2022-2023学年甘肃省陇南、临夏、甘南三地高三上学期期中联考 数学理试题（word版）

陇南、临夏、甘南三地2022-2023学年高三上学期期中联考

数学（理科）

第一部分   选择题（共60分）

一、单项选择题（每题5分、共60分）

1．集合的真子集个数为（    ）

A． B． C． D．

2．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的(  )。

A、充分不必要条件                               B、必要不充分条件

C、充要条件                                     D、既不充分也不必要条件

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

4.函数的定义域为(    )

A. B. C. D.

5．在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（    ）

A．60 B．11 C．50 D．55

6．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是(  )。

A、                           B、

C、                            D、

7．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为 (　　)

A． B． C． D．4

8.已知，过A(1,1)、B(1，－3)两点的直线与过C(－3，m)、D(n,2)两点的直线互相垂直，则点(m，n)有 (　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

9.直线恒过一定点，则此定点为(  )。

A、           B、          C、              D、

10.如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且。当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为(  )。

A、                                     B、

C、                                   D、

11．若偶函数在上是增函数，则（   ）

A. B.

C. D.

12.已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为

A．             B．             C．                D．

第二部分   非选择题（共90分）

二、填空题（每题5分、共20分）

13．已知的定义域为，则的定义域是       ．

14.已知，若，则_______.

15．设是数列的前项和，若，则________.

16.已知直线l1经过点A(0，－1)和点B(－，1)，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．

三、解答题（共70分）

17．（10分）已知函数，.

（1）当时，求的最值；

（2）使在区间上是单调函数，求实数的取值范围.

18．（12分）已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围．

19．（12分）已知数列的前项和与通项满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，，求.

20．（12分）如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点。

(1)证明：平面；

(2)若，求与平面所成角的正弦值。

21．（12分）已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．

(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．

22.（12分）已知椭圆M与椭圆N:=1有相同的焦点,且椭圆M过点.

(1)求椭圆M的标准方程;

(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.

陇南、临夏、甘南三地2022-2023学年高三上学期期中联考

数学（理科）答案版

第一部分   选择题（共60分）

一、单项选择题（每题5分、共60分）

1．集合的真子集个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

2．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的(  )。

A、充分不必要条件                               B、必要不充分条件

C、充要条件                                     D、既不充分也不必要条件

【答案】B

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

4.函数的定义域为(    )

A. B. C. D.

【答案】D

5．在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（    ）

A．60 B．11 C．50 D．55

【答案】D

6．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是(  )。

A、                           B、

C、                            D、

【答案】A

7．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为 (　　)

A． B． C． D．4

【答案】B

8.已知，过A(1,1)、B(1，－3)两点的直线与过C(－3，m)、D(n,2)两点的直线互相垂直，则点(m，n)有 (　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

【答案】D

9.直线恒过一定点，则此定点为(  )。

A、           B、          C、              D、

【答案】D

10.如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且。当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为(  )。

A、                                     B、

C、                                   D、

【答案】B

11．若偶函数在上是增函数，则（   ）

A. B.

C. D.

【答案】D

12.已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为

A．             B．             C．                D．

【答案】D

第二部分   非选择题（共90分）

二、填空题（每题5分、共20分）

13．已知的定义域为，则的定义域是       ．

【答案】

14.已知，若，则_______.

【答案】或2

15．设是数列的前项和，若，则________.

【答案】

16.已知直线l1经过点A(0，－1)和点B(－，1)，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．

【答案】－6

三、解答题（共70分）

17．（10分）已知函数，.

（1）当时，求的最值；

（2）使在区间上是单调函数，求实数的取值范围.

【答案】（1）最小值，最大值35；（2）.

18．（12分）已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

19．（12分）已知数列的前项和与通项满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，，求.

【答案】（1）；（2）.

20．（12分）如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点。

(1)证明：平面；

(2)若，求与平面所成角的正弦值。

【解析】(1)证明：连接，∵为正三角形，为中点，∴，

∵，，∴平面，∴，         2分

又，，∴，又，

∴平面，                                                4分

(2)解：由(1)可知，，，，

故分别以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，          6分

设，则，，，，

则，，，                    8分

设平面的法向量为，则即，

设，则、，则，                             10分

设与平面所成角为，

则，

∴与平面所成角的正弦值为。                            12分

21．（12分）已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．

(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．

【解析】解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，

即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0．

∴＝3．

即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或．

∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0．

(2)由

解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，

则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．

∴dmax＝|PA|＝．

22.（12分）已知椭圆M与椭圆N:=1有相同的焦点,且椭圆M过点.

(1)求椭圆M的标准方程;

(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.

【解析】 (1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),设椭圆M的方程为=1(a>b>0),

则化简并整理得5b4+11b2-16=0,

故b2=1或b2=-(舍),a2=5,

故椭圆M的标准方程为+y2=1.

(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1,得y0=±.

又=1,所以,x0=±,

所以点P有4个,它们的坐标分别为.