新高考高一上册数学期末模拟卷2(解析版)

期末全真模拟试卷（2）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先解出集合B,再求.

【详解】∵，而

∴

故选：A

【点睛】集合的交并运算：

(1)离散型的数集用韦恩图；

(2) 连续型的数集用数轴．

2．已知，则“”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分条件、必要条件的定义，举特例判断可得；

【详解】解：当，时，，但；当，时，，但；综上，“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D.

【点睛】本题考查充分条件必要条件的判断，属于基础题.

3．已知函数，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】要使函数有意义，则有，解出即可.

【详解】要使函数有意义，则有

解得

所以函数的定义域为

故选：A

4．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（    ）（附：）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，计算出的值即可

【详解】当时，，当时，，

因为

所以将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了23%，

故选：B.

5．在三角形中，点，在边上，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用向量的加法、减法线性运算即可求解.

【详解】，

故选：C.

6．函数的图象大致为（    ）

A．               B．

C．               D．

【答案】B

【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..

【详解】详解：为奇函数，排除A,

，故排除D.

，

当时，，所以在单调递增，所以排除C；

故选：B.

7．已知偶函数在上是增函数，若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由于为偶函数，所以，然后利用对数函数和指数函数的性质比较大小，再利用在上是增函数，可比较，，的大小

【详解】解；由题意为偶函数，且在上单调递增，

所以，

又，，

所以，故，

故选：C.

8．若函数y=f（x）图象上存在不同的两点A，B关于y轴对称，则称点对[A，B]是函数y=f（x）的一对“黄金点对”（注：点对[A，B]与[B，A]可看作同一对“黄金点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“黄金点对“有（　　）

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

【答案】D

【分析】根据“黄金点对“，只需要先求出当x＜0时函数f（x）关于y轴对称的函数的解析式，再作出函数的图象，利用两个图象交点个数进行求解即可．

【详解】

由题意知函数f（x）=2x，x＜0关于y轴对称的函数为，x＞0，

作出函数f（x）和，x＞0的图象，

由图象知当x＞0时，f（x）和y=（）x，x＞0的图象有3个交点．

所以函数f（x）的““黄金点对“有3对．

故选D．

【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合“黄金点对“的定义，求出当x＜0时函数f（x）关于y轴对称的函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.

9．在平面直角坐标系中，若角的终边与单位圆交于点 ，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，记角的终边与单位圆的交点为，则下列结论正确的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据三角函数定义求得，由同角间的三角函数关系得、，再由诱导公式得，可判断各选项．

【详解】由题意，在第一象限，则，

，

，，

可得ABD正确，C错误．

故选：ABD．

10．已知，且，则下列不等式恒成立的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据不等式的性质判断．错误的可举反例．

【详解】，且，则，

，，A错误；

，则，B正确；

，则，C正确；

与不能比较大小．如，此时，，D错误．

故选：BC．

11．下列说法正确的是（    ）

A．与角终边相同的角的集合可以表示为

B．若为第一象限角，则为第一或第三象限角

C．函数是偶函数，则的一个可能值为

D．“”是函数的一条对称轴

【答案】BD

【分析】由判断A，由确定的象限判断B，取得出为奇函数判断C，由判断D.

【详解】对于A项，由可知，A错误；

对于B项，因为为第一象限角，所以，则，即为第一或第三象限角，B正确；

对于C项，当时，为奇函数，C错误；

对于D项，由可知，是函数的一条对称轴，D正确；

故选：BD

【点睛】关键点睛：在判断D选项时，关键是利用对称轴一定过余弦函数的最低点或最高点，从而判断是一条对称轴.

12．已知函数若方程有三个实数根，且，则下列结论正确的为（    ）

A． B．的取值范围为

C．的取值范围为 D．不等式的解集为

【答案】ACD

【分析】作出函数的图象与直线，它们的交点的横坐标即为，由图可得它们的性质，同时可得出的范围，判断B．由根的性质判断AC，解不等式判断D．

【详解】方程的争即为函数的图象与直线的交点的横坐标，作出函数的图象和直线，如图，由图可知：，

，，A正确；

由于，∴，B错误；

由得，∴，∴，C正确；

由，时，，，时，，，

综上，D正确．

故选：ACD．

【点睛】关键点点睛上：本题考查方程根的分布问题，方程的根可以转化函数图象与直线的交点的横坐标，作出函数图象与直线可以直观形象地得出根的性质，同时也得出了函数的性质，由此求解判断各选项．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．___________.

