专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点3 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（三）

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专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点3 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（三）
专题17  椭圆与双曲线共焦点问题
微点3  椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（三）
【微点综述】
圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考．
一、常用结论
【结论1】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．
证明：由已知得消去得，
又，因此．
又．
【结论2】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．
证明：由椭圆与双曲线的定义得两式分别平方再相减得．
在中，由余弦定理得，
，
，同理可得，
，
．
由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得．
【结论3】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．
证明：由结论2得，又．
注意到．
【结论4】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．
证明：．
【评注】结论4反映之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是，分子分别是，等式右边是与的平方和．
【结论5】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则，即．
证明：证法1：在中，由余弦定理得
，即，
，
即，亦即．
证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为，双曲线的虚半轴长为，
则，，所以，，，
，整理得：，即．

【结论6】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个公共点，则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．
证明：椭圆在点处的切线方程为，该切线的斜率为，
双曲线在点处的切线，该切线的斜率为，；又由结论1得，
则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．
【结论7】若点是椭圆与双曲线的一个公共点，且它们在点处的切线相互垂直，则椭圆与双曲线有共同的焦点．
证明：由已知得消去得，
因此．
由已知得，
椭圆与双曲线有共同的焦点．
二、应用举例
共焦点的椭圆与双曲线问题中涉及离心率一般有如下几类题型：
①求离心率的值（或取值范围）．
解题方法：由结论4或结论5得出的等量关系式，利用此关系式求离心率的值（或取值范围）．
②求两离心率之积的取值范围或最值．
解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求的取值范围或最值问题，一般可考虑均值不等式、三角换元、消元等方法处理．
③求（为正常数）型最值问题．
解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求（为正常数）的最大值，一般可考虑柯西不等式或三角换元等方法处理．
④求（为正常数）型最值问题．
解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求（为正常数）型最值，一般可考虑柯西不等式、三角换元或常值代换等方法处理．
上节中我们已经研究了类型（五），现在我们继续研究题型（六）～（八）及其解法．
（六）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题
例1．（2022浙江绍兴市·高二期末）
1．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（   ）
A．， B．， C．， D．，
3．已知是椭圆（）和双曲线（）的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最小值为________．
（七）求（为正常数）型最值问题
例4．（2022贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三开学考试）
4．已知椭圆与双曲线有公共焦点，，，为左焦点，为右焦点，P点为它们在第一象限的一个交点，且，设，分别为椭圆双曲线离心率，则的最大值为
A． B． C． D．
例5．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末）
5．已知椭圆：（）与双曲线：（）有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为___________________.
（八）求（为正常数）型最值问题
例6．（2022安徽·六安二中高二月考）
6．已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
例7．（2022新江宁这育·高二期末）
7．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则的最小值为（    ）
A．25 B．100 C．9 D．36
例8．（2022云南·昭通市昭阳区第一中学高二月考）
8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，分别是和的离心率，若，则的最小值为__________．
不难看出，有了以上性质之后，在解决有关共焦点的椭圆与双曲线的相关问题时，处理起来往往会比较简便，真正达到“少算、巧算”的目的．当然在具体的题目中，以上性质是否有用，取决于相应的题目条件．在教学过程中我们可以适当引导学生作出相应的归纳总结，如本文中由于经常出现共焦点的椭圆与双曲线的相关问题，我们不妨将其进行有效地研究与归纳总结，帮助学生提高计算的准确性与方法选择的恰当性，从而高效地解决问题．
【强化训练】
一、单选题
（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）
9．设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）
10．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（    ）
A． B． C． D．
（2022广西·江南中学高二月考）
11．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
12．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．2
13．已知椭圆，与双曲线具有相同焦点F1、F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，若∠F1PF2＝，则的最小值是
A． B．2＋ C． D．
（2022江西南昌模拟）
14．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（    ）
A． B． C． D．
（2022甘肃省民乐县第一中学高二期中）
15．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．1
（2022江苏省镇江第一中学高二期末）
16．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则 的最大值为（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
（2022·湖北·高二期末）
17．如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ）

A． B．若，则
C．若，则的最小值为2 D．
三、填空题
（2022吉林·长春市第二中学高二期中）
18．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，设是的一个交点，与的离心率分别是，若，则的最小值为________
（2022·黑龙江·鹤岗一中高三期末）
19．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共焦点，，是它们在第一象限的交点，且，则的最小值为________．
（2022江苏省如皋中学高二月考）
20．设为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为_________.
21．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值是__________．
（2022浙江温州·高二期末）
22．已知､为椭圆和双曲线的公共焦点，为和的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为________________.

