2023成都高三上学期1月第一次诊断性考试数学（理）含解析

成都市高2020级第一次诊断测试  数学理科

满分: 150分   时间：120分钟

一、单项选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1. 设集合 , 则（    ）

A. B.

C. D.

2.  满足 为虚数单位) 的复数（    ）

A. B.             C. D.

3. 抛物线 的焦点坐标为（    ）

A. B.          C. D.

4. 下图为2012年一2021年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图。

根据该图，全科免费下载公众号《高中僧课堂》下列结论正确的是（    ）

A.2012年—2021 年电子信息制造业企业利润总额逐年递增

B.2012年一2021 年工业企业利润总额逐年递增

C.2012年一2017年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长,且其增速均快于当年工业企业利润总额增速

D.2012年一2021年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值

5.  若实数 满足约束条件则的最大值是（    ）

A.2 B.4 C.6 D.8

6. 下列命题中错误的是（    ）

A.在回归分析中, 相关系数 的绝对值越大, 两个变量的线性相关性越强

B.对分类变量 与, 它们的随机变量的观测值越小, 说明 “与有关系” 的把握越大

C.线性回归直线 恒过样本中心

D.在回归分析中, 残差平方和越小,模型的拟合效果越好

7.  若函数 在处有极大值, 则实数的值为（    ）

A.1 B.或 C. D.

8.  已知直线 和平面. 若, 则 “” 是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9. 已知数列 的前项和为. 若, 则（    ）

A.512 B.510 C.256 D.254

10. 日光射入海水后, 一部分被海水吸收 (变为热能), 同时, 另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射. 因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱, 可用 表示其总衰减规律, 其中是平均消光系数 (也称衰减系数),(单位 : 米) 是海水深度,(单位: 坎德拉) 和(单位: 坎德拉) 分别表示在深度处和海面的光强. 已知某海区 10 米深处的光强是海面光强的, 则该海区消光系数的值约为 (参考数摸:,)（    ）

A. B. C. D.

11. 已知侧棱长为 的正四棱锥各顶点都在同一球面上. 若该球的表面积为, 则该正四棱锥的体积为（    ）

A. B.     C. D.

12.  已知平面向量 满足, 则的最大值为（    ）

A. B.     C.        D.2   

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13. 在公差为 的等差数列中, 已知, 则_______

14. 的展开式中常数项是_______

15. 已知双曲线 与圆(为双曲线的半焦距) 的四个交点恰为一个正方形的四个顶点,则双曲线的离心率为_________

16. 已知函数 . 有下列结论:

①若函数 有零点,则的取值范围是;

②函数 的零点个数可能为;

③ 若函数 有四个零点, 则, 且;

④若函数 有四个零点, 且成等差数列,则为定值,且.

其中所有正确结论的编号为__________

三、解答题（本题共6道小题，共70分，写出必要的文字说明与演算步骤）

17. （本题满分12分）

成都作为常住人口超 2000 万的超大城市, 注册青年志愿者人数超 114 万, 志愿服务时长超 268 万小时. 2022 年 6 月, 成都 22 个市级部门联合启动了 2022 年成都市青年志愿服务项目大赛, 项目大赛申报期间, 共收到 331 个主体的 416 个志原服务项目, 覆盖文明实践、社区治理与邻里守望、环境保护等 13 大领域. 已知某领域共有 50 支志愿队伍申报, 主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评申打分, 并将专家评分(单位:分)分成 6 组: , 得到如图所示的频率分布直方图.

(I) 求图中 的值;

(II) 从评分不低于 80 分的队伍中随机选取 3 支队伍, 该 3 支队伍中评分不低于 90 分队伍的数为 , 求随机变量的分布列和期望.

18. （本题满分12分）

 记 的内角所对边分别为. 已知.

(I) 求 的大小;

(II) 若 , 再从下列条件①条件②中任选一个作为已知,求的面积.

条件①: ; 条件② :.

注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.

19. （本题满分12分）

如图①, 在等腰直角三角形 中,分别是上的点, 且满足. 将沿折起, 得到如图②所示的四棱锥.

( I) 设平面 平面, 证明平面;

(II) 若 , 求直线与平面所成角的正弦值.

20. （本题满分12分）

已知椭圆 的左, 右焦点分别为, 上顶点为, 且为等边三角形. 经过焦点的直线与椭圆相交于两点,的周长为 8 .