【答案】6

【分析】由幂的运算法则和对数运算法则计算．

【详解】原式＝．

故答案为：6．

14．已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为____________.

【答案】

【分析】结合指数函数和幂函数的性质求解．

【详解】时，，所以函数图象恒过定点．

故答案为：．

15．函数在一个周期内的图象如下图，此函数的解析式为______．

【答案】

【分析】根据所给的图象，可以看出图象的振幅是2，得到，看出半个周期的值，得到，根据函数的图象过定点，把点的坐标代入求出的值，得到三角函数的解析式．

【详解】解：由图象可知，，

，

，

三角函数的解析式是

函数的图象过，这一点，

把点的坐标代入三角函数的解析式，

，

，

三角函数的解析式是

故答案为：.

16．若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为__________．

【答案】4

【详解】由log2x＋log2y＝1，得xy＝2，＝＝＝x－y＋≥4，则的最小值为4.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知集合， .

（1）当时，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）当时，分别求出集合与集合，再进行交集运算即可求解.

（2）先求出集合与集合，由题意可得A是B的真子集，结合数轴即可求解.

【详解】（1）∵，

当时，或，所以.

（2），或.

又是的充分不必要条件，所以A是B的真子集.

所以或，

解得或；

即实数m的取值范围为.

【点睛】结论点睛：集合的观点分析充分与必要条件

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

18．已知函数的最小正周期为 .

（1）求的单调递增区间；

（2）用“五点作图法”，画出函数在一个周期上的图象.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）由可得进而可得的解析式，再解不等式

即可求解；

（2）按照五点法作图的步骤列表、描点、连线即可求解.

【详解】（1）由，得，所以.

由.

得.

所以的单调递增区间为.

（2）列表：

描点，连线可得：

19．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上.则

(1)求的值；

(2)已知，，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】(1)由条件利用任意角的三角函数的定义可得＝2，再利用两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系，求得的值．

(2)利用同角三角函数基本关系式求得再利用两角差的余弦函数化简求解即可．

【详解】(1)依题意

c

=

.

(2) ，

，

∴

,

，

∴

.

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角和与差的三角函数、同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于中档题．

20．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.

（1）若.

①求此函数图象的对称中心；

②求的值；

（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.

【答案】（1）①；②；（2）函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数.

【分析】（1）①设函数图象的对称中心为，根据题意可知函数为奇函数，利用奇函数的定义可得出，可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出函数的对称中心的坐标；

②推导出，由此可计算得出所求代数式的值；

（2）根据题中结论可写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.

【详解】解：（1）①设函数图象的对称中心为，，

则为奇函数，故，故，

即，

即.

整理得，故，解得，

所以函数图象的对称中心为；

②因为函数图象的对称中心为，

所以，，

故

；

（2）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数.

【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性及其应用，可利用以下结论来转化：

①函数的图象关于点对称，则；

②函数的图象关于直线对称，则.

21．如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上.

（1）设，求三角形木块面积；

（2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值.

【答案】（1）；（2）,的面积最大值为

【分析】（1）构造垂线，将、的长度进行转化，的长度即为的值，的长度即为的值，从而求解出；

（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出的表达式，然后将看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.

【详解】解：（1）过点作交于点，设交于点，

所以,

，

所以；

（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，

所以可只分析时的情况，

，

，

所以

，

令，，

故，

，

，

，

，

，

函数在单调递增，

所以当时，的面积最大，最大值为.

【点睛】

本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中与的联系等等，考查了学生综合应用能力.

22．已知函数， .

（1）证明：为偶函数；

（2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围；

（3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.

【分析】（1）证明函数的奇偶性，用定义证明；

（2）根据函数的图象与直线没有公共点，用分离参数法；

（3）复合函数问题，用换元法，令，讨论即可.

【详解】解：（1）证明：因为，又

，

即，

所以为偶函数.

（2）原题意等价于方程无解，

即方程无解.

令，

因为，

显然，

于是，即函数的值域是.

因此当时满足题意.

所以a的取值范围是.

（3）由题意，.

令，则.

则，.

①当时，，

，解得；

②当时，

，解得（舍去）；

③当时，

，解得（舍去）.

综上，存在，使得最小值为0.

【点睛】方法点睛：（1）对函数奇偶性的证明用定义：或；

（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.