2023届河南省（菁师联盟）高三上学期12月质量监测考试数学（理）试题（解析版）

2023届河南省（菁师联盟）高三上学期12月质量监测考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式确定集合，然后由集合的运算法则计算．

【详解】因为集合，，，.

故选：B．

2．已知复数z满足，则z的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的概念和四则运算即可求解

【详解】因为，

所以，则z的虚部为.

故选：.

3．2021年，我国全年货物进出口总额391009亿元，比上年增长21.4%.其中，出口217348亿元，增长21.2%；进口173661亿元，增长21.5%.货物进出口顺差43687亿元，比上年增加7344亿元.如图是我国2017—2021年货物进出口总额统计图，则下面结论中不正确的是（    ）

A．2020年的货物进出口总额322215亿元 B．2020年的货物进出口顺差36343亿元

C．2017—2021年，货物进口总额逐年上升 D．2017—2021年，货物出口总额逐年上升

【答案】C

【分析】根据2017—2021年货物进出口总额统计图，依次分析各个选项，即可得到答案.

【详解】对于A，2020年的货物进出口总额为亿元，故A正确；

对于B，2020年的货物进出口顺差为亿元，故B正确；

对于C，2020年的货物进口总额为142936亿元，相对于2019的货物进口总额143254亿元下降了，故C错误；

对于D，2017—2021年，货物出口总额逐年上升，故D正确.

故选：C

4．丹麦化学家索伦森是首位建立PH值概念的生化学家，他把PH值定义为，式子中的指的是溶液中的氢离子的浓度，单位为摩尔/升（），若某种溶液中的氢离子的浓度为，则该溶液的PH值约为（）（    ）

A．8 B．7.78 C．7.22 D．6

【答案】C

【分析】代入公式计算即可.

【详解】.

故选：C

5．已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，点A，B到x轴的距离分别为m，n，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】联立直线方程与抛物线方程，求出点A，B的纵坐标，进而得到m，n，求出的值.

【详解】联立与得：，

解得：，

不妨令，则，

所以.

故选：A

6．已知单位向量，的夹角为，且向量与的夹角为，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值.

【详解】因为单位向量，的夹角为，且向量与的夹角为，

所以，

则，

即

解之得或（舍）

则，经检验符合题意．

故选：A

7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，点D，E分别是边BC，BA的中点，且AD，CE交于点O，则四边形BDOE的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用余弦定理求出，连接BO，利用重心性质得到，从而求出四边形BDOE的面积为，得到答案.

【详解】如图，连接BO，

∵，，，

∴，

∵，

∴，

因为点D，E分别是边BC，BA的中点，且AD，CE交于点O，

所以O为的重心，则，则，

又因为，所以，同理，，

设四边形BDOE的面积为，

则，

其中，故.

即四边形BDOE的面积为.

故选：C

8．如图为某四面体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得该四面体的直观图，再利用割补法即可求得该四面体的体积

【详解】由题意得该四面体ABCD的直观图如图所示，

图中长方体的长宽高分别为2，1，，

则四面体ABCD的体积．

故选：B

9．已知函数，，且在上恰有100个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用题给条件列出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围

【详解】因为函数，

，则，所以，

由，可得，．则，．

所以，解之得，

所以的取值范围是.

故选：C

10．盒子中有9个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，6个黑球，从中依次随机摸出3个小球，则第三次摸到红球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对第一，二次抽到的球的颜色进行分类讨论，利用独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式可求得结果.

【详解】第三次摸到红球包括四种情况：

第一次摸到红球，第二次摸到红球，第三次摸到红球，概率为；

第一次摸到红球，第二次摸到黑球，第三次摸到红球，概率为；

第一次摸到黑球，第二次摸到红球，第三次摸到红球，概率为；

第一次摸到黑球，第二次摸到黑球，第三次摸到红球，概率为；

所以第三次摸到红球的概率为，

故选：C

11．双曲线C：的左，右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，且，，点M为线段的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，由已知得，利用双曲线定义知，，

在中与中分别利用余弦定理，再结合，可求得，进而得解

【详解】设，因为，所以，

由双曲线定义知，则

由双曲线定义知，则

设，，因为，

在中，①；

在中，

解得：，代入①式，得．

点M为线段的中点，所以，

因为，所以，

又因为，所以，

故选：B

12．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用对数运算性质和对数函数单调性分别求得a，b，c所在的范围，即可得到a，b，c的大小顺序.

