九年级数学中考专题训练——二次函数的最值

这是一份九年级数学中考专题训练——二次函数的最值，共46页。

中考专题训练——二次函数的最值
1．在平面直角坐标系中，已知抛物线（、为常数）的顶点为，等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限．

（1）如图，若该抛物线经过、两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点在直线上滑动，且与交于另一点．
①若点在直线下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的坐标；
②取的中点，连接，，求的最大值．
2．如图，二次函数的图象经过点，直线与轴交于点为二次函数图象上任一点．

求这个二次函数的解析式；
若点是直线上方抛物线上一点，过分别作和轴的垂线，交直线于不同的两点在的左侧)，求周长的最大值；
是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点和点，与轴交于点，且点在轴上，为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）若是第一象限内抛物线上的一个运动的点，点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，求当为何值时，线段的长最大？最大值是多少？并直接写出此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，当的长取得最大值时，在坐标平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由．

4．如图，抛物线y=ax2+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；
（3）在（2）的条件下，抛物线上点D（不与C重合）的纵坐标为m的最大值，在x轴上找一点E，使点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出E点坐标．


5．如图，平面直角坐标系xOy中点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当四边形ABNO的面积最大时，求点N的坐标并求出四边形ABNO面积的最大值．

6．如图，二次函数 y＝ax2﹣2ax+c(a＞0)的图象与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，它的顶点为 P，直线 CP 与过点B 且垂直于 x 轴的直线交于点 D，且 CP：PD＝1：2，tan∠PDB＝．
(1)则 A、B 两点的坐标分别为 A( ， )； B( ， )；
(2)求这个二次函数的解析式；
(3)在抛物线的对称轴上找一点M 使|MC﹣MB|的值最大，则点M 的坐标为 ．





7．如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．
（1）求顶点A的坐标
（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

8．已知，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
(1)直接写出C点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．

9．如图，抛物线y=-0.75x2+3与x轴交于点A，点B，与直线y=-0.75x+b相交于点B，点C，直线y=-0.75x+b与y轴交于点E．
（1）写出直线BC的解析式．
（2）求△ABC的面积．
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

10．如图，二次函数y=ax2+bx+c与直线相交于A、B两点，A点在y轴上，当x=6时，二次函数有最大值，最大值为10，点C是二次函数图象上一点（点C在AB上方），过C作CD⊥x轴，垂足为点D，交AB于点E，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F．

（1）求二次函数的表达式；
（2）当点C在何位置时，线段CE有最大值？请求出点C的坐标及CE的最大值；
（3）当点C在何位置时，线段BE与线段CF互相平分？请求出点C的坐标．
11．抛物线y=－x2＋bx＋c经过点A、B、C，已知A（－1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点B的坐标及直线BC的解析式；
（3）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，求△BDC的面积的最大值．
12．如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴分别交于点A（4，0），B（－2，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；                                 
（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为．

(1)求点C的坐标；
(2)①如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
②如图2，若点Q为抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点Q的坐标；
(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点M是抛物线上一动点，且在第三象限；当M点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点M的坐标．

15．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A．
(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；
(2)当时，的最大值是3，求当时，的最小值；
(3)抛物线上的两点，，若对于，，都有，直接写出的取值的范围．
16．如图，抛物线与轴交于，两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
17．在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知，当时，的取值范围是，求，的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数，当时，的取值范围是，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
18．已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a．
（1）当a＝1时，求该二次函数的最大值；
（2）若该二次函数图象与坐标轴有两个交点，求实数a的值；
（3）若该二次函数在﹣≤x≤有最大值﹣3，求实数a的值．



19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣5），与x轴交于点A和点B，其中点B的坐标为（5，0），抛物线对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜5时，y的取值范围为 　 　；
（3）点P为该二次函数在第四象限内图象上的一动点，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，设线段PQ长为l，求l的最大值，并写出此时点P的坐标．

