湖南省衡阳市第八中学2022-2023学年高一数学上学期期末考试试题(Word版附解析)
展开衡阳市八中2022级高一上学期期末考试试题
数 学
考试时间:120分钟 试卷满分:150分
一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.与角终边相同的角是( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集是( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数的零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.
5.已知指数函数,将函数的图象上的每个点的横坐标不变,纵坐标扩大为原来的倍,得到函数的图象,再将的图象向右平移个单位长度,所得图象恰好与函数的图象重合,则a的值是( )
A. B. C. D.
6.函数(,)的部分图象如图所示,则 ( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递减,则实数的取值范围是( )
A.,, B.
C.,, D.,,
8.已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.下列说法中正确的是( )
A.若a>b,则 B.若-2<a<3,1<b<2,则-3<a-b<1
C.若a>b>0,m>0,则 D.若a>b,c>d,则ac>bd
10.下列各式中,值为的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数,,则( )
A.函数为偶函数 B.函数为奇函数
C.函数在区间上的最大值与最小值之和为0
D.设,则的解集为
12.已知函数,则( )
A.函数的最小正周期为
B.直线是图象的一条对称轴
C.是图象的一个对称中心
D.若时,在区间上单调,则的取值范围是或
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分. 把答案填在答题卡中的横线上)
13.若函数的最小正周期是,则的取值可以是______.(写出一个即可).
14.已知函数,若,则_____________.
15. 已知:
设函数,若关于的方程有三个不相等的实数解,则实数的取值范围是______.
16.设函数,若对于任意实数,在区间上至少有2个零点,至多有3个零点,则的取值范围是
四、解答题(本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α=,求f(α)的值.
18.(本小题满分12分)
已知集合A={x∈R|≥},集合B={x∈R|(x﹣1)(x﹣a)<0}.a∈R
(1)求集合A;
(2)若B⊆∁RA,求a的取值范围.
19.(本小题满分12分)
已知函数,,且该函数的图象经过点,.
(1)求a,b的值;
(2)已知直线与x轴交于点T,且与函数的图像只有一个公共点.求的最大值.(其中O为坐标原点)
20.(本小题满分12分)
比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵,新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源,目前比较常见的主要有两种:混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试,国道限速.经数次测试,得到该纯电动汽车每小时耗电量(单位:)与速度(单位:)的数据如下表所示:
0 | 10 | 40 | 60 | |
0 | 1420 | 4480 | 6720 |
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:①;②;.
(1)当时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型(需说明理由),并求出相应的函数表达式;
(2)现有一辆同型号纯电动汽车从衡阳行驶到长沙,其中,国道上行驶,高速上行驶.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动,国道上每小时的耗电量与速度的关系满足(1)中的函数表达式;高速路上车速(单位:)满足,且每小时耗电量(单位:)与速度(单位:)的关系满足).则当国道和高速上的车速分别为多少时,该车辆的总耗电量最少,最少总耗电量为多少?
21.(本小题满分12分)
已知,.
(1)当且是第四象限角时,求的值;
(2)若关于的方程有实数根,求的取值范围.()
22.(本小题满分12分)
已知函数的定义域为,若存在实数,使得对于任意都存在满足,则称函数为“自均值函数”,其中称为的“自均值数”.
(1)判断函数是否为“自均值函数”,并说明理由:
(2)若函数,为“自均值函数”,求的取值范围;
(3)若函数,有且仅有1个“自均值数”,求实数的值.
参考答案:
1.D
【分析】由终边相同的角的性质即可求解.
【详解】因为与角终边相同的角是,,
当时,这个角为,
只有选项D满足,其他选项不满足.
故选:D.
2.C
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】解:
解得:.
故选:C.
3.A
【分析】首先解分式不等式,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解:因为,所以,,,
或,
当时,或一定成立,所以“”是“”的充分条件;
当或时,不一定成立,所以“”是“”的不必要条件.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
4.B
【分析】由零点的存在性定理求解即可
【详解】∵,,
,,
根据零点的存在性定理知,
函数的零点所在区间为.