参考答案：
1．D
【分析】先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，不妨设点在第一象限，然后根据椭圆和双曲线的定义可得，再利用余弦定理列等式，转化为离心率的等式后，根据基本不等式可求得.
【详解】如图所示：

设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
不妨设点在第一象限，则根据椭圆及双曲线的定义得，
，，
所以，，
设，，
在中，由余弦定理得，
化简可得：，所以，即，
由，解得.
故选：D
2．A
【分析】设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，，根据，利用余弦定理得到，进而得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，．
设，．．则，，∴，．
因为，
所以，
即．
∴，∴，
∴，则，当且仅当，时取等号．
故选：A．
3．.
【分析】根据题意，不妨设点在第一象限，那么，根据椭圆与双曲线的定义，得到，，根据余弦定理，整理得到，化为，根据基本不等式，即可求出结果.
【详解】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点在第一象限，那么，
因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为，
根据椭圆与双曲线的定义，有：
，，
解得，，
在中，由余弦定理，可得：
，
即，
整理得，
所以，
又，
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的离心率的相关计算，熟记椭圆与双曲线的定义与简单性质，结合基本不等式，即可求解，属于常考题型.
4．B
【分析】设椭圆的长半轴长为半焦距为,双曲线的实半轴长为,半焦距为,根据椭圆和双曲线的定义可得,,然后在焦点三角形中,由余弦定理以及离心率公式可得,最后利用柯西不等式即可得到.
【详解】设椭圆的长半轴长为,半焦距为,
双曲线的实半轴长为,半焦距为,
根据椭圆的定义可得:,根据双曲线的定义可得:,
两式联立解得:,,
在焦点三角形中,由余弦定理得:,
化简得:,两边同时除以,
得:,
由柯西不等式得:
,
即,
所以,所以.
故选B.
【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率以及柯西不等式,属难题.
5．
【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用三角换元求的最大值，即可求出此时的值.
【详解】设为第一象限的交点，、，
则、，解得、，
在中，由余弦定理得：，
∴，∴，
∴，∴，∴，
设，，则，
当时，取得最大值，此时，，，
故答案为：
6．D
【分析】利用椭圆的定义和双曲线的定义，以及余弦定理列方程，转化为离心率的形式，并用基本不等式求得最小值.
【详解】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点在第一象限，那么，半焦距为，
根据椭圆与双曲线的定义有：，，
解得，，
在中，由余弦定理，可得：，
整理得，
所以，
∴，
当且仅当取等号.
故选：D.
7．A
【解析】由椭圆与双曲线的定义得记，则（椭圆长轴长），，用余弦定理得出的关系，代入和与差后得的关系式，然后用基本不等式求得最小值．
【详解】记，则（椭圆长轴长），（双曲线的实轴长），
又由余弦定理得，
所以，即，变形为，
所以，当且仅当，即时等号成立．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的离心率，解题关键是掌握两个轴线的定义，在椭圆中，，在双曲线中，不能混淆．
8．
【分析】设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义求得，由此可求得的最小值，得到答案.
【详解】由题意，设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
令在双曲线的右支上，
由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，
两式平方相加，可得
又由，则，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的离心率的最值问题，其中解答中熟练应用椭圆的定义，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
9．A
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，利用椭圆和双曲线的定义可得出，再利用余弦定理和基本不等式计算即可求得结果.
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，
由椭圆和双曲线的定义可得，得，
设，因为，由余弦定理得
，
即，
整理得，故.
又，即，
所以，即的最小值为，
当且仅当即时等号成立.
故选：A.
10．B
【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．
【详解】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可知，设，，，
椭圆和双曲线的离心率分别为，，
因是它们的一个公共点，且，则由余弦定理可得：
……①
在椭圆中，由定义知，①式化简为：……②
在双曲线中，由定义知，①式化简为：……③
由②③两式消去得：，等式两边同除得，
即，
由柯西不等式得，
.
故选：B
11．C
【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果.
【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，

是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内，
，，，
即，，且，，
，，解得：．
在双曲线中，，；
在椭圆中，，；
；
，，则，，可得：，
的取值范围为.
故选：C.
12．A
【详解】试题分析：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设，椭圆和双曲线的离心率分别为
由余弦定理可得，①
在椭圆中，①化简为即即
在双曲线中，①化简为即即③
联立②③得，
由柯西不等式得即（
即，当且仅当时取等号，故选A
考点：椭圆，双曲线的简单性质，余弦定理