20．已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．

参考答案：
1．（1）；（2）①，，，；②的最大值为．
【分析】（1）先求出点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）①首先求出直线的解析式和线段的长度，作为后续计算的基础．
若为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
当为直角边时：点到的距离为．此时，将直线向右平移4个单位后所得直线与抛物线的交点，即为所求之点；
当为斜边时：点到的距离为．此时，将直线向右平移2个单位后所得直线与抛物线的交点，即为所求之点．
②由①可知，为定值，因此当取最小值时，有最大值．
如答图2所示，作点关于直线的对称点，由分析可知，当、、中点）三点共线时，最小，最小值为线段的长度．
【解析】解：（1）等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为
点的坐标为．
抛物线过，两点，
，
解得：，，
抛物线的函数表达式为：．
（2）①，，，
直线的解析式为：．
设平移前抛物线的顶点为，则由（1）可得的坐标为，且在直线上．
点在直线上滑动，
可设的坐标为，
则平移后抛物线的函数表达式为：．
解方程组：，
解得，
，．
过点作轴，过点作轴，则
，．
．
若以、、三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
当为直角边时：点到的距离为（即为的长）．
由，，可知，
为等腰直角三角形，且，．
如图1，过点作直线，交抛物线于点，则为符合条件的点．
可设直线的解析式为：，
，
，
解得，
直线的解析式为：．
解方程组，
得：，
，．

当为斜边时：，可求得点到的距离为．
如答图2，取的中点，则点的坐标为．
由，，可知：
为等腰直角三角形，且点到直线的距离为．
过点作直线，交抛物线于点，则为符合条件的点．
可设直线的解析式为：，
，
，
解得，
直线的解析式为：．
解方程组，
得：，
，，，．
综上所述，所有符合条件的点的坐标为：
，，，，，．
②存在最大值．理由如下：
由①知为定值，则当取最小值时，有最大值．

如答图2，取点关于的对称点，易得点的坐标为，．
连接，，，
易得，且，
四边形为平行四边形．
．
．
当、、三点共线时，最小，最小值为．
的最大值为．
【点评】本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．
2．；最大周长为；或或．
【分析】（1）运用待定系数法求这个二次函数的解析式；
（2）先求解的解析式，证明 得到 利用的坐标表示的长度，利用三角函数求解的长度，建立周长与的横坐标之间的函数关系式，利用函数的最值求周长的最大值，
（3）分情况讨论：以为直角顶点，利用 可直接得到答案，以为直角顶点时，利用求解的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式可得答案．
【解析】解：（1）
设抛物线为：
把代入



（2）设直线为

解得：




轴，轴，

设




的周长
当时，周长最大．
最大周长为：

（3）如图，当时，


为抛物线与轴的交点，


当时，与轴交于点，





设的解析式为：

解得：
为

解得：
或

综上：以为直角边的直角三角形时，点坐标为或或．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，利用二次函数求图形周长的最值问题，直角三角形的存在性问题，同时考查三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
3．（1）；点的坐标为；（2）当时，的长最大，最大值是，；（3）存在，，，
【分析】（1）根据直线方程得出A，C两点的坐标，再代入抛物线，即可求出解析式，再对解析式进行配方即可得出D点的坐标；
（2）用m表示出PQ的坐标，根据题意列出关于m的函数解析式，求解即可；
（3）需要分类讨论：①以PQ为边时，②以PQ为对角线时．
【解析】解：（1）由直线可知，，
把点和点代入中，得
解得：，
，
又∵，
点的坐标为；
（2）将y=0代入抛物线，
得B点坐标为（3，0），
∵有（1）得C点的坐标为，
∴可知的解析式是，
∴设，

当时，的长最大，最大值是，
；
（3）存在，在（2）的条件下P点的坐标为，Q点的坐标为，
①以PQ为边时，则AH∥PQ，即H点与A点的横坐标一致时，能让以为顶点的四边形是平行四边形，此时根据设H点的坐标为（-1，a）,
根据平行四边形的性质可得│AH│=│PQ│,即│a│-0=，
解得a=±，
∴此时H的坐标有两种情况：，，
②以PQ为对角线时，则有AQ∥PH，能让以为顶点的四边形是平行四边形，
此时设H点的坐标为（a，b），
根据图象和平行四边形的性质可得，
解得，
∴此时H的坐标为：，
综上符合题意的H点的坐标有：，，．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数求最值，平行四边形的性质，二次函数图象，掌握相关知识点是解题关键．
4．（1）；（2），当 时，的最大值为4；（3）或
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线的解析式得到关于、的方程组，从而可求得、的值；
（2）先求得点的坐标，然后依据待定系数法求得直线的解析式，由直线可抛物线的解析式可知，，从而可求得与的关系式，最后依据配方法可求得的最大值；
（3）将代入抛物线的解析式求得点的坐标，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得到时，、、、为顶点的四边形是平行四边形，从而可求得点的坐标．
【解析】解（1）抛物线经过，两点，
．
解得：，．
抛物线的解析式为．
（2）将代入抛物线的解析式得：，
．
设直线的解析式为．
将，代入得：，解得：，
直线的解析式为：．
过点作的垂线交于点Q，如图所示：