故选:B
5.D
【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式,结合已知条件可得出关于实数的等式,进而可求得实数的值.
【详解】由题意可得,再将的图象向右平移个单位长度,得到函数,
又因为,所以,,整理可得,
因为且,解得.
故选:D.
6.A
【解析】由函数的部分图像得到函数的最小正周期,求出,代入求出值,则函数的解析式可求,取可得的值.
【详解】由图像可得函数的最小正周期为,则.
又,则,
则,,则,,
,则,,则,
.
故选:A.
【点睛】方法点睛:根据三角函数的部分图像求函数解析式的方法:
(1)求、,;
(2)求出函数的最小正周期,进而得出;
(3)取特殊点代入函数可求得的值.
7.C
【分析】先用分离常数法得到,由单调性列不等式组,求出实数的取值范围.
【详解】解:根据题意,函数,
若在区间上单调递减,必有,
解可得:或,即的取值范围为,,,
故选:C.
8.D
【详解】分别对,,两边取对数,得,,.
.
由基本不等式,得:
,
所以,
即,所以.
又,所以.
故选:D.
9.AC
【分析】利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.
【详解】对于A,因c2+1>0,于是有>0,而a>b,由不等式性质得,A正确;
对于B,因为1<b<2,所以-2<-b<-1,同向不等式相加得-4<a-b<2,B错误;
对于C,因为a>b>0,所以,又因为m>0,所以,C正确;
对于D,且,而,即ac>bd不一定成立,D错误.
故选:AC
10.ABD
【分析】利用诱导公式、指数幂的运算以及特殊角的三角函数值计算各选项中代数式的值,可得出合适的选项.
【详解】对于A选项,;
对于B选项,;
对于C选项,;
对于D选项,.
故选:ABD.
11.BCD
【分析】根据题意,利用奇偶性,单调性,依次分析选项是否正确,即可得到答案
【详解】对于A:,定义域为,,
则为奇函数,故A错误;
对于B:,定义域为,
,
则为奇函数,故B正确;
对于C:,,都为奇函数,
则为奇函数,
在区间上的最大值与最小值互为相反数,
必有在区间上的最大值与最小值之和为0,故C正确;
对于D:,则在上为减函数,
,则在上为减函数,
则在上为减函数,
若即,
则必有,解得,
即的解集为,故D正确;
故选:BCD
12.BCD
【详解】因为函数的最小正周期为,
而函数周期为,故A错误;
当时,,
所以直线是图象的一条对称轴,故B正确;
故C正确
时,在区间上单调,
即,
所以或
解得或,故D正确.
故选:BCD.
【点睛】(1)应用公式时注意方程思想的应用,对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α可以知一求二.
(2)关于sin α,cos α的齐次式,往往化为关于tan α的式子.
13.2或-2 (写一个即可)
14. 0
15.
【分析】根据函数新定义求出函数解析式,画出函数的图象,利用转化的思想将方程的根转化为函数图象的交点,根据数形结合的思想即可得出t的范围.
【详解】由题意知,令,解得,
根据,得,
作出函数的图象如图所示,
由方程有3个不等的根,
得函数图象与直线有3个不同的交点,
由图象可得,当时函数图象与直线有3个不同的交点,
所以t的取值范围为.
故答案为:
16.:.
【分析】,只需要研究的根的情况,借助于和的图像,根据交点情况,列不等式组,解出的取值范围.
【详解】令,则
令,则
则问题转化为在区间上至少有两个,至少有三个t,使得,求的取值范围.
作出和的图像,观察交点个数,
可知使得的最短区间长度为2π,最长长度为,
由题意列不等式的:
解得:.
【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法(令),转化为研究的图像和性质较为方便.
