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广西北海市银海区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)
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这是一份广西北海市银海区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，五月份共借出图书220本，设四，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西北海市银海区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填上符合题意的选项。每小题3分，共36分）
1．下列各式中x，y均不为0，x和y成反比例关系的是（ ）
A．y＝6x B． C．x+y＝53 D．
2．若x＝﹣2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
3．一元二次方程x2﹣3x＝0的解是（ ）
A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3 C．x1＝0，x2＝ D．x1＝0，x2＝3
4．反比例函数y＝的图象在某一象限内，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣5 B．m＜﹣5 C．m＞5 D．m＜5
5．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．＝ B．2a＝3b C．＝ D．3a＝2b
6．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
7．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：
8．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ ）
A．70（1+x）2＝220
B．70（1+x）+70（1+x）2＝220
C．70（1﹣x）2＝220
D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝220
9．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
10．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，则图中相似三角形的组数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
12．对于函数y＝（x⊕1）n，规定（x⊕1）n＝nxn﹣1+（n﹣1）xn﹣2+（n﹣2）xn﹣3+…2x+1，例如，若y＝（x⊕1）6，则有（x⊕1）6＝6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1．已知函数y＝（x⊕1）3，那么方程（x⊕1）3＝6的解的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
13．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为5，则k的值是 ．
14．已知函数y＝（k﹣2）x|k|﹣3（k为整数），当k为 时，y是x的反比例函数．
15．若m是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则6m2﹣9m+2022的值为 ．
16．请写出一个根为x＝1，另一个根为x＝﹣3的一个一元二次方程： ．
17．如图，△ABB1，△A1B1B2，△A2B2B3是全等的等边三角形，点B，B1，B2，B3在同一条直线上，连接A2B交AB1于点P，交A1B1于点Q，则PB1：QB1的值为 ．
18．如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…，过A1、A2、A3、A4、A5…分别作x轴的垂线与反比例函数y＝的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则Sn的值为 （n为正整数）．
三、解答题（共66分）
19．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）给k取一个负整数值，解这个方程．
20．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．
21．解下列方程：
（1）4x2﹣8x+1＝0
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）
22．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点D（1，4）是BC中点，反比例函数y＝的图象经过点D，并交AB于点E．
（1）求k的值；
（2）求五边形OAEDC的面积S．
23．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．
24．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，某快递公司今年三月份完成投递的快递总件数为10万件，五月份完成投递的快递总件数12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名业务员能否完成今年6月份的投递任务？为什么？
25．如图，已知一次函数y＝﹣x+n的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点．
（1）请直接写出不等式﹣x+n≤的解集；
（2）求反比例函数和一次函数的解析式；
（3）过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接BC，求△ABC的面积．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝10，将∠MPN的顶点P在矩形ABCD的边AD上滑动，在滑动过程中，始终保持∠MPN＝90°，射线PN经过点C，射线PM交直线AB于点E，交直线BC于点F．
（1）求证：△AEP∽△DPC；
（2）在点P的运动过程中，点E与点B能重合吗？如果能重合，求DP的长；
（3）是否存在这样的点P使△DPC的面积等于△AEP面积的4倍？若存在，求出AP的长；若不存在，请证明理由．
参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填上符合题意的选项。每小题3分，共36分）
1．下列各式中x，y均不为0，x和y成反比例关系的是（ ）
A．y＝6x B． C．x+y＝53 D．
【分析】根据反比例函数的定义可以判定．
解：根据反比例函数的定义可知x＝是反比例函数，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
2．若x＝﹣2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】根据题意可得：把x＝﹣2代入方程x2+mx+2＝0中得：（﹣2）2﹣2m+2＝0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：
把x＝﹣2代入方程x2+mx+2＝0中得：
（﹣2）2﹣2m+2＝0，
解得：m＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
3．一元二次方程x2﹣3x＝0的解是（ ）
A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3 C．x1＝0，x2＝ D．x1＝0，x2＝3