点的横坐标为，
，．
．
．
当时，的最大值为4．
（3）将代入抛物线的解析式得：．
解得：，．
点与点不重合，
点的坐标为．
又
轴，．
当时，、、、为顶点的四边形是平行四边形．
点或．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、配方法求二次函数的最值、平行线四边形的判定，由抛物线和直线BC的解析式得到点P和Q的坐标，从而得到PQ与t的函数关系式是解题的关键．
5．（1）E点坐标为(0, )；（2） ；（3）四边形ABNO面积的最大值为，此时N点坐标为(， )．
【分析】（1）先利用待定系数法求直线AB的解析式，与y轴的交点即为点E；
（2）利用待定系数法抛物线的函数解析式；
（3）先设N(m，m2−m)(0＜m＜3)，则G（m，m），根据面积和表示四边形ABNO的面积，利用二次函数的最大值可得结论．
【解析】（1）设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（-1，1），B（3，3）代入得，解得，
所以直线AB的解析式为y＝x+，
当x=0时，y＝×0+＝，
所以E点坐标为(0，)；
（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A（-1，1），B（3，3），O（0，0）代入得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2−x；
（3）如图，作NG∥y轴交OB于G，OB的解析式为y=x，

设N(m，m2−m)(0＜m＜3)，则G（m，m），
GN＝m−(m2−m)＝−m2+m，
S△AOB=S△AOE+S△BOE=××1+××3=3，
S△BON＝S△ONG+SBNG＝•3•(−m2+m)＝−m2+m
所以S四边形ABNO＝S△BON+S△AOB＝−m2+m+3＝− (m−)2+
当m＝时，四边形ABNO面积的最大值，最大值为，此时N点坐标为(，)．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数的性质；理解坐标与图形性质，利用面积的和差计算不规则图形的面积．
6．（1）﹣1，0；3，0；（2）y=x2﹣x﹣；（3）（1，﹣）
【分析】（1）先求得抛物线的对称轴为x=1，然后利用平行线分线段成比例定理求得OE：EB的值，从而得到点B的坐标，利用抛物线的对称性可求得点A的坐标；
（2）过点C作CF⊥PE，垂足为F．先求得点C和点P的坐标（用含字母的式子表示），然后可得到PF=a，然后利用锐角三角函数的定义可求得a的值，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得c的值；
（3）根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点A、C、M在同一直线上时|MC-MB|最大，设直线AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据点M在对称轴上代入计算即可得解．
【解析】（1）如图所示：
∵由题意可知：抛物线的对称轴为x=1，
∴OE=1．
∵OC∥PE∥BD，CP：PD=1：2，
∴=．
∴BE=2．
∴OB=3．
∴B（3，0）．
∵点A与点B关于PE对称，
∴点A的坐标为（﹣1，0）．
故答案是：﹣1，0；3，0；
（2）过点C作CF⊥PE，垂足为F．
将x=0代入得：y=c，
∴点C的坐标为（0，c）．
将x=1代入得y=﹣a+c．
∴点P的坐标为（1，﹣a+c）．
∴PF=a．
∵PE∥BD，tan∠PDB=，
∴tan∠CPF=tan∠PDB=．
∴．
解得a=．
将a=代入抛物线的解析式得：y=x2﹣x+c．
将点A的坐标代入得： ++c=0，解得：c=﹣．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣．
（3）由三角形的三边关系，|MC﹣MB|＜AC，
∴当点A、C、M在同一直线上时|MC﹣MB|最大，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴y=﹣x﹣，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y=﹣×1﹣=﹣，
∴点M的坐标为（1，﹣）．
故答案是：（1，﹣ ）．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了抛物线的对称性，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理，作CF垂直于对称轴，利用锐角三角函数的定义求得a的值是解题的关键．
7．（1）（﹣1，1）；（2）P（，）；（3）.
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q，求出直线BP的解析式，表示出点Q的坐标，根据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得P点坐标；
（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．
【解析】解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，
解得m=2，
∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，
∴顶点A的坐标是（﹣1，1）；
（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q.
∵直线OB的解析式为y=﹣x，
故设P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），
∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，
∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，
当n=时，S△OPB的最大值为．
此时y=﹣n2+2n=，
∴P（，）；
（3）∵直线OA的解析式为y=x，
∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a，
联立，
∴﹣（x﹣a）2+a=x，
∴x1=a，x2=a﹣1，
即C、D两点间的横坐标的差为1，
∴CD=．

