2023届高考数学重难点专题09必要性探路在解题中的应用专练

09必要性探路在解题中的应用专练

1.  已知函数为自然对数的底数，是的导函数．
Ⅰ当时，求证；
Ⅱ是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；

若不存在，说明理由．

2.  已知函数．
   当时，讨论函数的单调性；
   当时，若，且在时恒成立，求实数的取值范围．

3.  已知函数．

Ⅰ当时，求函数的图象在处的切线方程；

Ⅱ若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．其中为自然对数的底数

4.  已知函数，．

Ⅰ若，讨论函数的单调性；
Ⅱ若对任意的，都有，求实数的取值范围．

5.  已知函数．

求的最小值；

设函数，若，求实数的取值范围．

6.  已知函数，．
Ⅰ若函数存在极小值，求实数的取值范围；
Ⅱ若，且对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考数据：，

答案和解析

1.【答案】解：Ⅰ证明：当时，，则，
令，则，
令，得，故在时取得最小值，
，在上为增函数，
；
Ⅱ，
由，得对一切恒成立，
当时，可得，所以若存在，则正整数的值只能取，．
下面证明当时，不等式恒成立，
设，则，
由Ⅰ，，
当时，；当时，，
即在上是减函数，在上是增函数，
，
当时，不等式恒成立，
所以的最大值是． 

【解析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
Ⅰ求出函数的导数，根据函数的单调性判断最值；
Ⅱ求出函数的导数，得到，问题转化为证明当时，不等式恒成立，设，根据函数的单调性证明即可．
 

2.【答案】解：，
当时，恒成立，即函数在递减；
当时，令，解得，令，解得，
即函数在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，函数在递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
由题意，即当时在时恒成立，
即在时恒成立．
记，则，
记，在递增，又，
所以时，．
下面证明：当时，在时恒成立．
因为．
所以只需证在时恒成立．
记，所以，
又，所以在单调递增，又
所以，，单调递减；，，单调递增，
所以，
在恒成立．
综上可知，时，在时恒成立． 

【解析】先对函数求导，然后结合的范围及导数与单调性关系进行分类讨论即可求解；
由已知结合函数性质及特殊函数值，可求，然后通过构造函数，结合函数性质证明当时满足题意．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，还考查了函数的性质，属于中档题．
 

3.【答案】解：Ⅰ当时，，所以，

此时，故，

所以所求切线方程为，即．

Ⅱ由题意得对任意恒成立．

令，得，

设，，

，

设，则，

所以在上单调递减，故，

当时，，所以在单调递增，
，所以满足题意；

当时，存在使得，

即，且在单调递减，在单调递增，

则，

所以，即，解得，

即，
由，得，
由在上单调递减，

可知，

综上所述可得．

【解析】本题考查导数几何意义、利用导数研究函数单调性、最值及恒成立问题，属于较难题．
Ⅰ当时，求出函数导数，即可得，是的图象在处的切线方程的斜率，代入直线点斜式方程即可．

Ⅱ令，得，设，求出，

设，利用导数法得对分类讨论，使，即可得得范围．

4.【答案】解：Ⅰ，
若，由，可得或，
由，可得，
的单调增区间为，，单调递减区间为；
若，则，此时的单调递增区间为；
若，由，可得或，由，可得时，
的单调增区间为，，单调递减区间为．
综上可知，时，在，上单调递增，在上单调递减，
时，在上单调递增，
时，在，上单调递增，在上单调递减．
Ⅱ令，则，，
若对任意的，都有，即都有，其必要条件是，
，
，由，可得，得，
当时，，，
，此时在上单调递增，，符合要求；
当时，，，，由，得，
此时在上单调递减，当时，，不合要求，舍去；
当时，，，在上单调递减，
当时，，不合要求，舍去．
综上可知，实数的取值范围是． 

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查数学转化思想方法和分类讨论是数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
Ⅰ求出原函数的导函数，然后对分类，利用导函数的零点对函数的定义域分段，根据导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性．
Ⅱ令，则，，可得对任意的，都有，由其必要条件是求得，验证当时，在上单调递增，，符合要求；然后分析当和时不符合要求即可．
 

5.【答案】解：，
令，此时，
当，，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
因为，，
所以，解得必要性探路
下面证明当时，，以下是充分性证明
由，得，
因为，，
所以

即，
令，，
则



．
由可知，
所以，
所以当时，，从而单调递减，
当时，，从而单调递增，
故，从而，
综上，实数的取值范围为． 

【解析】本题考查利用导数研究函数单调性、最值，考查不等式恒成立问题，构造函数，属于较难题．
，利用导数法可得在上单调递减，在上单调递增，
可得最小值为
利用必要性得到，对于充分性，，当，，，构造函数，，对求导，进而由可以求解．
 

6.【答案】解：Ⅰ由题得，，
又在上为单调递增函数，，
故当时，无极值，
当时，存在，在上单调递减，上单调递增，存在极小值，
故，
综上：的取值范围是；
Ⅱ由，
即，首先，令，得；
下面证明当时符合要求：
令，
若，即时，，
令，
得，
令，
，
显然当时，，从而递增，又，
则时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以得证；
若，即时，，
下面，只要证，其中，
由，且在上单调递增，记，得，
又，所以，
又，
令，则，
所以当时，在上单调递增，上单调递减，
，得证，
故所求实数的取值范围为． 

【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是难题．
Ⅰ求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极小值，从而确定的范围即可；
Ⅱ问题转化为证明当时符合要求：令，通过讨论，的情况，求出函数的单调区间，求出的取值范围即可．