轨迹是双曲线

B.动点C的轨迹关于点M对称

C.△ABC是钝角三角形

D.△ABC面积的最大值为2

解析:(1)由x2-5y2=25,得-=1,则a2=25,b2=5,所以c2=30,所以a=5,b=,c=.

设双曲线的右焦点为F1,因为点P到其左焦点F的距离为8<a+c=5+,所以点P在双曲线的左支上,

所以|PF1|-|PF|=2a=10,所以|PF1|=18,因为M为PF的中点,O为FF1的中点,所以|OM|=|PF1|=9.故选A.

(2)

以点M为坐标原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.设|CM|=r,此时点C在以点M为圆心,r为半径且不过x轴的动圆上.由|CA-CB|=r知,点C在以A,B为焦点,a=的双曲线-=1(a>0,b>0)(y≠0)上,且a2+b2=()2=4.对点C(x,y)有x2+y2=r2,-=1,从而y2=r2(16-r2)(y≠0),当r2=8时,y2最大,故|y|≤,S△ABC≤2,故D正确;

当r=2时,得到另一个C点C′,此时△ABC为直角三角形,故C错误;

因为|CA-CB|非定值,所以C不以双曲线为轨迹,故A错误;

因为|CA-CB|=|CM|,所以一定有C关于M的对称点关于原点对称,故B正确.故选BD.

热点二　椭圆、双曲线的性质

(1)求离心率的两种方法.

①求出a,c,代入公式e=.

②根据条件建立关于a,b,c的齐次式,消去b后,转化为关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.

(2)与双曲线-=1(a>0,b>0)共渐近线bx±ay=0的双曲线方程为-=λ(λ≠0).

典例2　(1)(2022·河北沧州模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,M为OA的中点,P为双曲线C右支上一点且PF2⊥F1F2,且tan ∠PF1F2=,则下列说法错误的是(　　)

A.C的离心率为2

B.C的渐近线方程为x±y=0

C.PM平分∠F1PF2

D.=+

(2)已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F向双曲线C的一条渐近线作垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B,O为坐标原点.若|OF|=|FB|,则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A.y=±x B.y=±2x

C.y=±x D.y=±x

解析:(1)由题设F1(-c,0),F2(c,0)且c>0,又PF2⊥F1F2,所以|PF2|=,而tan ∠PF1F2==,故=,

由b2=c2-a2,则(2c+a)(c-2a)=0,a>0,c>0,故c=2a,所以C的离心率为2,A正确;

由上可得b2=3a2,故C的渐近线方程为y=±x=±x,B错误;

由|PF2|==3a,则|PF1|=2a+|PF2|=5a,故=,而M为OA的中点,则|MF1|=c+=,|MF2|=c-=,

故=,由角平分线的性质易知,PM平分∠F1PF2,C正确;

=+=+=+(+)=+,D正确.故选B.

(2)

如图所示,过点F(c,0)向双曲线C的另一条渐近线作垂线,垂足为D,双曲线的渐近线方程为y=±x,则点F(c,0)到渐近线的距离d==b,

即|FA|=|FD|=b,则|OA|=|OD|=a.

又|OF|=|FB|,所以△OFB为等腰三角形,则D为OB的中点,|OB|=2a.

在Rt△OAB中,|OB|=2|OA|,知∠AOB=60°,

所以∠AOF=30°,=tan 30°=.

故双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选A.

(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是确立一个关于a,b,c的等量关系或不等关系,然后用a,c代换b,进而求的值.

(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值,也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到.

热点训练2　 (1)(2022·江西抚州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1,F2,其离心率为e=,点P为该椭圆上一点,且满足∠F1PF2=,已知△F1PF2的内切圆的面积为3π,则该椭圆的长轴长为(　　)

A.2 B.4 C.6 D.12

(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,渐近线上一点P满足·=0(O为坐标原点),∠OPF1=30°,则双曲线C的离心率为(　　)

A. B. C. D.

解析:(1)因为离心率为e=,所以=,即a=2c,c=a,

再由△F1PF2的内切圆的面积为3π,设内切圆的半径为r,则πr2=3π,所以r=,

设|PF1|=m,|PF2|=n,则由椭圆的定义可知m+n=2a,

在△F1PF2中,∠F1PF2=,由余弦定理|PF1|2+-2|PF1||PF2|·cos ∠F1PF2=|F1F2|2,

即-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|·=|F1F2|2,即3|PF1|·|PF2|=3mn=4a2-4c2=3a2,可得mn=a2,

所以=|PF1|·|PF2|sin =mn·sin =mn=a2,而=(2a+2c)r=·3a·=a,

即a2=a,解得a=6,所以长轴长为2a=12.故选D.