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型.
8．(1) （0，﹣3）；(2) y=x2+x﹣3；(3) 四边形ABCD面积的最大值为13.5．
【分析】（1）由点B的坐标为（1，0），OC=3OB，且点C在y轴的负半轴上可求出点C的坐标；
(2)已知了B点坐标,易求得OB、OC的长,进而可将B、C的坐标代入抛物线中,求出待定系数的值,即可得出抛物线的解析式.
(3)根据A、C的坐标,易求得直线AC的解析式.由于AB、OC都是定值,则△ABC的面积不变,若四边形ABCD面积最大,则△ADC的面积最大;可过D作x轴的垂线,交AC于M,x轴于N;易得△ADC的面积是DM与OA积的一半,可设出N点的坐标,分别代入直线AC和抛物线的解析式中,即可求出DM的长,进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积.
【解析】(1)∵点B的坐标为（1，0），OC=3OB，
∴OB=1，OC=3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
(2)将B（1，0）、C（0，﹣3）代入y=ax2+3ax+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣3．
(3)过点D作直线DE∥y轴，交AC于点E，交x轴于点F，过点C作CG⊥DE于点G，如图所示．
当y=0时，有x2+x﹣3=0，
解得：x1=﹣4，x2=1，
∴点A的坐标为（﹣4，0），
∴AB=5．
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．
设点D的坐标为（t，x2+x﹣3），则点E的坐标为（t，﹣ t﹣3），
∴ED=﹣t﹣3﹣（x2+x﹣3）=﹣t2﹣3t，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△AED+S△CED，
=AB•OC+ED•AF+ED•CG，
=AB•OC+ED•AO，
=×5×3+×4（﹣t2﹣3t），
=﹣t2﹣6t+=﹣（t+2）2+．
∵﹣＜0，
∴当t=﹣2时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为．
答：四边形ABCD面积的最大值为．
【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数求最值及割补法求图形的面积，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键.
9．（1）BC的解析式为y=x+；
（2）×4×=
（3）当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为．
【解析】试题分析：（1）令y=0代入y=-x2+3求出点A，B的坐标．把B点坐标代入y=-x+b求出BC的解析式．
（2）联立方程组求出B．C的坐标．求出AB，CD的长后可求出三角形ABC的面积．
（3）过N点作NP⊥MB，证明△BNP∽△BEO，由已知令y=0求出点E的坐标，利用线段比求出NP，BE的长．求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值．
试题解析：（1）在y=-x2+3中，令y=0，∴-x2+3=0，∴x1=2，x2=﹣2
∴A（﹣2，0），B（2，0），又点B在y=-x+b上，∴0=-+b，b=
∴BC的解析式为y=-x+．由，得，．
∴C(-1，)，B（2，0），∴AB=4，CD=，
∴×4×=．过点N作NP⊥MB于点P，∵EO⊥MB，∴NP∥EO
∴△BNP∽△BEO，∴．由直线y=-x+可得：E(0,)
∴在△BEO中，BO=2，EO=，则BE=，∴，∴NP=t，∴S=.t．（4﹣t）=﹣t2+t（0＜t＜4）=﹣（t﹣2）2+
∵此抛物线开口向下，
∴当t=2时，S最大=，∴当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为．
考点：二次函数综合题．
10．（1）y=-x2+3x+1．（2）点C的坐标为（5，）时，yCE最大=．（3）当点C的坐标为（4，9）或（6，10）时，线段BE与线段CF互相平分．
【解析】试题分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴两点之间的距离是减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据解方程组，可得B点坐标，根据平行四边形的判定与性质，可得关于关于x的方程，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标．
试题解析：（1）将x=0代入，得y=1．
∴点A（0，1）．
设二次函数的表达式为y=a（x-6）2+10，
将x=0，y=1代入，得a=-
∴y=-（x-6）2+10．
即y=-x2+3x+1．
（2）点C在抛物线上，点E在AB上，设C点坐标为（m，-m2+3m+1），E（m，m+1）
yCE=-m2+3m+1-m-1=-m2+m
x=5时，yCE最大=．
将m=5代入y=-x2+3m+1，得y=．
∴当点C的坐标为（5，）时，yCE最大=．
（3）
解，得x1=0，x2=10．
将x=10代入y=x+1=6，
∴BF=6．
∵线段BE与线段CF互相平分，
∴四边形BCEF是平行四边形．
∴CE=BF=6．
即-x2+x=6．
解，得x1=4，x2=6．
将x1=4，x2=6，分别代入y=-x2+3x+1．
得y1=9，y2=10．
∴当点C的坐标为（4，9）或（6，10）时，线段BE与线段CF互相平分．
考点：二次函数综合题.
11．（1）抛物线解析式为y=－x2＋2x＋3．（2）直线BC的解析式为y=－x+3
（3）当时，△BDC的面积最大值是
【解析】试题分析：解：（1）∵A（－1，0），C（0，3）在抛物线y=－x2＋bx＋c上，
∴
∴解得
∴抛物线解析式为y=－x2＋2x＋3．
（2）令－x2＋2x＋3=0，解得x1= －1，x2="3"
∴B（3，0）                            
设直线BC的解析式为y=kx+b′，则
解得：
∴直线BC的解析式为y=－x+3                 
（3）设P（a，3－a），则D（a，－a2＋2a＋3）
∴PD=（－a2＋2a＋3）－（3－a）=－a2＋3a （7分）
∴