【详解】，则

，则

，则

所以，．

又，则

，则，所以．

综上，，

故选：B．

二、填空题

13．若x，y满足约束条件，则的最大值为______.

【答案】1

【分析】画出可行域，然后把目标函数平移可得.

【详解】解析：如图所示，x，y满足的平面区域如图中阴影所示，令，即直线经过点时，z最大，且，即的最大值为1.

故答案为：1

14．展开式中的系数为______．（答案用数字作答）

【答案】

【分析】根据题意利用二项展开式的通项公式，分析运算．

【详解】对的二项展开式的通项为，

对的二项展开式的通项为，

由题意可得：

当时，，

则令，则，

∴的系数为；

当时，，

则令，则，

∴的系数为；

当时，，

则令，则，

∴的系数为；

综上所述：的系数为：.

故答案为：.

15．在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，则四棱锥外接球的表面积为______.

【答案】

【分析】先利用球的性质推得底面，从而推得外接球球心是外接圆的圆心，在中利用正弦定理求得，由此即可求得所求.

【详解】记的中点为，四棱锥外接球球心为，连接，在中过作交于，如图，

因为底面为矩形，为的中点，所以是底面外接圆的圆心，

所以底面，

因为平面平面，平面平面，，平面，

所以底面，

所以，又，所以共线，

因为平面，所以平面，则在面内，

所以四棱锥外接球的球心是外接圆的圆心，设外接球的半径为，

在中，因为，，

所以，

则由正弦定理得，得，

所以四棱锥外接球的表面积为.

故答案为：.

.

16．关于函数有如下四个命题：

①的图象关于y轴对称；

②的图象关于对称；

③的最小值是；

④在上单调递减．

其中所有真命题的序号是______．

【答案】①③④

【分析】对①：根据偶函数的定义分析判断；对②：根据对称性的定义分析判断；对③：利用换元法结合函数单调性分析判断；对④：根据复合函数的单调性分析判断.

【详解】因为，，所以为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；

∵，所以的图象关于对称，故②错误；

令，则在上单调递增，所以，即的最小值是，故③正确；

令在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，故④正确；

则所有真命题的序号是①③④．

故答案为：①③④.

三、解答题

17．设数列的前n项和为，且满足，．

(1)证明：数列为等比数列；

(2)若，求的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）把用来表示；

（2）求出，然后判断的单调性，再求最小值.

【详解】（1）因为，所以，又因为，

则，，所以数列为等比数列；

（2）由（1）得，则，

，

则，

当时，，

所以当且时，，即，则；

当时，，即；

当且时，，即，则．

综上，，即的最小值为．

18．某射击队派出甲、乙两人参加某项射击比赛，比赛规则如下：开始时先在距目标50米射击，命中则停止射击；第一次没有命中，可以进行第二次射击，但目标为100米；第二次没有命中，还可以进行第三次射击，此时目标在150米处；若第三次没命中则停止射击，比赛结束．已知甲在50米，100米，150米处击中目标的概率分别为，，，乙在50米，100米，150米处击中目标的概率分别为，，．

(1)求甲，乙两人中恰有一人命中目标的概率；

(2)若比赛规定，命中目标得2分，没有命中目标得0分，求该射击队得分X（X为甲，乙得分之和）的分布列和数学期望．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，数学期望为.

【分析】（1）先根据题意分别求甲、乙命中目标的概率，再求甲，乙两人中恰有一人命中目标的概率；（2）根据题意可得X的取值为：0，2，4，结合（1）中数据求分布列和期望.