13．A
【分析】首先根据椭圆与双曲线的定义，得出与所满足的关系，列出式子，求得边长，之后借助于余弦定理，求得，之后应用椭圆的离心率与双曲线的离心率的式子，化简应用基本不等式求得最小值.
【详解】根据题意，可知，
解得，
根据余弦定理，可知，
整理得，
所以 ，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，余弦定理，椭圆和双曲线的离心率，基本不等式求最小值的问题，正确理解知识点是正确解题的关键.
14．B
【分析】设为第一象限点，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，根据双曲线的定义，结合余弦定理可得，再根据基本不等式求解最值即可.
【详解】设为第一象限点，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则
.
故选：B.
15．B
【分析】首先设椭圆的方程为，双曲线方程为，点在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义得到：，，从而得到，，利用余弦定理得到，从而得到，再利用基本不等式即可得到答案。
【详解】设椭圆的方程为，
双曲线方程为，点在第一象限，
由椭圆和双曲线的定义得：，，
解得，，
在中，由余弦定理得：
，
即：
整理得：。
所以，，即，
当且仅当时，等号成立．
故，所以的最大值为。
故选：B
【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的离心率，同时考查了基本不等式，属于中档题。
16．D
【分析】先设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,不妨设点在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不等式可求得.
【详解】如图所示:

设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,不妨设点在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得,
,,
所以,, ,
设,,
则在△中,由余弦定理得,
即,所以,即,
由柯西不等式得,
即.当且仅当,即,时,等号成立.
故选:D
【点睛】,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题.
17．ABD
【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B，C，D作答.
【详解】由椭圆和双曲线的定义得：，解得，，A正确；
在中，由余弦定理得：，
整理得，，即，
当时，，即，B正确；
当时，，，
当且仅当时取“=”，而，C不正确；
在椭圆中，，即，
在双曲线中，，即，
于是得，而，则，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明
常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a，c的关系.
18．
【分析】设，利用椭圆和双曲线的定义及余弦定理可利用表示出，结合可确定，由椭圆和双曲线的关系可得方程，进而利用基本不等式求得结果.
【详解】
设，，
，，
，，
令，，，
，则，
当时，，得：，
则，；
（当且仅当，即时取等号），
解得：，即的最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查共焦点的椭圆和双曲线的离心率最值问题的求解，解题关键是能够借助椭圆和双曲线的定义构造出关于的齐次方程，从而确定椭圆和双曲线离心率所满足的等量关系，从而利用基本不等式求得最值.
19．
【分析】设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，在双曲线的右支上，利用椭圆的定义以及双曲线的定义，通过余弦定理，转化求解的最小值．
【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，在双曲线的右支上，
由椭圆的定义，
由双曲线的定义，
所以有，，
因为，
由余弦定理可得，
整理得，
所以
，当且仅当时取等号，
故答案为：．

20．8
【分析】由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到+=2，再利用基本不等式，即可得出结论．
【详解】由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②
又∠F1PF2=90°，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③
①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④
将④代入③得a2+m2=2c2，可得+=2，
∴=（+）（）=（10++）≥（10+6）=8，
故答案为8．
【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义焦点三角形中用勾弦定理建立三个方程联立求椭圆离心率e1与双曲线心率e2满足的关系式，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程来．
21．
【分析】设出双曲线和椭圆方程，根据两者关系得到，在中由余弦定理可得 ，根据均值不等式可得到结果.
【详解】设椭圆方程是,双曲线方程是,由定义可得 ,在中由余弦定理可得,即
.
当且仅当时等号成立.
故答案为.
【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的几何意义的应用，找到两者的联系，得到相应的方程，进而表示出要求的量，也考查了利用均值求最值的方法，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
22．
【解析】设椭圆的长轴为，双曲线的实轴为，公共焦距为，设，不放设，则有，，，所以在中，结合余弦定理可得带入可得，所以 ，再利用柯西不等式，即可得解.
【详解】设椭圆的长轴为，双曲线的实轴为，
公共焦距为，设，不放设，
则有，
，，
由，所以在中，
有，
代入可得
，
所以 ，
，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的定义，考查了离心率公式，以及利用柯西不等式求最值，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有：
（1）椭圆和双曲线的定义，圆锥曲线的定义是解析几何常考考点；
（2）柯西不等式的应用，柯西不等式是求最值得重要方法.