∴当时，△BDC的面积最大值是
考点：一次函数二次函数等
点评：本题难度较大，主要考查学生对函数知识点及图像性质的掌握．为中考常考题型，要求学生培养数形结合思想多做训练，并灵活运用到考试中去．
12．（1）y＝－x2＋2x＋8；（2）（2，8）；（3）（1，4＋）或（1，4－）
【解析】试题分析：（1）由抛物线股过点A（4，0），B（－2，0）根据待定系数法求解即可；
（2）设M坐标为（a，－a 2＋2a＋8），先求得点C的坐标，再求得直线AC的解析式，过点M作x轴的垂线，交AC于N，则N的坐标为(a，－2a＋8)，根据△ACM的面积＝△MNC的面积＋△AMN的面积再结合二次函数的性质求解即可；
（3）分①当∠ACP＝90°时，②当∠CAP＝90°时，③当∠APC＝90°时，这三种情况分析即可.
（1）∵y＝－x2＋mx＋n与x轴分别交于点A（4，0），B（－2，0），
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8；
（2）设M坐标为（a，－a 2＋2a＋8），其中a＞0．
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C(0，8)．
∵A（4，0），C(0，8)．
∴直线AC的解析式为y＝－2x＋8．
过点M作x轴的垂线，交AC于N，则N的坐标为(a，－2a＋8)．
∴△ACM的面积＝△MNC的面积＋△AMN的面积＝－a 2＋4a＝－(a－2)2＋4
当a＝2，即M坐标为（2，8）时，△ACM的面积最大，最大面积为4；
（3）①当∠ACP＝90°时，点P的坐标为(1，9.5)；
②当∠CAP＝90°时，点P的坐标为（1，－1.5）；
③当∠APC＝90°时，点P的坐标为（1，4＋）或（1，4－）．
考点：二次函数的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
13．(1)
(2)①，②
(3)点M的坐标为：或(或．

【分析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可；
（2）①过P作于点E，过点P作轴交AC于点H，证明△是等腰直角三角形，得 当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为，设，则，求得PH，再根据二次函数的性质求知算可；
②设出Q点坐标，根据，利用两点距离公式求解即可，再代入对称轴的坐标求出点Q即可．
（3）分①当AC为平行四边形的边，②当C为对角线两种种情况讨论求解即可．
【解析】（1）解：∵点在随物线的图像上，
∴ ，
∴点C的坐标为；
（2）①解：过P作于点E，过点P作轴，交AC于点H，如图：

∵，
∴,
∴△是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴△是等腰直角三角形，
∴ ，当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为，代入A点得，
设，则，
∴，
∴当 时，PH最大为 ，此时PE最大为 ，即点P到直线AC的距离值最大；
②∵
②设点，则可以表示为：
解得：，
故坐标为
（3）存在
∵
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为，点M的坐标为，
①当AC为平行四边形的边且时：

∵，
∴，即，解得．
∴点M的坐标为；
②当AC为平行四边形的边且时：

同①得：，点M的坐标为；
③当AC为对角线时，如图：

∵，
∴线段AC的中点H的坐标为
∴ 解得，，
∴点M的坐标为
综上，点M的坐标为：或(或．
【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换。二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
14．(1)
(2)存在，
(3)四边形的最大面积为，此时点M的坐标为