17、解:(1)f(a)===sinα•cosα…5分
(2)∵α=﹣=﹣6×,
∴f(﹣)=cos(﹣)sin(﹣)=cos(﹣6×)sin(﹣6×)=cossin==﹣…10分
18、解:(1)根据题意,集合A={x∈R|2log2x≥log2(2x)},即,
则,得x≥2,则集合A={x∈R|x≥2},
(2)∁RA={x∈R|x<2},又集合B={x∈R|(x﹣1)(x﹣a)<0},
①当a=1时,(x﹣1)2<0,则无解,故B=∅,满足B⊆∁RA,
②当a>1时,由(x﹣1)(x﹣a)<0,得1<x<a,若B⊆∁RA,则a≤2,得1<a≤2,
③当a<1时,由(x﹣1)(x﹣a)<0,得a<x<1,显然满足B⊆∁RA,
综上所述,a的取值范围是(﹣∞,2].
19.(Ⅰ); (Ⅱ)1.
【分析】(Ⅰ)根据已知点的坐标,利用函数的解析式,得到关于的方程组,求解即得;
(Ⅱ)设,则直线方程可以写成, 与函数联立,消去,利用判别式求得,利用二次函数的性质求得取得最大值1,进而得到的最大值.
【详解】(Ⅰ)由已知得,解得;
(Ⅱ)设,则直线方程可以写成,与函数联立,消去,并整理得
由已知得判别式,
当时,取得最大值1,所以.
20.【分析】(1)利用表格中数据进行排除即可得解;(2)在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.
【详解】(1)解:对于③,当时,它无意义,故不符合题意,
对于②,当时,,又,
所以,故不符合题意,故选①,
由表中的数据可得,,解得
∴. (不需要说明理由,写对解析式即可)
(2)解:高速上行驶,所用时间为,
则所耗电量为,
由对勾函数的性质可知,在上单调递增,
∴,
国道上行驶,所用时间为,
则所耗电量为,
∵,∴当时,,
∴当这辆车在高速上的行驶速度为,在国道上的行驶速度为时,
该车从衡阳行驶到长沙的总耗电量最少,最少为.
21.(1)
(2)
【分析】(1)由同角三角函数的平方关系求出、的值,再结合立方差公式可求得所求代数式的值;
(2)由已知可得出,,分、两种情况讨论,在时直接验证即可,在时,由参变量分离法可得出,结合基本不等式可求得实数的取值范围,综合可得结果.
【详解】(1)解:因为,即,则,
即,
所以.
因为是第四象限角,则,,所以,所以,
所以.
(2)解:由,可得,
则方程可化为,.
①当时,,显然方程无解;
②当时,方程等价于.
当时,由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,又,
故,
所以要使得关于的方程有实数根,则.
故的取值范围是.
22.(1)不是,理由见解析;
(2);
(3)或.
【分析】(1)假定函数是 “自均值函数”,由函数的值域与函数的值域关系判断作答.
(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域,由此推理计算作答.
(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域,再借助a值的唯一性即可推理计算作答.
(1)
假定函数是 “自均值函数”,显然定义域为R,则存在,对于,存在,有,
即,依题意,函数在R上的值域应包含函数在R上的值域,
而当时,值域是,当时,的值域是R,显然不包含R,
所以函数不是 “自均值函数”.
(2)
依题意,存在,对于,存在,有,即,
当时,的值域是,因此在的值域包含,
当时,而,则,
若,则,,此时值域的区间长度不超过,而区间长度为1,不符合题意,
于是得,,要在的值域包含,
则在的最小值小于等于0,又时,递减,且,
从而有,解得,此时,取,的值域是包含于在的值域,
所以的取值范围是.
(3)
依题意,存在,对于,存在,有,即,
当时,的值域是,因此在的值域包含,并且有唯一的a值,
当时,在单调递增,在的值域是,
由得,解得,此时a的值不唯一,不符合要求,
当时,函数的对称轴为,
当,即时,在单调递增,在的值域是,
由得,解得,要a的值唯一,当且仅当,即,则,
当,即时,,,,,
由且得:,此时a的值不唯一,不符合要求,
由且得,,要a的值唯一,当且仅当,解得,此时;
综上得:或,
所以函数,有且仅有1个“自均值数”,实数的值是或.
【点睛】结论点睛:若,,有,则的值域是值域的子集.
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