第二章+第十课时+2.4.2+圆的一般方程+课中-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编

2.4.2  圆的一般方程

学习目标：

1．掌握圆的一般方程及其特点．

2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小．

3．能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．

方法要点：

1  圆的一般方程的辨析

（1）由圆的一般方程的定义，若成立，则表示圆，否则不表示圆．

（2）将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．

2  求圆的方程的策略

（1）几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；

（2）待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程．

3  求与圆有关的轨迹问题的方程

（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．

（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程．

（3）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

典型例题：

题组一、圆的一般方程的辨析

例1  若方程表示圆．

（1）求实数m的取值范围；（2）写出圆心坐标和半径．

变式  （1）圆的半径和圆心坐标分别为（    ）

A．      B．      C．      D．

（2）若方程表示圆，则实数m的取值范围是（    ）

A．      B．      C．      D．

题组二、求圆的一般方程

例2  已知圆过两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方程．

变式  （1）圆心在直线上，且经过点的圆的一般方程是____________________．

（2）已知，则的外接圆的方程是__________________．

题组三、求动点的轨迹方程

例3  已知圆上一定点，点为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

（1）求线段中点的轨迹方程；

（2）若，求线段中点的轨迹方程．

变式  已知的边长为4，若边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．

当堂检测：

1．圆的圆心和半径分别为（    ）

A．，16      B．，4      C．，4      D．，16

2．将圆平分的直线是（    ）

A．      B．      C．      D．

3．方程表示的图形为（    ）

A．以为圆心的圆      B．以为圆心的圆      C．点      D．点

4．已知方程表示圆，则k的取值范围是________．

5．若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是__________．

参考答案

典型例题：

例1．【答案】（1）  （2）

【解析】

【分析】

【详解】解  （1）由表示圆的条件，

得，

解得，即实数m的取值范围为．

（2）将方程写成标准方程为，故圆心坐标为，半径．

变式．【答案】（1）D（2）A

【解析】

【分析】

【详解】（1）可化为，

所以半径和圆心分别为．

（2）因为表示圆，

则，所以．

例2．【答案】或

【解析】

【分析】

【详解】解  方法一  （待定系数法）

设圆的方程为，

将P，Q的坐标分别代入上式，

得

令，得，                    ③

由已知得，其中是方程③的根，

∴．④

联立①②④解得或

故圆的方程为或．

方法二  （几何法）

由题意得线段的垂直平分线方程为，

∴所求圆的圆心C在直线上，

设其坐标为．

又圆C的半径长

．（*）

由已知得圆C截y轴所得的线段长为，而圆心C到y轴的距离为，

∴，

代入（*）式整理得，

解得，

∴．

故圆的方程为或．

变式【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

【详解】（1）设圆的方程为，

则圆心是，

由题意知，

解得，

即所求圆的一般方程是．

（2）设外接圆的方程为，

由题意得

解得

即的外接圆方程为．

例3．【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

【详解】（1）设线段的中点M的坐标为，P的坐标为，

∵∴

又在圆上，

∴，∴．

（2）设的中点为，

在中，，

设O为坐标原点，连接，则，

∴，

∴．

故线段中点的轨迹方程为．

变式 【答案】

【解析】

【分析】

【详解】 以直线为x轴，的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图），

则，设中点．

∴①

∵，∴．②

将①代入②，整理得．

∵点C不能在x轴上，∴．

综上，点C的轨迹是以为圆心，6为半径的圆，去掉和两点．

轨迹方程为．

当堂检测

1．【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

2．【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C．

3．【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】原方程可化为，

∴即

∴方程表示点．

4．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】方程可化为，只有，即时才能表示圆．

5．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】圆的圆心坐标为，则过点且过圆心的弦最长．

由，得直线方程为，

即．