【分析】(1)将点C的坐标代入解析，即可求出抛物线的解析式；
(2)首先令，即可求得点A、B的坐标，再利用待定系数法求直线AC的解析式，最后利用两点之间线段最短，并结合二次函数的对称性找出点P的位置即可；
(3)过点M作于点D，设点M的坐标为，即可得，由二次函数的最值问题，即可求得四边形最大面积及此时点M的坐标．
【解析】（1）解：将点C的坐标代入解析，
得，
解得，
故抛物线的解析式为；
（2）解：存在；
如图：连接，交抛物线的对称轴于点P，点P即为所求的点，

点A与点B关于对称所在的直线对称，
，
此时最小，
又的长为定值，
此时的周长最小，
令，则，
解得，，
，，
设直线的解析式为，
将A、C的坐标分别代入，
得
解得
故线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，点P在抛物线的对称轴上
点P的横坐标为，
当时，，
点P的坐标为；
（3）解：如图：过点M作于点D，

设点M的坐标为：，
则


，
，
当时，四边形的面积最大，最大面积为，
当时，，
故四边形的最大面积为，此时点M的坐标为．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、轴对称−最短路线问题、待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想进行求解．
15．(1)；直线；
(2)；
(3)或．

【分析】（1）令可得点A坐标，直接用对称轴的公式写出抛物线的对称轴；
（2）由当时，的最大值是3，可知抛物线开口向下，可知最大值是顶点纵坐标，最小值是在离对称轴比较远的时取到；
（3）分两种情况进行讨论：①当时，需满足：时的函数值小于时的函数值，②时，需满足：时的函数值大于时的函数值；分别列出不等式即可得到答案．
（1）
解：令得，
；
抛物线的对称轴为直线；
故点；抛物线的对称轴为直线．
（2）
解：，
抛物线的开口向下，
对称轴是直线，在时，的最大值是3
当时，，
，
，
，
当时，y取最小值，
，
故当时，的最小值为．
（3）
解： 对于，，都有，分两种情况讨论：
①当时，需满足：时的函数值小于时的函数值，
，
解得：，
；
②时，需满足：时的函数值大于时的函数值，
，
解得：，
；
综上所述，若对于，，都有，则的取值的范围是或．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像与性质，熟练地运用数形结合的思想方法与根据二次函数的性质列出不等式是解此题的关键．
16．(1)抛物线的解析式为：
(2)存在，点的坐标为
(3)存在，最大值为

【分析】（1）根据题意可知，将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）设，过点作轴交于点，连接、、，根据，将表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得的最大值．
【解析】（1）解：将，代入中，
可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
如图，
∵、两点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与的交点即为点，此时周长最小，连接、，
∵点是抛物线与轴的交点，
∴的坐标为，
又∵，
∴直线解析式为：，
∴点坐标即为，
解得：，
∴；

（3）解：存在，理由如下：
如图，设，过点作轴交于点，连接、、，
∵，
若有最大值，则就最大，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大值为．

【点评】本题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．
17．（1）；（2），；（3）存在，．
【分析】（1）利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍，即可求出该抛物线的对称轴．
（2）分别讨论的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下取最大值与最小值时，对应的的取值，进而求出求，的值．
（3）由于的取值范围是，取不到最大值和最小值，故不包含对称轴，分别讨论在对称轴的左右两侧即可．
【解析】（1）解：依题意，
∵ 抛物线过点（0，3），（4，3），
∴ 该抛物线的对称轴为直线．       
（2）解：∵ 抛物线对称轴为直线，
∴ ，即 ①．
∵ ，
∴ ．
∵ ，抛物线开口向上，
∴ 当时，函数值在上取得最小值．
即 ②．
联立①②，解得，．                    
∴ 抛物线的表达式为，即．
∵，
∴ 当时，y随x的增大而减小，当时取得最大值，
当时，y随x的增大而增大，当时取得最大值，
∵对称轴为，
∴与时的函数值相等．
∵，
∴ 当时的函数值大于当时的函数值，即时的函数值．
∴ 当时，函数值在上取得最大值3．
代入有，舍去负解，得．     
（3）解：存在，．
当时，的取值范围是，无法取到最大值与最小值，
关于的取值范围一定不包含对称轴，
①当时，在对称轴的左侧，
二次函数开口向上，
时，有最大值，时，有最小值，
由题意可知：，解得：，
故，
②当时，在对称轴的右侧，
二次函数开口向上，
时，有最小值，时，有最大值，
由题意可知：，此时无解，
故不符合题意，
．
【点评】本题主要是考查了对称点与对称轴的关系，以及二次函数的最值求解，熟练通过分类讨论，分别讨论对称轴与的取值范围的关系，进而确定函数取最值时的的取值，是求解该题的关键．
18．（1）2；（2）（3）或
【分析】（1）将代入解析式，进而根据顶点公式求得最大值；
（2）由于二次函数与轴必有一个交点，且为，分类讨论，令，①与轴1个交点，即一元二次方程根的判别式等于0，与轴1个交点，且不为，②若与轴有两个交点，则必过原点，进而即可求得答案；
（3）根据题意分三种情况讨论，进而解一元二次方程即可，①，②，
【解析】解：（1）将代入解析式y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，
即，

