【期末总复习】人教A版(2019)高二数学选择性必修第一册——专题01 空间向量与立体几何（知识梳理）

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专题01 空间向量与立体几何（知识梳理）
知识网络

重难点突破
知识点一 空间向量的概念、性质与运算
1、空间向量及其有关概念
概念
语言描述
共线向量(平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
共面向量
平行于同一个平面的向量
共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量基本定理及推论
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1
2. 数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝.
(2)空间向量的坐标运算：

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角公式
cos〈a，b〉＝
3. 直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
4. 空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝km(k∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝km(k∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0
5．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
(1)＝λ (λ∈R);
(2)对空间任一点O，＝＋t (t∈R)；
(3)对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1)．
6．证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
(1) ＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3) ∥ (或∥或∥ )．
例1. （1）、（2021·广东·佛山市南海区里水高级中学高二月考）己知空间向量，且，则实数（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】
由，得到，列出方程组，即可求解.
【详解】
由题意，空间向量，
因为，可得，即，可得 ，解得.
故选：A.
（2）．（2021·河南·南阳中学高二月考（理））如图，在空间四边形OABC中，，，，点N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM=2MA，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】
解：∵N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM=2MA，且，，，




故选：D.
（3）．（2020·北京·大峪中学高二期中）已知，，且，那么________.
【答案】
【分析】
由已知中，，且，根据向量平行（共线）的充要条件，我们可得存在，使，构造方程组求出，x，y后，即可求出答案.
【详解】
解：，，又，
则存在，使，即，
解得，，，，
故答案为：.
（4）．（2021·广东·深圳市南山外国语学校高级中学高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量
D．不相等的两个空间向量的模可能相等
【答案】D
【分析】
根据空间向量的定义，从向量的大小和方向两个方面依次判断选项；
【详解】
对A，零向量的相反向量是本身，故A错；
对B，终点构成一个球，故B错；
对C，向量不能比较大小，故C错；
对D，相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确；
故选：D
【变式训练1-1】、 （2021·山东烟台·高二期中）已知向量，，若，则（ ）
A．2 B． C．-2 D．
【答案】D
【分析】
根据向量平行得到，解得答案.
【详解】
，则，即，
故，解得，故.
故选：D.
【变式训练1-2】、（2021·天津河北·高二期中）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据图形可得，进而利用空间向量的加减法运算可得，得出结果.
【详解】
由题意得，
.
故选：B
【变式训练1-3】、（2021·浙江省象山县第二中学高二期中）已知向量，，且，则______．
【答案】
【分析】
根据空间向量共线定理求解即可.
【详解】
解：因为，，且，
所以存在非零实数使得，即
所以，解得
所以
故答案为：
【变式训练1-4】（2021·山东·胶州市教育体育局教学研究室高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，是两个空间向量，，则不一定共面
B．
C．若P在线段AB上，则
D．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为
【答案】C
【分析】
根据空间向量的概念、性质和运算法则，对各选项进行判断，即可得到结果
【详解】
根据向量的特点，若，是两个空间向量，则，一定共面，故选项A错误；
，故选项B错误；
若P在线段AB上，则，根据共线定理可知存在实数，使得故选项C正确；
在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为，故选项D错误；
故选：C.

知识点二 求异面直线形成的角
1. 异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

a与b的夹角β
l1与l2所成的角θ
范围
(0，π)

求法
cos β＝
cos θ＝|cos β|＝

例5. （1）、（2021·安徽·屯溪一中高二期中）在边长及对角线都为1的空间四边形中，，分别是，的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用空间向量的线性运算及数量积运算可求得，再利用空间向量求夹角运算即可得解.
【详解】
如图，连接对角线，，则可构成棱长均为1的正四面体
由，分别是，的中点，，


又，
则
所以直线和夹角的余弦值为.
故选：B

（2）．（2021·河北·高二月考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1，CC1的中点，则异面直线A1E与BF所成角的余弦值为___________.
【答案】
【分析】
建立如图所示空间直角坐标系，利用数量积可求夹角的余弦值.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，
则，故.

