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【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题06 三角函数的图像与性质（知识梳理）
展开专题06 三角函数的图像与性质（知识梳理）
知识网络
重难点突破
知识点一 扇形的弧长与面积
角α的弧度数公式 | |α|＝(弧长用l表示) |
角度与弧度的换算 | 1°＝ rad； |
弧长公式 | 弧长l＝|α|r |
扇形面积公式 | S＝lr＝|α|r2 |
例1.（1）、（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）半径，为弧长为的扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
（2）．（2020·河南·南阳华龙高级中学高一月考）如图，2弧度的圆心所对的弦长为2，这个圆心角所对应的扇形面积是（ ）
A． B． C． D．tan 1
（3）．（2021·陕西·榆林十二中高一月考）工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为，内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为（ ）.
A． B． C． D．
【变式训练1-1】、（山东省烟台市2018-2019学年期末）若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】、（2020·全国·高一）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积（弦矢矢2）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为米的弧田，如图所示．按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是______平方米．（结果保留整数，）
【变式训练1-3】、（2019·山西·运城市景胜中学高二月考（文））已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为，弧长为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为__________．
【变式训练1-4】、（2020·全国·高一课时练习）《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
（参考数据：）
A．米 B．米
C．米 D．米
知识点二 同角三角函数的关系与诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．
2．诱导公式
一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
2kπ＋ α(k∈Z) | π＋α | －α | π－α | －α | ＋α |
sin α | －sin α | －sin α | sin_α | cos_α | cos_α |
cos α | －cos α | cos α | －cos_α | sin_α | －sin_α |
tan α | tan α | －tan α | －tan_α |
|
|
例2．（1）、（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考）已知，且是第四象限的角，则=（ ）
A． B．– C．± D．±
（2）、（2020·黑龙江·大兴安岭实验中学高一期末）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】、（2021·宁夏·吴忠中学高三月考（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】、（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例3．若，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】、（2020·广东揭东·高一期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2021·四川·射洪中学高一月考）已知角θ的终边与单位圆在第四象限交于点．
（1）求的值；
（2）求的值．
【变式训练4-1】、（2020·湖南·嘉禾县第一中学高一月考）已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
知识点三 基本三角函数的图像与性质（正弦、余弦与正切）
函数 | y＝sin x | y＝cos x | y＝tan x |
图象 | |||
定 义 域 | R | R | |
值域 | [－1,1] | [－1,1] | R |
奇偶 性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
单 调 性 | 在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数 | 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 | 在(k∈Z)上是递增函数 |
周 期 性 | 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π | 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π | 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π |
对 称 性 | 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) | 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是 (k∈Z) | 对称中心是 (k∈Z) |
例5．（1）、（2021·重庆八中高三月考）（多选题）函数的图象如图所示，则关于函数下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．对称轴为 D．对称中心为
（2）．（2021·山东师范大学附中高三月考）（多选题）函数的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．对任意的都有
D．在区间上的零点之和为
【变式训练5-1】、（2020届四川省遂宁市高三二诊）函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】、函数的部分图象如图所示．则函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例6．（2021·湖南·嘉禾县第一中学高一月考）已知函数的最小正周期为．
（1）求当取得最大值时，x的取值集合；
（2）完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数在上的图象．
x |
|
|
| |||
y |
|
| 0 |
|
【变式训练6-1】、（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）已知函数
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
| ||
|
|
|
|
|
（1）请结合所给表格，在所给的坐标系中作出函数一个周期内的简图.
（2）求的单调增区间.
（3）求的最值及相应的x的取值.
知识点四 三角函数的图像变换
1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈R |
|
|
|
|
振幅 | 周期 | 频率 | 相位 | 初相 |
A | T＝ | f＝＝ | _ωx＋φ_ | _φ_ |
2. 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x | |||||
ωx＋φ | __0__ | __π__ | __2π__ | ||
y＝Asin(ωx ＋φ) | 0 | A | 0 | －A | 0 |
3. 函数y＝sinx的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像的步骤如下：
例7．（1）、（2021·四川·射洪中学高一月考）已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（ ）
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
（2）．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）（多选题）将函数的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则的值可能为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式训练7-1】、（2021·黑龙江·铁人中学高三月考（文））函数的图象向右平移个单位，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】、（2021·北京市第十五中学南口学校高三月考）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数的最大值为2，则的值可以为___________.
知识点五 三角函数的实际应用
例8．（1）、（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））魏晋南北朝（公元220-581）时期，中国数学在测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，小明同学依照此法测量泾阳县崇文塔的高度（示意图如图所示），测得以下数据（单位：米）：前表却行，表高，后表却行，表间.则塔高___________米.
（2）．（2021·宁夏·中卫一中高三月考（理））我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到）（ ）
A．3.6 B．3.8 C．4.0 D．4.5
【变式训练8-1】、（2022·全国·高三专题练习）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上，则旗杆的高度为___________.
【变式训练8-2】、（2020·吉林·蛟河一中高一月考）我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则______.
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