【分析】根据因式分解法即可求出答案
解：∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x＝3，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
4．反比例函数y＝的图象在某一象限内，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣5 B．m＜﹣5 C．m＞5 D．m＜5
【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．
解：∵反比例函数y＝的图象在某一象限内，y随着x的增大而增大，
∴5﹣m＜0，
解得：m＞5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
5．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．＝ B．2a＝3b C．＝ D．3a＝2b
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
解：由＝得，3a＝2b，
A、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
B、由等式性质可得2a＝3b，错误；
C、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
D、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
6．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数y＝2x和反比例函数的另一个交点与点（1，2）关于原点对称．
解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（﹣1，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数．
7．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：
【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．
8．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ ）
A．70（1+x）2＝220
B．70（1+x）+70（1+x）2＝220
C．70（1﹣x）2＝220
D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝220
【分析】等量关系为：四月份共借出图书+五月份共借出图书＝220．
解：四月份共借出图书量为70×（1+x），五月份共借出图书量为70×（1+x）（1+x），那么70（1+x）+70（1+x）2＝220．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意四月份共借出图书量是在三月份共借出图书量的基础上得到的．
9．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【分析】由∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，可判定△BCD∽△BAC，从而可得比例式，再将BC＝3，BD＝2代入，可求得BA的长，然后根据AD＝BA﹣BD，可求得答案．
解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，
∵BC＝3，BD＝2，
∴＝，
∴BA＝，
∴AD＝BA﹣BD＝﹣2＝．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
10．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，则图中相似三角形的组数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】可利用平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断即可．
解：∵BP∥DF，
∴△ABP∽△AED；
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，BC∥AD，
∴△CDF∽△BEF，△EFB∽△EDA；
同理，△CDF∽△AED，△CDF∽△ABP，△ABP∽BEF
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
11．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
解：①当k＞0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过一、三象限，
没有符合条件的选项，
②当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过二、四象限，
故D选项的图象符合要求．
故选：D．
【点评】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
12．对于函数y＝（x⊕1）n，规定（x⊕1）n＝nxn﹣1+（n﹣1）xn﹣2+（n﹣2）xn﹣3+…2x+1，例如，若y＝（x⊕1）6，则有（x⊕1）6＝6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1．已知函数y＝（x⊕1）3，那么方程（x⊕1）3＝6的解的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【分析】先根据新定义得到3x2+2x+1＝6，再把方程整理得3x2+2x﹣5＝0，然后计算判别式的值，再利用根的判别式的意义进行判断．
解：∵（x⊕1）3＝3x2+2x+1，
∴3x2+2x+1＝6，
整理得3x2+2x﹣5＝0，
∵Δ＝22﹣4×3×（﹣5）＝64＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
13．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为5，则k的值是 ﹣10 ．
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝5，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝5，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝5，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝5，
∵k＜0，
∴k＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
14．已知函数y＝（k﹣2）x|k|﹣3（k为整数），当k为 ﹣2 时，y是x的反比例函数．
【分析】根据y＝kx﹣1（k≠0）是反比例函数，可得答案．
解：∵函数y＝（k﹣2）x|k|﹣3（k为整数）是反比例函数，
∴|k|﹣3＝﹣1，且k﹣2≠0，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查反比例函数的定义，熟记定义和定义的条件是解本题的关键．
15．若m是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则6m2﹣9m+2022的值为 2037 ．