故答案为：
【变式训练2-1】、 （2021·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，点E为的中点，点F在BC的延长线上且，则异面直线BE与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
以B为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法，根据即可求出答案.
【详解】
在三棱柱中，因为侧棱垂直于底面，且，
所以以B为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

由，，，得，
所以，，，，．
由，得，
所以，，
所以异面直线BE与所成角的余弦值为．
故选：D．

【变式训练2-2】、（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知四棱锥中，底面，四边形是正方形，.点在棱上运动，当平面平面时，异面直线与所成角的正弦值为______.

【答案】
【分析】
以为原点，为轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，设，则，利用平面平面，求得点，再利用向量求得异面直线的夹角.
【详解】
设，以为直角坐标系原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，，
则，令，则
由在棱上运动，，即
所以点
设平面的法向量为，，
则，令，则
由平面平面，知，即，解得
所以点，
又，设异面直线与所成角为


故答案为：

知识点三 求直线与平面形成的角
1. 求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
例3．（1）（2021·全国·高二课时练习）若向量是直线l的方向向量，向量是平面α的法向量，则直线l与平面α所成的角为______．
【答案】
【分析】
直接利用向量的夹角公式求解即可
【详解】
设直线l与平面α所成的角为，则由题意得
，
因为，
所以，
所以直线l与平面α所成的角为，
故答案为：
（2）．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，在三棱柱中，平面ABC，，，E是的中点．则直线AB与平面所成角的正弦值为______．

【答案】
【分析】
结合已知条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用线面夹角的向量公式求解即可.
【详解】
由题意，建立如下图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
从而为平面的一个法向量，
不妨设直线AB与平面所成角为，
从而，
故直线AB与平面所成角的正弦值为．
故答案为：.
【变式训练3-1】、（2021·河北·高二期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折到的位置，使得四面体为鳖臑，若为的重心，则直线与平面所成角的正弦值为______．

【答案】
【分析】
根据题意可∠ADB′，∠ADC，∠DB′C，∠AB′C为直角，求出四面体的棱长，然后在长方体中作出四面体ADB′C，如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
求出平面的法向量，利用向量法即可求出答案.
【详解】
在直角中，为斜边上的高，，，
则，，，，即在四面体中，
，，，，，则．
要使四面体为鳖臑，根据三角形中大边对大角，可知需要平面，
此时，，，为直角，满足四面体为鳖臑，
则．

如图，在长、宽、高分别为，1，的长方体中作出四面体，
以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，．
设为平面的一个法向量，则，
令，则，，所以．
又，所以直线与平面所成角的正弦值为．
故答案为：
【变式训练3-2】、（2021·全国·高二课时练习）如图，E，F分别是正方体中棱CD上的两点，且，，则下列命题中不正确的为（ ）

A．异面直线与所成的角的大小为45°
B．异面直线与所成的角的大小为30°
C．直线与平面所成的角的大小为45°
D．直线与平面所成的角的大小为60°
【答案】BCD
【分析】
建立空间直角坐标系，分别计算，，然后使用空间向量的夹角公式计算可知A、B正误；同时计算平面的法向量，最后，简单判断即可.
【详解】
以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，


易知，，
所以，
所以异面直线与EF所成的角的大小为45°，故A正确，B错误；
由题意可知平面即为平面，
设平面的法向量为，则．
又，，
所以，令，得，
所以，
所以直线与平面所成的角为30°，
即直线与平面所成的角的大小为30°，故C，D错误．
故选：BCD．
知识点四 求平面与平面形成的角
1. 求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈，〉.

(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
【特别提醒】
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.
2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.
例4. （1）、（2021·全国·高二课时练习）在正方体中，二面角的余弦值为______．
【答案】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体棱长为1，则，，，，，，，．
设平面和平面的法向量分别为和，
则，取，得，
，取，得，
则，
显然二面角是钝二面角，所以其余弦值为．
故答案为：
（2）．（2021·全国·高二课时练习）（多选题）在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ）

A．四边形是菱形
B．直线与直线的距离是
C．直线与平面所成角的正弦值是
D．平面与平面所成角的正弦值是
【答案】AD
【分析】
以为正交基底，建立空间直角坐标系，然后利用向量的坐标运算可得，结合可判断A，然后利用向量对B、C、D中的问题逐一求解判断即可.
【详解】