(I) 求椭圆 的方程;

(II) 试探究: 在 轴上是否存在定点, 使得为定值? 若存在, 求出点的坐标; 若不存在,请说明理由.

21. （本题满分12分）

已知函数 .

(I) 当 时, 若曲线在处的切线方程为, 证明;

(II) 若 , 求的取值范围.

选做题（22题，23题选做1道小题，多做做错按第1题计分）

22. （本题满分10分）

在直角坐标系 中, 圆心为的圆的参数方程为(为参数). 以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线的极坐标方程为.

(I) 求圆 的极坐标方程;

(II) 设点 在曲线上,且满足, 求点的极径.

23. （本题满分10分）

已知 为非负实数, 函数.

(II)当 时, 解不等式;

(II) 若函数 的最小值为 6 , 求的最大值.

参考答案及解析

1.  【答案】C 【解析】略

2.  【答案】A 【解析】略

3.  【答案】B 【解析】抛物线 的焦点在轴上, 则焦点坐标为，故选: B

4.  【答案】C 【解析】略

5.  【答案】C 【解析】略

6.  【答案】B 【解析】略

7.  【答案】D 【解析】略

8.  【答案】B 【解析】略

9.  【答案】C 【解析】略

10. 【答案】A 【解析】略

11. 【答案】D 【解析】略

12. 【答案】B 【解析】略

13. 【答案】

 【解析】略

14. 【答案】240 .

 【解析】二项式 的展开式的通项公式为, 令, 求得, 可得展开式中的常数项是,

15. 【答案】

 【解析】双曲线的两个焦点 , 和,

令 , 则,

 则有 ,

令 , 则,

则有 ,

设 ,,

则 ,

这四个交点恰好为正方形的四个顶点，

 ,

即 , 则,

即 ,

,

得 或

16. 【答案】②③④ 【解析】略

17.  【解析】 ( I ) 由 ,

解得 .

(II) 由题意知不低于 80 分的队伍有 支,

不低于 90 分的队伍有 支.

随机变量 的可能取值为.

的分布列为

18.  【解析】 (I) ,

由正弦定理知 ,

即 .

在 中, 由,

(II) 若选择条件①, 由正弦定理 ,

得 ..

又 , 即.

若选择条件②, 由 ,

即 .

设 .

则 .

由 , 得.

19.  【解析】 ( I ) 平面平面,

平面.

平面, 平面平面,

.

由图① , 得,

.

平面,

平面.

(II) 由题意, 得 .

又 , 以为坐标原点,的方向分别为 轴,轴,轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系.

则 ,

.

设平面 的一个法向量为.

令 , 得.

设 与平面所成角为.

直线与平面所成角的正弦值为.

20.  【解析】(I) 由 为等边三角形,, 得(为半焦距).

,

的周长为, 得.

.

椭圆的方程为.

（II) 设 轴上存在定点, 由 (I) 知.

由题意知直线 斜率不为 0 . 设直线.

由

显然 .

故当 , 即时,为定值.

存在定点, 使得为定值.

21.  【解析】 ( I ) 当 时,.

由题意知曲线 在处的切点为.

曲线在处的切线方程为.

记 .

在上单调递增,在上单调递减.

.

即 成立.

（II ) 记 .

则 恒成立.

在上单调递增,

, 使得, 即.

当单调递减; 当单调递增.

 由 式,可得.

代入 式, 得

当 时,记.

在上单调递减.

在上单调送减,

在上单调递减.

当时,, 不合题意;

当 时, 由 () 知, 故,

.

由 . 故满足.

又 在上单调递增,且,

实数的取值范围是.

22.  【解析】 ( I ) 由圆 的参数方程消去参数, 得圆的普通方程为, 圆心.

把 代入,

化简得圆 的极坐标方程为.

(II) 由题意,在极坐标系中, 点 .

点在曲线上, 设.

在 中, 由余弦定理有,

即 .

化简得 .

解得 或.

故 或.

点的极径为 1 或.

23.  【解析】 (I) 当 时,.

当 时,,

 解得 ;

当 时,, 此时无解;

当 时,,

解得 .

综上,不等式 的解集为.

(II) 由 ,

当且仅当 时, 等号成立.

由柯西不等式,得 .

当且仅当 时, 即等号成立.

综上, 的最大值为.