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到2m2﹣3m＝5，再把6m2﹣9m+2022变形为3（2m2﹣3m）+2022，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣5＝0，
∴2m2﹣3m＝5，
∴6m2﹣9m+2022＝3（2m2﹣3m）+2022＝3×5+2022＝2037．
故答案为：2037．
【点评】本题考查了一元二次方程的解及整体代入的方法，掌握一元二次方程的解的定义及整体代入的方法时解题的关键．
16．请写出一个根为x＝1，另一个根为x＝﹣3的一个一元二次方程： x2+2x﹣3＝0（答案不唯一） ．
【分析】设原方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），利用根与系数的关系，可得出﹣＝﹣2，＝﹣3，令a＝1，可求出b，c的值，进而可得出结论．
解：设原方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），
则﹣＝1﹣3＝﹣2，＝1×（﹣3）＝﹣3，
∴当a＝1时，b＝2，c＝﹣3，
∴此时一元二次方程为x2+2x﹣3＝0．
故答案为：x2+2x﹣3＝0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
17．如图，△ABB1，△A1B1B2，△A2B2B3是全等的等边三角形，点B，B1，B2，B3在同一条直线上，连接A2B交AB1于点P，交A1B1于点Q，则PB1：QB1的值为 ．
【分析】根据全等三角形的性质得到∴∠AB1B＝∠A2B3B2，∠A1B1B2＝∠A2B2B3，根据平行线的判定得到AB1∥A2B3，A1B1∥A2B2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：∵△ABB1，△A1B1B2，△A2B2B3是全等的等边三角形，
∴∠AB1B＝∠A2B3B2，∠A1B1B2＝∠A2B2B3
∴AB1∥A2B3，A1B1∥A2B2，
∴△PBB1∽△A2BB3，
∴＝＝，
∴PB1＝A2B3，
同理：＝＝，
∴QB1＝A2B2，
∵A2B2＝A2B3，
∴PB1：QB1＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
18．如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…，过A1、A2、A3、A4、A5…分别作x轴的垂线与反比例函数y＝的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则Sn的值为 （n为正整数）．
【分析】根据反比例函数y＝中k的几何意义再结合图象即可解答．
解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S＝|k|＝2．
又因为OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5
所以S1＝2，S2＝S1＝1，S3＝S1＝，S4＝S1＝，S5＝S1＝．
依此类推：Sn的值为．
故答案是：．
【点评】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．
三、解答题（共66分）
19．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）给k取一个负整数值，解这个方程．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，然后解不等式即可；
（2）在（1）中的k的范围内取﹣2，方程变形为x2﹣2x＝0，然后利用因式分法解方程即可．
解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，
解得k＞﹣3；
（2）取k＝﹣2，则方程变形为x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
20．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．
【分析】（1）延长BO，CO到B′C′，使OB′，OC′的长度是OB，OC的2倍．顺次连接三点即可；
（2）从直角坐标系中，读出B′、C′的坐标；
（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
解：（1）
（2）B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）；
（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
【点评】本题综合考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键．很多信息是需要从图上看出来的．
21．解下列方程：
（1）4x2﹣8x+1＝0
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）
【分析】（1）根据配方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
解：（1）∵4x2﹣8x+1＝0，
∴4x2﹣8x+4＝3，
∴（2x﹣2）2＝3，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝
（2）∵3（x﹣5）2＝2（5﹣x），
∴（x﹣5）（3x﹣13）＝0，
∴x﹣5＝0或3x﹣13＝0
∴x1＝5，x2＝；
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
22．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点D（1，4）是BC中点，反比例函数y＝的图象经过点D，并交AB于点E．
（1）求k的值；
（2）求五边形OAEDC的面积S．
【分析】（1）直接将D点坐标代入函数解析式得出答案；
（2）首先求出E点坐标，进而得出△BDE的面积，进而得出答案．
解：（1）把D（1，4）代入y＝得，k＝1×4＝4；
（2）∵四边形OABC是矩形，
∴D（1，4）是BC中点，
∴BC＝2CD＝2，
∴B点坐标为：（2，4），
∵k＝4，
∴y＝，
把x＝2代入y＝得y＝＝2，
∴E（2，2），
∴BE＝2，
∴S△EBD＝×2×1＝1，
∴S＝2×4﹣1＝7，
∴五边形OAEDC的面积为：7．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，正确得出E点坐标是解题关键．
23．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．
【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性质解答即可．
解：在△ABC与△AMN中，
＝，＝，∴，又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ANM，
∴，即，
解得：MN＝1500米，
答：M、N两点之间的直线距离是1500米；
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
24．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，某快递公司今年三月份完成投递的快递总件数为10万件，五月份完成投递的快递总件数12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名业务员能否完成今年6月份的投递任务？为什么？
