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第二章第九课时2.4.1圆的标准方程课中-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编
展开2.2.3 直线的一般式方程
学习目标:
1.掌握直线的一般式方程.
2.理解关于,的二元一次方程(,不同时为0)都表示直线.
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
方法要点:
1.求直线一般式方程的策略在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程,然后转化为一般式.
2.含参直线方程的研究策略
(1)若方程表示直线,则需满足,不同时为0.
(2)令可得在轴上的截距.令可得在轴上的截距.若确定直线斜率存在,可将一般式化为斜截式.
(3)解分式方程要注意验根.
3.一般式下,两直线平行与垂直的判定如下:
设直线与的方程分别为(,不同时为0),(,不同时为0),
则.
.
典型例题:
题组一、直线的一般式方程
例1 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程:
(1)斜率是,且经过点;
(2)经过点,两点;
(3)在轴,轴上的截距分别为,;
(4)经过点,且平行于轴.
变式(1)根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.
①斜率是,且经过点的直线方程为________;
②在轴和轴上的截距分别是和的直线方程为________;
③经过点,的直线方程为________.
(2)直线绕它与轴的交点按逆时针方向旋转所得的直线方程是( )
A. B. C. D.
题组二、直线的一般式方程的应用
例2 设直线的方程为.
(1)已知直线在轴上的截距为,求的值;
(2)已知直线的斜率为1,求的值.
变式(1)若直线在轴和轴上的截距相等,则________.
(2)已知为直线的方程,求证:不论取何实数,直线必过定点,并求出这个定点的坐标.
题组三、一般式下直线的平行与垂直的问题
例3 已知直线,,分别求满足下列条件的的值.
(1);
(2).
当堂检测:
1.直线化成一般式方程为( )
A. B. C. D.
2.在直角坐标系中,直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
3.若方程表示直线,则,应满足的条件为( )
A. B. C. D.
4.已知直线,当变化时,所有直线都恒过点( )
A. B. C. D.
5.若直线的倾斜角是,则实数的值是________.
参考答案
典型例题:
例1.【答案】(1);(2);(3);(4)
【解析】
【分析】
【详解】(1)由点斜式,得直线方程为,
即.
(2)由两点式,得直线方程为,
即.
(3)由截距式,得直线方程为,
即.
(4).
变式【答案】(1)① ② ③;(2)D
【解析】
【分析】
【详解】(1)① ② ③
(2)直线与轴的交点为,
∵所求直线过点且斜率为,
∴所求直线的方程为,即.
例2.【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
【详解】(1)由题意知,即且,令,则,
∴,得或(舍去).
∴.
(2)由题意知,,即且.
由直线化为斜截式方程
得,
则,
得或(舍去).
∴.
变式.【答案】(1)1;(2)经过定点,证明见详解
【解析】
【分析】
【详解】(1)由题意知,当时,;
当时,,
∵,∴.
(2)整理直线的方程得.无论取何值,该式恒成立,
所以,
解得.
所以直线经过定点.
例3.【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
【详解】(1)∵,∴,
∴.
(2)∵,∴,
∴或,
当时,;
当时,与重合,不符合题意,舍去.
∴.
当堂检测
1.【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
2.【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】直线斜率,所以倾斜角为,故选C.
3.【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】方程表示直线的条件为,不能同时为0,即.
4.【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】可化为,所以直线过定点.
5.【答案】3
【解析】
【分析】
【详解】由已知得,∴.