辽宁省辽西联合校2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（解析版）

2022－2023学年度上学期辽西联合校高三期中考试数学试题

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集的知识确定正确选项.

【详解】依题意.

故选：B

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论.

【详解】由特称命题的否定的概念知，

“，”的否定为：，．

故选：B．

3. 已知，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据命题的充分必要性直接判断.

【详解】对于不等式，可解得或，

所以可以推出，而不可以推出，

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：A.

4. 已知函数，则

A. 4 B. 2 C. 1 D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】根据极限的定义计算即可.

【详解】 ；

故选：B.

5. 已知角的终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角函数的定义得，再由诱导公式和弦化切公式可得选项.

【详解】角∵的终边经过点，则，

∴，

故选：D．

6. 若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由指数函数和对数函数的性质进行比较即可.

【详解】，

由对数函数的性质可得，

故.

故选：A

【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题.

7. 已知奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（    ）

A （－∞，－2）∪（0，2） B. （－2，0）∪（2，＋∞）

C. （－∞，－2）∪（2，＋∞） D. （－2，0）∪（0，2）

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据题意得到函数在上单调递减，且，再结合单调性解不等式即可.

【详解】因为奇函数在上单调递减，且，

所以函数在上单调递减，且，

所以当，，，满足，

当，，，不满足，

当，，，不满足，

当，，，满足，

综上：的解集为.

故选：C

8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中错误的是（    ）

A. 当时，

B. 函数有3个零点

C. 的解集为

D. ，都有

【答案】A

【解析】

【分析】由奇函数求出的解析式即可判断A选项；解方程求出零点即可判断B选项；解分段函数不等式即可判断C选项；求导确定单调性得出函数图象，即可判断D选项.

【详解】对于A，已知函数是定义在上的奇函数，当时，，，则，A错误；

对于B，易得，当时，，可得；当时，，可得，则函数有3个零点，B正确；

对于C，由，当时，由得；

当时，由得，则的解集为，C正确；

对于D，当时，，，当时，，单减，此时；

当时，，单增，，时，；时，有极小值；

结合函数是定义在上的奇函数，可得的图象，

结合图象知，的值域为，则，都有，D正确.

故选：A.

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知平面向量， 则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】应用向量数量积的坐标运算可得，由向量坐标的线性运算求、，即可得答案.

【详解】由题设，，故，A错误，B正确；

，C正确；

，D正确.

故选：BCD

10. 设集合，若，则实数的值可以为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】解方程可得集合，再结合集合间运算结果分情况讨论.

【详解】由，得，

又，

当时，即，成立；

当时，，，或，，

故选：ABD.

11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A. 函数的图象关于点对称

B. 函数的图象关于直线对称

C. 函数在单调递减

D. 该图象向右平移个单位可得的图象

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据函数的图象，可求出的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.

【详解】由函数的图象可得，周期，所以，

当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，

故函数.

对于A，当时，，即点是函数的一个对称中心，故A正确；

对于B，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故B正确；

对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误；

对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及三角函数性质，考查推理能力与计算求解能力，属中档题.

12. 已知函数 ，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值可以是（    ）

A  B.  C. 3 D. 4

【答案】CD

【解析】

【分析】作出函数的大致图象，将方程有两个不相等的实数根，转化为与图象有2个交点的问题，数形结合，求出参数的范围，可得答案

【详解】如图，作出函数的大致图象，

当时， ，

故在点处的切线斜率为 ，

直线过定点，当时，与图象有一个交点；

直线过点时， ，此时与图象有2个交点；

当时，与图象有一个交点；

当时，与图象有2个交点；

综上，当时，与图象有2个交点，

故方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值可以是3，4，

故选：CD

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若，，，则x的值为______．

【答案】1

【解析】

【分析】根据向量平行的充要条件即可求得.

【详解】解：

，解得．

故答案为：

14. 一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为____________度．

【答案】

【解析】

【分析】设扇形的半径为，圆心角为，根据弧长与扇形面积公式得到方程组，解得即可.