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据该快递公司今年三月份及五月份完成投递的快件总件数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（2）利用今年6月份的投递任务＝今年5月份完成投递的快递总件数×（1+增长率），可求出今年6月份的投递任务，利用该公司一个月可投递的快递总件数＝平均每人每月最多可投递的件数×21，可求出该公司一个月可投递的快递总件数，将其与今年6月份的投递任务比较后即可得出结论．
解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，
依题意，得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万件），
0.6×21＝12.6（万件）．
∵13.31＞12.6，
∴该公司现有的21名业务员不能完成今年6月份的投递任务．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．如图，已知一次函数y＝﹣x+n的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点．
（1）请直接写出不等式﹣x+n≤的解集；
（2）求反比例函数和一次函数的解析式；
（3）过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据A、B的横坐标，结合图象即可得到不等式﹣x+n≤的解集；
（2）根据待定系数法即可求得；
（3）根据三角形面积公式求得即可．
解：（1）由图象可知：不等式﹣x+n≤的解集为﹣2≤x＜0或x≥4；
（2）∵一次函数y＝﹣x+n的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点．
∴k＝4×（﹣2）＝﹣2m，﹣2＝﹣4+n
解得m＝4，k＝﹣8，n＝2，
∴反比例函数和一次函数的解析式分别为y＝﹣，y＝﹣x+2；
（3）S△ABC＝＝6．
【点评】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积等，数形结合是解本题的关键．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝10，将∠MPN的顶点P在矩形ABCD的边AD上滑动，在滑动过程中，始终保持∠MPN＝90°，射线PN经过点C，射线PM交直线AB于点E，交直线BC于点F．
（1）求证：△AEP∽△DPC；
（2）在点P的运动过程中，点E与点B能重合吗？如果能重合，求DP的长；
（3）是否存在这样的点P使△DPC的面积等于△AEP面积的4倍？若存在，求出AP的长；若不存在，请证明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质，推出∠D＝∠A＝90°，再由直角三角形的性质，得出∠PCD+∠DPC＝90°，又因∠CPE＝90°，推出∠EPA+∠DPC＝90°，∠PCD＝∠EPA，从而证明△CDP∽△PAE；
（2）利用当B，E重合时，利用已知得出△ABP∽DPC，进而求出DP的长即可；
（3）假设存在满足条件的点P，设DP＝x，则AP＝10﹣x，由△CDP∽△PAE知，求出DP即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝90°，CD＝AB＝6，
∴∠PCD+∠DPC＝90°，
又∵∠CPE＝90°，
∴∠EPA+∠DPC＝90°，
∴∠PCD＝∠EPA，
∴△AEP∽△DPC．
（2）假设在点P的运动过程中，点E能与点B重合，
当B，E重合时，
∵∠BPC＝90°，
∴∠APB+∠DPC＝90°，
∵∠DPC+∠DCP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB，
∵∠A＝∠D，
∴△ABP∽DPC，
∴＝，
即：＝，
解得：DP＝1或9，
∴B，E重合时DP的长为1或9；
（3）存在满足条件的点P，
∵△CDP∽△PAE，
根据使△DPC的面积等于△AEP面积的4倍，得到两三角形的相似比为2，
∴＝2，
即＝2，
解得AP＝1.5；
【点评】题考查了矩形的性质以及三角形的相似性质以及线段最值问题，根据已知得出假设当B，E重合时利用相似三角形的判定得出是解题关键．
2022-2023学年广西北海市银海区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填上符合题意的选项。每小题3分，共36分）
1．下列各式中x，y均不为0，x和y成反比例关系的是（ ）
A．y＝6x B． C．x+y＝53 D．
2．若x＝﹣2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
3．一元二次方程x2﹣3x＝0的解是（ ）
A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3 C．x1＝0，x2＝ D．x1＝0，x2＝3
4．反比例函数y＝的图象在某一象限内，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣5 B．m＜﹣5 C．m＞5 D．m＜5
5．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．＝ B．2a＝3b C．＝ D．3a＝2b
6．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
7．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：
8．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ ）
A．70（1+x）2＝220
B．70（1+x）+70（1+x）2＝220
C．70（1﹣x）2＝220
D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝220
9．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
10．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，则图中相似三角形的组数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
12．对于函数y＝（x⊕1）n，规定（x⊕1）n＝nxn﹣1+（n﹣1）xn﹣2+（n﹣2）xn﹣3+…2x+1，例如，若y＝（x⊕1）6，则有（x⊕1）6＝6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1．已知函数y＝（x⊕1）3，那么方程（x⊕1）3＝6的解的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
13．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为5，则k的值是 ．
14．已知函数y＝（k﹣2）x|k|﹣3（k为整数），当k为 时，y是x的反比例函数．
15．若m是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则6m2﹣9m+2022的值为 ．
16．请写出一个根为x＝1，另一个根为x＝﹣3的一个一元二次方程： ．
17．如图，△ABB1，△A1B1B2，△A2B2B3是全等的等边三角形，点B，B1，B2，B3在同一条直线上，连接A2B交AB1于点P，交A1B1于点Q，则PB1：QB1的值为 ．
18．如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…，过A1、A2、A3、A4、A5…分别作x轴的垂线与反比例函数y＝的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则Sn的值为 （n为正整数）．
