2023天津市一中高三上学期第三次月考（1月期末考）数学试题PDF版含答案

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一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合，，再根据并集的定义求解即可．
【详解】，
，
，
故选：．
2、若a，b，c为非零实数，则“a＞b＞c”是“a+b＞2c”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的基本性质可判定“a＞b＞c”能推出“a+b＞2c”，然后利用列举法判定“a+b＞2c”不能推出“a＞b＞c”，从而可得结论．
【解答】解：∵a＞b＞c，∴a＞c，b＞c，则a+b＞2c，
即“a＞b＞c”能推出“a+b＞2c”，
但满足a+b＞2c，取a＝4，b＝﹣1，c＝1，不满足a＞b＞c，
即“a+b＞2c”不能推出“a＞b＞c”，
所以“a＞b＞c”是“a+b＞2c”的充分不必要条件，
故选：A．
3、已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，，
所以，
故选：B
4、函数的图象大致为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及的值来确定正确选项.
【详解】由题意，函数的定义域为，
且，所以函数奇函数，
其图象关于原点对称，所以排除C、D项，
，所以排除B项．
故选：A
5、已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为 （ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，
且满足，可得，，，
由双曲线的定义可知，即，
又由，所以双曲线的渐近线方程为．故选：C．
6、设是等比数列的前项和，若，，则 （ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，若，则，矛盾．
所以，，故，则，
所以，，
，
因此，．故选：B．
7、直线被椭圆截得最长的弦为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】联立直线和椭圆，可得，
解得或，
则弦长，
令，则，
当，即，取得最大值，
故选：B
8、设函数，若时，的最小值为，则（ ）
A．函数的周期为
B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数
C．当，的值域为
D．函数在区间上的零点个数共有6个
【答案】D
【解析】由题意，得，所以，则，所以选项A不正确；
对于选项B：将函数的图像向左平移个单位，得到的函数是
为偶函数，所以选项B错误；
对于选项C：当时，则，所以的值域为，选项C不正确；
对于选项D：令，所以当时，，所以函数在区间上的零点个数共有6个，D正确，
故选：D．
9、设函数，.若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
令，则，当时，，即，即函数与的交点问题，其中恒过A.当时，，即，即函数与的交点问题
分别画出函数，，在各自区间上的图象：
当与相切时，有且仅有一个零点，此时，化简得：，由得：，（舍去）
当直线的斜率，大于等于直线的斜率时，有且仅有一个零点，把代入中，解得：，则
综上，的取值范围是
故选：C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10、已知复数z满足，则___________．
【答案】
【分析】根据复数的运算求得，再求复数的模即可．
【详解】，故有：，
所以．
故答案为：．
11、已知圆与直线相切，则_________．
【答案】3
【解析】因为圆的标准方程为：，所以圆必坐标为 ，半径为 ，由题意得： 解得： ，故答案为：3.
12、已知，则________．
【答案】
【解析】
，故答案为：
13、直线与双曲线的一条渐近线平行，过抛物线的焦点，交于，两点，若，则的离心率为_______．
【答案】
【详解】依题意，点的坐标为，设直线的方程为，
联立方程组，消去并整理得：，设，，，，
则，，则，解得：，
直线的方程为或；直线的斜率为：．
直线与双曲线的一条渐近线平行，可得，
所以，，解得．
故故答案为：．
14、已知，，且，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】由已知，令，，
所以，，代入得：，
因为，，
所以
．
当且仅当时，即时等号成立．
的最小值为．
故答案为：．
15、在中，，若所在平面内的一点满足，
当时，的值为 ；当取得最小值时，的值为 ．
【答案】5；-1
【解析】（1）如图5-26，以为坐标原点建立直角坐标系，
因为，所以点为的重
心，设，，所以，，易得 ，所以．
（2）设,则,
所以可得
于是
当时取等号,所以的最小值为1．
故答案为：5；-1．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16、如图，在平面四边形中，对角线平分，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，的面积为2，求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到，从而求出；
（2）由三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出，依题意，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以．
（2）因为的面积，所以，
即，所以，
由余弦定理得，
所以，
因为平分，所以，
所以，
所以，所以，
所以．
17、如图，在五面体中，四边形为正方形，平面，，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）证明：在上取点，使，
因为，所以，于是平面，
因为，四边形为正方形，所以，所以平面，
因为，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
（2）解：因为平面，所以，，
又因为四边形为正方形，所以，
所以、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，0，，，0，，，，，
设平面的法向量为，，，
，令，，2，，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：，0，，，1，，
设平面的法向量为，，，
，令，，2，，
由（1）知平面的法向量为，2，，
设平面与平面所成二面角的大小为，
，．
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
18、已知椭圆的左、右焦点为，P为椭圆上一点，且，．
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由，以及，建立关于的方程，即可得到结果；
（2）设，由（1）可知，可设椭圆方程为，根据，可得，设将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点满足椭圆方程，可求出，进而求出结果.
【详解】（1）解：因为，所以，即，
则，解得．
（2）设，
由，得，所以，所以
设，即
由于在椭圆上，则，，①
由，得，即
由在椭圆上，则,
即，
即，②
将①代入②得：，③
线段的中点为，设
可知
，
所以，其中，解得，
所以，方程为
又，④
将④代入③得：，
经检验满足，
所以椭圆的方程为.
19、已知等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）设，求证：.
【答案】（1），；（2）；（2）证明见详解．
【详解】（2）；
（3）， ，
则，．
设，
，
综上，．
20、已知函数，，曲线在处的切线的斜率为．
（1）求实数a的值；
（2）对任意的，恒成立，求实数t的取值范围；
（3）设方程在区间内的根从小到大依次为、、…、、…，求证：．
【答案】（1）；（2）；（2）证明见详解．
【分析】（1）由来求得的值.
（2）由，对进行分类讨论，分离常数以及构造函数法，结合导数求得的取值范围.
（3）由构造函数，利用导数以及零点存在性定理，结合函数的单调性证得.
【详解】（1）因为，则，
由已知可得，解得．
（2）由（1）可知，对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，则有对任意的恒成立；
当时，，则，
令，其中，
且不恒为零，
故函数在上单调递增，则，故．
综上所述，．
（3）
由可得，，
令，则，
因为，则，
所以，，所以，函数在上单调递减，
因为，，
所以，存在唯一的，使得，
又，则且，
所以，，
因为函数在上单调递减，
故，即．