【详解】解：设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，

解得；

故答案为：

15. 设，，，则向量与的夹角的余弦值为______．

【答案】##

【解析】

【分析】利用向量的夹角公式直接求得．

【详解】因为，，，

所以，

即，

所以，即，

所以．

因为，

所以向量夹角的余弦值为．

故答案为：．

16. 已知等差数列的前项和为，则的最大值为_____.

【答案】54

【解析】

【分析】先求出等差数列的通项公式及前项和，再利用导数求的最大值即可.

【详解】解：因为是等差数列，且有，

所以，解得，

所以，=，

令，

所以，

因为，

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，

故答案为：54.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时写出文字说明、证明过程或者演算步骤）

17 已知等差数列满足，前4项和．

（1）求的通项公式；

（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列关于和的方程组，解方程求得和的值，即可求解；

（2）等比数列的公比为，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得和的值，即可求解.

【小问1详解】

设等差数列首项为，公差为d．

∵

∴

解得：

∴等差数列通项公式

【小问2详解】

设等比数列首项为，公比为q

∵

∴

解得：

即或

∴等比数列通项公式或

18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求面积．

【答案】（1）（2)

【解析】

【分析】

（1）由已知利用平面向量平行的运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据不为0，求出的值，即可求出的度数；

（2）由, 与的值，利用正弦定理列出关系式，求出值进而得C角，再由三角形面积公式即可求值．

【详解】解：（1）由得，，

由正弦定理可得，，

可得：，即：，

由，可得：，

又，

可得：．

（2）由已知及正弦定理得即可得

即故

的面积．

【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基本题．

19. 设函数在处取得极值-1.

（1）求、的值；

（2）求的单调区间.

【答案】（1）   

（2）的单调递增区间为，单调递减区间为.

【解析】

【分析】（1）根据极值和极值点列出方程组，求出；（2）结合第一问得到单调区间.

【小问1详解】

，由题意得：，，

解得：，

此时，

当时，，当或时，，

故为极值点，满足题意，

所以.

小问2详解】

由（1）可知：当时，，当或时，，

故的单调递增区间为，单调递减区间为

20. 已知函数．

（1）求函数在上的单调区间；

（2）在中，内角的对边分别为，若，，求的周长的取值范围．

【答案】（1）单调增区间，单调减区间是   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意得，进而求得函数的单调区间，再结合求解即可；

（2）根据题意求得，进而结合余弦定理得，再根据基本不等式求解即可.

【小问1详解】

解： ，

由，得，

，得

因为，

所以，当时得单调递增区间为；

当时得单调递增区间为，单调递减区间为.

所以函数在上的单调增区间是，单调减区间是．

【小问2详解】

解：由（1）有，，得，

因为为锐角，，所以，即，

由余弦定理得，，

所以，所以，即，

又，

所以，得，当且仅当时取等号，

又，

所以，

所以，周长的取值范围是

21. 已知数列的前n项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）存在，的最小值为

【解析】

【分析】（1）利用求得数列的通项公式.

（2）利用裂项求和法求得，求得的取值范围，结合二次函数的性质求得的最小值.

【小问1详解】

依题意，

当时，，

当时，，

当时上式也符合，所以.

【小问2详解】

，

，

为单调递增数列，，则，

所以，

函数的对称轴为，

，

当时，递增.

所以使成立的正整数的最小值为.

22. 已知函数，其中为实常数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论的单调性；

（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）答案详见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.

（2）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.

（3）结合（2），对进行分类讨论，结合的单调区间、最值，求得的取值范围.

【小问1详解】

，

所以，

所以切线方程为.

【小问2详解】

的定义域为,，

当时，在区间递减；

在区间递增.

当时，，在上递减.

当时，在区间递减；

在区间递增.

【小问3详解】

由（2）知：

当时，在上递减，，不符合题意.

当时，在区间上，，

依题意可知，解得.

综上所述，的取值范围是.