(2)因为·=0,所以⊥,由双曲线的性质可知,|PF2|=b,

又|OF2|=c,故|OP|===a,

如图,过点P作PA⊥x轴,则|PA|=|OP|·sin ∠POF2=,

|OA|=|OP|cos ∠POF2=,

所以|PF1|==,

在△PF1O中,由正弦定理得=,即=,

整理可得3c2=7a2,则e===.故选B.

热点三　抛物线的性质

抛物线的焦点弦的几个常见结论:

设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),α是弦AB的倾斜角,则

(1)x1x2=,y1y2=-p2.

(2)|AB|=x1+x2+p=.

(3)+=.

(4)以线段AB为直径的圆与准线x=-相切.

典例3　(1)(多选题)(2022·福建福州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,点M在抛物线上,以M为圆心的圆与l相切于点N,点A(5,0)与抛物线的焦点F不重合,且|MN|=|MA|,∠NMA=120°,则(　　)

A.圆M的半径是4

B.圆M与直线y=-1相切

C.抛物线上的点P到点A的距离的最小值为4

D.抛物线上的点P到点A,F的距离之和的最小值为4

(2)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,且|AF|-|BF|=,则=　　　　. 

解析:(1)由抛物线的定义,得|MN|=|MF|,F(,0),准线l:x=-,

以M为圆心的圆与l相切于点N,所以MN⊥l,即MN∥x轴,又∠NMA=120°,所以∠MAF=60°;

因为|MN|=|MF|=|MA|,所以△MAF是等边三角形,即|MN|=|MF|=|MA|=|AF|;

设点M在第一象限,作AF的中点G,连接MG,

因为A(5,0),所以|AF|=|MN|=|MF|=|MA|=5-,

则|OG|=|MN|-,即×(5-)+=5--,

解得p=2,则抛物线的方程为y2=4x,则|OG|=3,

对于A选项,有|MN|=|MF|=|MA|=5-1=4,故A选项正确;

对于B选项,xm=|OG|=3,所以ym=±2,易得圆M与直线y=-1不相切,故B选项错误;

对于C选项,设抛物线上的点P(,t),则|AP|=,

化简,得|AP|=≥4,当且仅当t2=12时等号成立,故C选项正确;

对于D选项,设过点P作准线l:x=-1的垂线交l于点P′,

由抛物线的定义,知|PP′|=|PF|,则|PA|+|PF|=|PP′|+|PA|≥|P′A|,

当且仅当A,F,P三点共线时取得最小值,

所以|PA|+|PF|≥|P′A|≥5+1=6,故D选项错误.故选AC.

(2)法一　抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),

设直线AB的方程为y=k(x-1)(斜率不存在时不满足题意),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2+,x1x2=1,由抛物线的定义可得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,

由|AF|-|BF|=,得(x1+1)-(x2+1)=,即x1-x2=,由得-x2=,

解得x2=或x2=-2(舍去),所以x1=2,所以===2.

法二　由焦点弦的常用结论知+==1,联立|AF|-|BF|=,解得|AF|=3,|BF|=,所以==2.

答案:(1)AC　(2)2

利用抛物线的几何性质解题时,要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系,灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论,使问题简单化且减少数学运算.

热点训练3　 (多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为且经过点F,直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D.若|AF|=8,则下列结论正确的是(　　)

A.p=4         B.=

C.|BD|=2|BF| D.|BF|=4

解析:

如图所示,分别过点A,B作准线的垂线,垂足分别为E,M,连接EF.抛物线C的准线交x轴于点P,则|PF|=p,由于直线l的斜率为,则其倾斜角为60°.又AE∥x轴,所以∠EAF=60°,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF为等边三角形,所以∠EFP=∠AEF=60°,则∠PEF=30°,所以|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8,解得p=4,故A正确;因为|AE|=|EF|=2|PF|,PF∥AE,所以F为线段AD的中点,则=,故B正确;因为∠DAE=60°,所以∠ADE=30°,所以|BD|=2|BM|=2|BF|(抛物线定义),故C正确;因为|BD|=2|BF|,所以|BF|=|DF|=|AF|=,故D错误.故选ABC.