2022-2023学年皖豫名校联盟高一上学期阶段性检测（一）数学试题

“皖豫名校联盟”

2022—2023学年（上）高一年级阶段性测试（一）

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解一元一次不等式求集合A，应用集合交运算求结果.

【详解】由，，

所以.

故选：B

2. “”是“”的（    ）

A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据“充分”和“必有”条件的定义判断即可.

详解】如果 ，则必有 ，即 ，充分条件成立；

如果 ，比如 ， 不存在，必要条件不成立，

所以是充分不必要条件；

故选：A.

3. 已知命题 ，那么命题的否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

命题是特称命题，其否定为全称命题，需修改量词，否定原命题的结论，即可得到命题的否定.

【详解】命题p是存在量词命题，其否定是全称量词命题，即为“，”．

故选：C.

4. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解出不等式，然后根据集合的运算可得答案.

【详解】由可得，所以可得或，

所以，所以，

因为，所以，

故选：D

5. 若，则关于x的不等式的解集是（    ）

A.  B. 或

C. 或 D.

【答案】C

【解析】

【分析】对不等式变形后，直接解一元二次不等式即可.

【详解】因为，所以，

由，得，

解得或，

所以不等式的解集为或，

故选：C

6. 若，，且，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式，求出，或，结合，得到正确答案.

【详解】因为，，所以，

又因为，所以或，

因为，所以不合要求，所以，

综上：.

故选：B

7. 已知不等式对任意都成立，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分和两种情况讨论，当时则，即可求出参数的取值范围，从而得解.

【详解】解：因为不等式对任意都成立，

当时恒成立，

当时，解得，

综上可得；

故选：D

8. 已知正数x，y满足，则下列选项不正确的是（    ）

A. xy的最大值是 B. 的最小值是

C. 的最小值是4 D. 的最大值是

【答案】D

【解析】

【分析】根据题设条件和基本不等式，逐项判定，即可求解.

【详解】由，可得，即，当且仅当时成立，所以A正确；

由，当且仅当时成立，所以B正确；

因为正数满足，

由，

当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；

由正数满足，可得，

则，当且仅当时，

即时，等号成立，即的最大值是，所以D错误.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知集合，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】首先求出集合、，再根据集合的包含关系及交、并运算的定义计算可得.

【详解】解：因为，，

又，所以，故B正确；

，故C错误；

，故D正确；，故A错误；

故选：BD

10. 下列叙述正确的是（    ）

A. “”是“”的充分不必要条件

B. 命题“，”的否定是“，或”

C. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件

D. 命题“，”的否定是真命题

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据充分、必要性定义判断A、C；写出含量词命题的否定并确定真假判断B、D.

【详解】A：由，而不一定有，即“”是“”的充分不必要条件，正确；

B：“，”的否定是“，或”，正确；

C：由且，则，而存在，满足要求，即“且”是“”的充分不必要条件，错误；

D：“，”的否定是“，”，为真命题，正确；

故选：ABD

11. 设，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用作差法根据已知条件逐个分析判断即可.

【详解】对于A，因为，所以，

所以，

所以，所以A正确，

对于B，因为，所以，

所以，所以，所以B正确，

对于C，因为，所以，

所以

，所以，所以C正确，

对于D，因为

所以，所以，所以D错误，

故选：ABC

12. 已知关于x的不等式的解集为或，则（    ）

A.

B.

C. 不等式的解集为

D. 不等式的解集为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且，对四个选项逐个求解或判断即可.

【详解】因为关于的不等式解集为或，

所以和是方程的两个实根，对应的二次函数图像开口向下且，故A错误；

所以，，所以，

因为，又，所以，故B正确；

不等式可化为，因为，所以，故C正确；

不等式可化为，又，

所以，即，解得，故D错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 当时，函数的最大值为______．

【答案】8

【解析】

【分析】对函数配方后，利用二次函数的性质求解即可.

【详解】，对称性为，

因为，

所以当时，函数的最大值为，

故答案为：8

14. 给出一个能够说明命题“，”为假命题的数：______．

【答案】2（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据不等式写出一个答案即可.

【详解】当时，，不满足，

故答案为：（答案不唯一）

15. 已知集合，，若，且，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】由可得，然后可建立不等式求解.

【详解】因为，，所以，解得，

由可得，所以，解得，

综上：实数取值范围是

故答案为：

16. 若正数a，b满足，则的最小值是______．

【答案】

【解析】

【分析】由基本不等式和条件可得，然后解出此不等式可得答案.

【详解】由基本不等式可得，

所以，即，

解得或（舍），当且仅当时等号成立，

所以的最小值是，

故答案为：.

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17 设集合，．

（1）若，求，；

（2）设，若集合C有8个子集，求a的取值集合．

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）解方程得、，应用集合的交并运算求结果；

（2）由题设集合C有3个元素，讨论、满足题设情况下的取值，即可得结果.

【小问1详解】

由题设，，

所以，.

【小问2详解】

由，且集合C有8个子集，故集合C有3个元素，

当时，此时或满足题设；

当时，满足题设；

综上，.

18. 已知关于x的不等式．

（1）若此不等式的解集为，求a，b的值；

（2）若，求不等式的解集．

【答案】（1），   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）由题意可得，和1是方程的两个实数根，利用根与系数关系可得结果；

（2）由题意可得，分类讨论可得不等式的解集.

【小问1详解】

由题意可得，和1是方程的两个实数根，

所以，

解得，，

【小问2详解】

∵，∴，即，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

19. 已知，．

（1）若，求实数a的取值范围；

（2）若是的充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先求出不等式的解集，再根据元素与集合的关系得到不等式组，解得即可；

（2）先求出所对应的不等式的解集，令，集合，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.

【小问1详解】

解：由，得，解得，

所以，

因为，所以，解得；

【小问2详解】

解：由得，解得，

设集合，集合，

因为是的充分条件，所以，

所以，解得.

20. 已知a，b都是正数，求证：

（1）；

（2）．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）不等式两边同乘以2，应用基本不等式证明即可；

（2）由，应用作差法比较大小即可.

【小问1详解】

由a、b都是正数，则，，，

所以，即，当且仅当时取等号.

【小问2详解】

由，

所以，

又a，b都是正数，故，即.

21. 已知关于的一元二次方程．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（2）当取满足（1）中条件的最大整数时，设方程的两根为和，求代数式的值．

【答案】（1）且；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据条件可得，解出即可；

（2），然后可得，，然后可得答案.

【小问1详解】

因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；

所以，解得且，

所以实数的取值范围为且；

【小问2详解】

因为取满足（1）中条件的最大整数，所以，

此时一元二次方程为，即，

因为方程的两根为和，所以，

因为，所以

所以

22. 某工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的年总成本y（单位：万元）与年产量x（单位：吨，）之间的函数关系式为，已知该生产线年产量最大为220吨．

（1）求当年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低平均成本．

（2）若每吨产品出厂价为50万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大年利润？最大年利润是多少？

【答案】（1）当年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低为30万元   

（2）当年产量为220吨时，可以获得最大年利润为4300万元

【解析】

【分析】（1）生产每吨产品的平均成本，结合基本不等式运算求解；（2）年利润为，结合二次函数求最值.

【小问1详解】

生产每吨产品的平均成本

当且仅当，即时等号成立

∴当年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低为30万元

【小问2详解】

年利润为

当时，随x增大而增大

当时，年利润取到最大值4300

∴当年产量为220吨时，可以获得最大年利润为4300万元