【详解】（1）因为甲在50米，100米，150米处击中目标的概率分别为，，，所以甲命中目标的概率为；

因为乙在50米，100米，150米处击中目标的概率分别为，，．所以乙命中目标的概率为．

则甲，乙两人中恰有一人命中目标的概率为．

（2）X的取值为：0，2，4，

；；

．

则X的分布列为：

则．

19．如图，在三棱柱中，，．

(1)求直线与平面ABC所成的角；

(2)若，求二面角的正弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）取AC的中点E，连接，BE，由题意可得，，从而得到平面ABC，即直线与平面ABC所成角为，在直角中，求解即可；

（2）以B为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，垂直于平面ABC向上的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，即可求解.

【详解】（1）如图，取AC的中点E，连接，BE，

因为，所以，

．

又因为，所以．

所以，则，

又因为，所以平面ABC，所以直线与平面ABC所成角为，

在直角中，，即，

则直线与平面ABC所成的角为．

（2）以B为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，垂直于平面ABC向上的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，，，所以，由（1）得，，，，，

则，，，

设平面的法向量为，

，即.

设平面的法向量为，

，即.

设二面角的平面角为，则，

所以，则二面角的正弦值为．

20．已知椭圆C：上点与圆上点M的距离的最大值为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点，不过的动直线l与椭圆C交于A，B两点，且，证明：动直线l过定点，并求出该定点坐标．

【答案】(1)；

(2)证明见解析，直线l过定点．

【分析】（1）由点在椭圆上，点到圆上点的距离最值得到方程组，解出参数即可得椭圆C的方程；

（2）分别讨论斜率存在与否，结合向量坐标运算建立方程求解. 其中斜率存在时，联立直线与椭圆方程，由韦达定理结合向量坐标运算建立方程.

【详解】（1）因为椭圆C：过点，所以，

点与圆上点M的距离的最大值为，解得，，

∴椭圆C的方程为．

（2）证明：i. 当直线l斜率存在时，设直线l：，

联立得，

设点，，则，

，

化简得或．

则直线为l：或l：，因为l不过，则直线为l：，即直线l过定点．

ii. 当直线l斜率不存在时，设直线l：，不妨设，，

所以，

所以，直线l：，此时l过点，不满足题意．

综上，直线l过定点．

【点睛】（1）直线与圆锥曲线问题，首先需讨论斜率存在与否；

（2）直线过定点问题，一般设出直线，联立直线与圆锥曲线方程，通过韦达定理去表述题设条件（如本题的向量数量积），即可化简寻找参数间的关系，从而得出直线过定点与否的结论.

21．已知函数的最小值为．

(1)求的值；

(2)若，，且函数的最小值为，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可求得的值；

（2）计算可得出，设函数，其中，利用导数求出函数的最小值，可得出的值，进而可求得的值，即可证得结论成立.

【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，

且，令，其中，

则且不恒为零，

所以在上单调递增，

又因为，所以，当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以，则的最小值为，则．

（2）证明：

．

设函数，其中，

，

由（1）可知，当时，，则，单调递减；

当时，，则，单调递增.

所以，

则，则，

因此，．

【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：

（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；

（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；

（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.

22．在平面直角坐标系xOy中，，，动点满足，动点P的轨迹为曲线C．

(1)写出曲线C的一个参数方程；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)（为参数）

(2)

【分析】（1）将代入，化简即可得到曲线C的直角坐标方程，再转化为参数方程即可；（2）结合（1）可得，再根据的取值范围即可求解的取值范围．

【详解】（1）因为，，动点满足，

所以，整理得曲线C的方程为，

则曲线C的一个参数方程为（为参数）；

（2）因为，所以，

则，

所以的取值范围为．

23．已知函数，.

(1)当时，解不等式；

(2)若恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）换元后，利用零点分段法解绝对值不等式，得到不等式的解集；

（2）利用绝对值三角不等式得到，从而得到，求出a的取值范围.

【详解】（1）当时，不等式化简为，

令，

则，当时，，则；

当时，恒成立，则；

当时，恒成立，则.

综上，，即，解得：，

所以解集为.

（2）因为，

而，

故，当且仅当时，等号成立，

又因为恒成立，

即，

解得：或，

故a的取值范围是.