如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，所以，所以，，
所以四边形是平行四边形，易知，因此四边形是菱形，A正确；
由上可知与平行，则直线与直线的距离等于点到直线的距离，
因为，，所以，，
所以点到直线的距离，B错误；
设平面的法向量为，由，得，
取，则，，即是平面的一个法向量，
，，
所以直线与平面所成角的正弦值是，C错误；
平面的一个法向量是，，所以平面与平面所成角的余弦值为，其正弦值为，D正确，
故选：AD.
【变式训练4-1】、（2021·浙江台州·高二期中）（多选题）在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的有（ ）
A．直线平面
B．三棱锥体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【分析】
在正方体中，本题涉及线面垂直的证明，三棱锥体积的求解，异面直线所成角的范围及线面角正弦值的范围.需逐个分析、计算、证明各选项.
【详解】
如图，
对于选项A,连接、 ,由正方体可得,且平面,则,又,且平面,所以平面,故
同理可证,又,且平面,所以平面,
故A正确;
对于选项B, 在正方体中，易知,而平面，平面，所以平面，且因为点在线段上运动，则到平面的距离为定值，面积为定值，所以三棱锥体积为定值,故B正确;
对于选项C,因为, 则异面直线与所成角等于直线与所成角,
易知，当点与线段的端点重合时，直线与所成角取得最小值为，故C错误;
对于选项D，如图所示建立空间直角坐标系：设正方体棱长为1，则

,设则,
由B选项证明可知，平面,所以是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则
，当时，即为中点时，取得最大值，故D正确
故选：ABD.
【变式训练4-2】、（2021·全国·高二课时练习）如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且平面ABCD，，点F为PC的中点，则二面角的正切值为__________

【答案】
【分析】
分析空间几何体的特征，建立合适的空间直角坐标系，用空间向量求二面角的余弦值，再求正切值﹒
【详解】
如图所示，连接BD，，连接OF，
以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz．

设，则．
所以，，，．
结合图形可知，，且为平面BOF的法向量，
由，，
可求得平面BCF的一个法向量为．
所以，，
所以．
故答案为：
例5．（2021·云南省玉溪第一中学高二期中（文））在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面⊥平面，，，，，点在线段上．

（1）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由面面垂直可以得到线面垂直，进而得到AB，AD，AF两两垂直，从而建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线的夹角余弦值；（2）设出，利用求出点坐标，进而求解出两个平面的法向量，利用法向量求解平面与平面的夹角的余弦值，注意两平面的夹角与二面角的区别.
（1）
因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB， 因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB， AF平面ABEF，所以AF⊥平面ABCD， 因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系

所以 ，，，，
所以 ，，所以，即异面直线BE与CP所成角的余弦值为；
（2）
因为AB⊥平面ADF，所以平面ADF的法向量为，
设，，因为，所以，因为，∴，，∴，，在平面APC中，，，设平面APC的法向量（x，y，z），则，令y＝1，则，， 得平面APC的法向量为 ，，所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【变式训练5-1】、（2021·河南·温县第一高级中学高二开学考试（理））如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，且满足，，平面平面．为线段的中点，为线段上的动点．

（1）求证：平面平面；
（2）求SB与平面ABCD所成角的正切值；
（3）设，当二面角的大小为60°时，求的值．
【答案】
（1）证明见解析；
（2）；
（3）﹒
【分析】
(1)证明，推出平面．，结合，推出平面，然后证明平面平面；
(2)过S点作线段的延长线的垂线，垂足为，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出与平面ABCD的法向量，根据向量夹角与线面角的关系即可求得答案；
(3)求出平面和平面的法向量，利用空间向量的数量积求解AN长度，然后转化求解即可．
（1）
，为的中点，，
又∵平面平面，平面平面且平面，
∴平面，
平面，
∴，
又平面，平面ABCD，
∴平面平面；
（2）
由(1)可知，平面，
．
在中，，
在中，由余弦定理可知，
，
，
过S点作线段的延长线的垂线，垂足为，
，
四边形为矩形．
由平面平面可知，平面，
以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，
，平面ABCD的一个法向量，
，

∴SB与平面ABCD所成角的正切值为；
（3）
设，则，
设平面的法向，由，
令，得，
，
又平面的法向量

即
．