三、解答题（共66分）
19．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）给k取一个负整数值，解这个方程．
20．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．
21．解下列方程：
（1）4x2﹣8x+1＝0
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）
22．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点D（1，4）是BC中点，反比例函数y＝的图象经过点D，并交AB于点E．
（1）求k的值；
（2）求五边形OAEDC的面积S．
23．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．
24．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，某快递公司今年三月份完成投递的快递总件数为10万件，五月份完成投递的快递总件数12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名业务员能否完成今年6月份的投递任务？为什么？
25．如图，已知一次函数y＝﹣x+n的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点．
（1）请直接写出不等式﹣x+n≤的解集；
（2）求反比例函数和一次函数的解析式；
（3）过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接BC，求△ABC的面积．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝10，将∠MPN的顶点P在矩形ABCD的边AD上滑动，在滑动过程中，始终保持∠MPN＝90°，射线PN经过点C，射线PM交直线AB于点E，交直线BC于点F．
（1）求证：△AEP∽△DPC；
（2）在点P的运动过程中，点E与点B能重合吗？如果能重合，求DP的长；
（3）是否存在这样的点P使△DPC的面积等于△AEP面积的4倍？若存在，求出AP的长；若不存在，请证明理由．
参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填上符合题意的选项。每小题3分，共36分）
1．下列各式中x，y均不为0，x和y成反比例关系的是（ ）
A．y＝6x B． C．x+y＝53 D．
【分析】根据反比例函数的定义可以判定．
解：根据反比例函数的定义可知x＝是反比例函数，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
2．若x＝﹣2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】根据题意可得：把x＝﹣2代入方程x2+mx+2＝0中得：（﹣2）2﹣2m+2＝0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：
把x＝﹣2代入方程x2+mx+2＝0中得：
（﹣2）2﹣2m+2＝0，
解得：m＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
3．一元二次方程x2﹣3x＝0的解是（ ）
A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3 C．x1＝0，x2＝ D．x1＝0，x2＝3
【分析】根据因式分解法即可求出答案
解：∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x＝3，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
4．反比例函数y＝的图象在某一象限内，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣5 B．m＜﹣5 C．m＞5 D．m＜5
【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．
解：∵反比例函数y＝的图象在某一象限内，y随着x的增大而增大，
∴5﹣m＜0，
解得：m＞5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
5．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．＝ B．2a＝3b C．＝ D．3a＝2b
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
解：由＝得，3a＝2b，
A、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
B、由等式性质可得2a＝3b，错误；
C、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
D、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
6．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数y＝2x和反比例函数的另一个交点与点（1，2）关于原点对称．
解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（﹣1，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数．
7．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：
【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．
8．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ ）
A．70（1+x）2＝220
B．70（1+x）+70（1+x）2＝220
C．70（1﹣x）2＝220
D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝220
【分析】等量关系为：四月份共借出图书+五月份共借出图书＝220．
解：四月份共借出图书量为70×（1+x），五月份共借出图书量为70×（1+x）（1+x），那么70（1+x）+70（1+x）2＝220．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意四月份共借出图书量是在三月份共借出图书量的基础上得到的．
9．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【分析】由∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，可判定△BCD∽△BAC，从而可得比例式，再将BC＝3，BD＝2代入，可求得BA的长，然后根据AD＝BA﹣BD，可求得答案．
解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，
∵BC＝3，BD＝2，
∴＝，
∴BA＝，
∴AD＝BA﹣BD＝﹣2＝．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
10．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，则图中相似三角形的组数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】可利用平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断即可．