当时，该二次函数的最大值为
（2）①令，

解得
即该抛物线为与坐标轴的交点为原点，只有1个交点，不符合题意
②则该抛物线与轴有两个交点，且有一个必过原点
即，解得或（舍）
综上所述，
（3）y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a的对称轴为
①若，即，抛物线的开口向下，当时，
该二次函数在﹣≤x≤有最大值﹣3，

解得
，
舍去
②若，即
当﹣≤x≤时，随的增大而减小，当时，取得最大值为

解得


③若，即
当﹣≤x≤时，随的增大而增大，当时，取得最大值为

解得


综上所述或
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题，二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．（1）；（2）；（3）最大值为，点P坐标为（，）．
【分析】（1）先求出点A坐标，然后设抛物线交点式解析式，再将点C（0，5）代入求解．
（2）抛物线开口向上，顶点为最低点，x=2时y取最小值，52＞20，x=5时y取最大值．
（3）先求出BC所在直线解析式，然后用直线上点纵坐标-抛物线上对应点纵坐标．
【解析】解：（1）∵点B坐标为（5，0），抛物线对称轴为直线x=2，
∴点A坐标为（1，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x5），将（0，5）代入解析式得5=a（0+1）（05），
解得：a=1，
∴y=（x+1）（x5）=x24x5．
（2）把x=2代入解析式可得y=222×45=9，9为函数最小值，
∵52＞20，
∴当x=5时，y=525×45=0，
∴9≤y＜0．
故答案为：9≤y＜0．
（3）设BC所在直线为y=kx+b，
将（5，0），（0，5）代入可得：
，
解得，
∴y=x5，

设点P横坐标为m，则点P坐标为（m，m24m5），点Q坐标为（m，m5），
∴l=（m5）（m24m5）=m2+5m，
当m=时，l有最大值，最大值为l=（）2+5×（）=．
m=时，m24m5=（）24×（）5=，
此时点P坐标为（，）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的性质，求一次函数的解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过数形结合求解．
20．（1），点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）；（2）存在，点P（4，6）；（3）点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．
【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线x＝3，解出a的值，即可求得抛物线解析式，在令其y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标；
（2）易求点C的坐标为（0，4），设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b，解出k和b的值，即得直线BC的解析式；设点P的坐标为（x，），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，），利用关系式S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC得出关于x的二次函数，从而求得其最值；
（3）设点M的坐标为（m，）则点N的坐标为（m，），MN＝，分当0＜m＜8时，或当m＜0或m＞8时来化简绝对值，从而求解．
【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3，


∴抛物线的解析式为：．
当y＝0时，，解得x1＝﹣2，x2＝8，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
答：抛物线的解析式为：；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
（2）当x＝0时，，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得
，解得
∴直线BC的解析式为．
假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，
设点P的坐标为（x，），如图1所示，过点P作PDy轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，），

则PD＝，
∴S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC




∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32
∵0＜x＜8，
∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大．
答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32．
（3）设点M的坐标为（m，）则点N的坐标为（m，），
MN＝
又∵MN＝3，

当0＜m＜8时，，解得m1＝2，m2＝6，
∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；
当m＜0或m＞8时，，解得m3＝，m4＝，
∴点M的坐标为（，）或（，）．
答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（，）或（，）．
【点评】本题属于二次函数压轴题，综合考查了待定系数法求解析式，解析法求面积及点的坐标的存在性，最大值等问题，难度较大．