解：∵BP∥DF，
∴△ABP∽△AED；
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，BC∥AD，
∴△CDF∽△BEF，△EFB∽△EDA；
同理，△CDF∽△AED，△CDF∽△ABP，△ABP∽BEF
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
11．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
解：①当k＞0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过一、三象限，
没有符合条件的选项，
②当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过二、四象限，
故D选项的图象符合要求．
故选：D．
【点评】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
12．对于函数y＝（x⊕1）n，规定（x⊕1）n＝nxn﹣1+（n﹣1）xn﹣2+（n﹣2）xn﹣3+…2x+1，例如，若y＝（x⊕1）6，则有（x⊕1）6＝6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1．已知函数y＝（x⊕1）3，那么方程（x⊕1）3＝6的解的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【分析】先根据新定义得到3x2+2x+1＝6，再把方程整理得3x2+2x﹣5＝0，然后计算判别式的值，再利用根的判别式的意义进行判断．
解：∵（x⊕1）3＝3x2+2x+1，
∴3x2+2x+1＝6，
整理得3x2+2x﹣5＝0，
∵Δ＝22﹣4×3×（﹣5）＝64＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
13．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为5，则k的值是 ﹣10 ．
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝5，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝5，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝5，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝5，
∵k＜0，
∴k＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
14．已知函数y＝（k﹣2）x|k|﹣3（k为整数），当k为 ﹣2 时，y是x的反比例函数．
【分析】根据y＝kx﹣1（k≠0）是反比例函数，可得答案．
解：∵函数y＝（k﹣2）x|k|﹣3（k为整数）是反比例函数，
∴|k|﹣3＝﹣1，且k﹣2≠0，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查反比例函数的定义，熟记定义和定义的条件是解本题的关键．
15．若m是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则6m2﹣9m+2022的值为 2037 ．
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到2m2﹣3m＝5，再把6m2﹣9m+2022变形为3（2m2﹣3m）+2022，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣5＝0，
∴2m2﹣3m＝5，
∴6m2﹣9m+2022＝3（2m2﹣3m）+2022＝3×5+2022＝2037．
故答案为：2037．
【点评】本题考查了一元二次方程的解及整体代入的方法，掌握一元二次方程的解的定义及整体代入的方法时解题的关键．
16．请写出一个根为x＝1，另一个根为x＝﹣3的一个一元二次方程： x2+2x﹣3＝0（答案不唯一） ．
【分析】设原方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），利用根与系数的关系，可得出﹣＝﹣2，＝﹣3，令a＝1，可求出b，c的值，进而可得出结论．
解：设原方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），
则﹣＝1﹣3＝﹣2，＝1×（﹣3）＝﹣3，
∴当a＝1时，b＝2，c＝﹣3，
∴此时一元二次方程为x2+2x﹣3＝0．
故答案为：x2+2x﹣3＝0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
17．如图，△ABB1，△A1B1B2，△A2B2B3是全等的等边三角形，点B，B1，B2，B3在同一条直线上，连接A2B交AB1于点P，交A1B1于点Q，则PB1：QB1的值为 ．
【分析】根据全等三角形的性质得到∴∠AB1B＝∠A2B3B2，∠A1B1B2＝∠A2B2B3，根据平行线的判定得到AB1∥A2B3，A1B1∥A2B2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：∵△ABB1，△A1B1B2，△A2B2B3是全等的等边三角形，
∴∠AB1B＝∠A2B3B2，∠A1B1B2＝∠A2B2B3
∴AB1∥A2B3，A1B1∥A2B2，
∴△PBB1∽△A2BB3，
∴＝＝，
∴PB1＝A2B3，
同理：＝＝，
∴QB1＝A2B2，
∵A2B2＝A2B3，
∴PB1：QB1＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
18．如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…，过A1、A2、A3、A4、A5…分别作x轴的垂线与反比例函数y＝的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则Sn的值为 （n为正整数）．
【分析】根据反比例函数y＝中k的几何意义再结合图象即可解答．
解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S＝|k|＝2．
又因为OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5
所以S1＝2，S2＝S1＝1，S3＝S1＝，S4＝S1＝，S5＝S1＝．
依此类推：Sn的值为．
故答案是：．
【点评】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．
三、解答题（共66分）
19．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）给k取一个负整数值，解这个方程．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，然后解不等式即可；
（2）在（1）中的k的范围内取﹣2，方程变形为x2﹣2x＝0，然后利用因式分法解方程即可．
解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，
解得k＞﹣3；
（2）取k＝﹣2，则方程变形为x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
20．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．
【分析】（1）延长BO，CO到B′C′，使OB′，OC′的长度是OB，OC的2倍．顺次连接三点即可；
（2）从直角坐标系中，读出B′、C′的坐标；
（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
解：（1）
（2）B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）；
（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
【点评】本题综合考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键．很多信息是需要从图上看出来的．
21．解下列方程：
（1）4x2﹣8x+1＝0
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）
【分析】（1）根据配方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
解：（1）∵4x2﹣8x+1＝0，
∴4x2﹣8x+4＝3，
∴（2x﹣2）2＝3，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝
（2）∵3（x﹣5）2＝2（5﹣x），
∴（x﹣5）（3x﹣13）＝0，
∴x﹣5＝0或3x﹣13＝0
∴x1＝5，x2＝；
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
22．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点D（1，4）是BC中点，反比例函数y＝的图象经过点D，并交AB于点E．
（1）求k的值；
（2）求五边形OAEDC的面积S．
【分析】（1）直接将D点坐标代入函数解析式得出答案；
（2）首先求出E点坐标，进而得出△BDE的面积，进而得出答案．
解：（1）把D（1，4）代入y＝得，k＝1×4＝4；
（2）∵四边形OABC是矩形，
∴D（1，4）是BC中点，
∴BC＝2CD＝2，
∴B点坐标为：（2，4），
∵k＝4，
∴y＝，
把x＝2代入y＝得y＝＝2，
∴E（2，2），
∴BE＝2，
∴S△EBD＝×2×1＝1，
∴S＝2×4﹣1＝7，
∴五边形OAEDC的面积为：7．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，正确得出E点坐标是解题关键．
23．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．
【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性质解答即可．
解：在△ABC与△AMN中，
＝，＝，∴，又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ANM，
∴，即，
解得：MN＝1500米，
答：M、N两点之间的直线距离是1500米；
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
24．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，某快递公司今年三月份完成投递的快递总件数为10万件，五月份完成投递的快递总件数12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名业务员能否完成今年6月份的投递任务？为什么？
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据该快递公司今年三月份及五月份完成投递的快件总件数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（2）利用今年6月份的投递任务＝今年5月份完成投递的快递总件数×（1+增长率），可求出今年6月份的投递任务，利用该公司一个月可投递的快递总件数＝平均每人每月最多可投递的件数×21，可求出该公司一个月可投递的快递总件数，将其与今年6月份的投递任务比较后即可得出结论．
解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，
依题意，得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万件），
0.6×21＝12.6（万件）．
∵13.31＞12.6，
∴该公司现有的21名业务员不能完成今年6月份的投递任务．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．如图，已知一次函数y＝﹣x+n的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点．
（1）请直接写出不等式﹣x+n≤的解集；
（2）求反比例函数和一次函数的解析式；
（3）过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据A、B的横坐标，结合图象即可得到不等式﹣x+n≤的解集；
（2）根据待定系数法即可求得；
（3）根据三角形面积公式求得即可．
解：（1）由图象可知：不等式﹣x+n≤的解集为﹣2≤x＜0或x≥4；
（2）∵一次函数y＝﹣x+n的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点．
∴k＝4×（﹣2）＝﹣2m，﹣2＝﹣4+n
解得m＝4，k＝﹣8，n＝2，
∴反比例函数和一次函数的解析式分别为y＝﹣，y＝﹣x+2；
（3）S△ABC＝＝6．
【点评】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积等，数形结合是解本题的关键．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝10，将∠MPN的顶点P在矩形ABCD的边AD上滑动，在滑动过程中，始终保持∠MPN＝90°，射线PN经过点C，射线PM交直线AB于点E，交直线BC于点F．
（1）求证：△AEP∽△DPC；
（2）在点P的运动过程中，点E与点B能重合吗？如果能重合，求DP的长；
（3）是否存在这样的点P使△DPC的面积等于△AEP面积的4倍？若存在，求出AP的长；若不存在，请证明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质，推出∠D＝∠A＝90°，再由直角三角形的性质，得出∠PCD+∠DPC＝90°，又因∠CPE＝90°，推出∠EPA+∠DPC＝90°，∠PCD＝∠EPA，从而证明△CDP∽△PAE；
（2）利用当B，E重合时，利用已知得出△ABP∽DPC，进而求出DP的长即可；
（3）假设存在满足条件的点P，设DP＝x，则AP＝10﹣x，由△CDP∽△PAE知，求出DP即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝90°，CD＝AB＝6，
∴∠PCD+∠DPC＝90°，
又∵∠CPE＝90°，
∴∠EPA+∠DPC＝90°，
∴∠PCD＝∠EPA，
∴△AEP∽△DPC．
（2）假设在点P的运动过程中，点E能与点B重合，
当B，E重合时，
∵∠BPC＝90°，
∴∠APB+∠DPC＝90°，
∵∠DPC+∠DCP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB，
∵∠A＝∠D，
∴△ABP∽DPC，
∴＝，
即：＝，
解得：DP＝1或9，
∴B，E重合时DP的长为1或9；
（3）存在满足条件的点P，
∵△CDP∽△PAE，
根据使△DPC的面积等于△AEP面积的4倍，得到两三角形的相似比为2，
∴＝2，
即＝2，
解得AP＝1.5；
【点评】题考查了矩形的性质以及三角形的相似性质以及线段最值问题，根据已知得出假设当B，E重合时利用相似三角形的判定得出是解题关键．
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