四川省内江市资中县资中县银山中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

华师大版九年级数学上册期中检测

（满分120，120分钟完卷）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．）

1. 下列计算中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用二次根式混合运算法则分别判断得出答案．

【详解】解：、不能合并，故此选项不合题意；

B、，故此选项不合题意；

C、，故此选项不合题意；

D、，正确．

故选：．

【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可．

【详解】A、=，与不是同类二次根式，本选项错误；

B、＝3，与不是同类二次根式，本选项错误；

C、＝2，与不是同类二次根式，本选项错误；

D、＝2，与是同类二次根式，本选项正确．

故选：D．

【点睛】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

3. 在中，最简二次根式的个数为（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】A

【解析】

【分析】根据最简二次根式的条件进行分析解答即可．

【详解】解：不是最简二次根式，是最简二次根式.

故选A.

【点睛】本题考查最简二次根式定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

4. 下列方程中，属于一元二次方程的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】解：A. 不是一元二次方程；

B. 不是一元二次方程；

C. 整理后可知不是一元二次方程；   

D. 整理后是一元二次方程；

故选：D.

【点睛】本题利用了一元二次方程概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．

5. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据配方法可以解答本题．

【详解】解：

，

故选：A．

【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．

6. 方程的根的情况是（　　）

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根

C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根

【答案】A

【解析】

【分析】根据根的判别式得出△=b-4ac，套入数据求出△的值，由此即可得出结论．

【详解】在方程x−2x−3=0中，

△=b−4ac=(−2) −4×1×(−3)=16>0，

故该方程有两个不相等的实数根.

故选A

【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握其公式.

7. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得：每人要赠送张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．

【详解】解：根据题意得：全班有 x名学生，每人要赠送张相片，

则列方程得，，

故选：A．

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送张相片，有x个人是解决问题的关键．

8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．

【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、

只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．

故选B．

【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．

9. 已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（　　）

A. ﹣6 B. 2 C. 16 D. 16或2

【答案】D

【解析】

【分析】当a=b时，可得出=2；当a≠b时，a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，利用根与系数的关系可得出a+b=6，ab=2，再将其代入=中即可求出结论．

【详解】当a=b时，=1+1=2；
当a≠b时，∵a、b满足a2-6a+2=0，b2-6b+2=0，
∴a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，
∴a+b=6，ab=2，
∴= =16．
故选D．

【点睛】此题考查根与系数的关系，分a=b及a≠b两种情况，求出的值是解题的关键．

10. 若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（    ）

A. 2 B. 1 C. 0 D. －1

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求出答案．

【详解】解：由题意可知：Δ=4-12(a-1)≥0且a-1≠0，
∴a≤且a≠1，
所以整数a的最大值为0，
故选：C．

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

11. 如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）

A. 2c﹣b B. ﹣b C. b D. ﹣2a﹣b

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据数轴可以得到a＜b＜0＜c，然后根据绝对值的性质，以及算术平方根的性质化简即可．

【详解】根据数轴可以得到：a＜b＜0＜c，且|a|＞|c|，则a+c＜0，c﹣b＞0，则原式=﹣a+（a+c）+（c﹣b）=﹣a+a+c+c﹣b=2c﹣b．

故选A．

【点睛】本题考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，解答此题，要弄清以下问题：

（1）定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根，当a=0时，0，当a小于0时，二次根式无意义．

（2）性质：|a|．

12. 如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（　　）

A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，

∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，

∵点F是AB的中点，

∴FD=AB，

∵∠ABE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE=BE，

∵点F是AB的中点，

∴FE=AB，

∴FD=FE，①正确；

∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，

∴∠ABC=∠C，

∴AB=AC，

∵AD⊥BC，

∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，

在△AEH和△BEC中，

，

∴△AEH≌△BEC（ASA），

∴AH=BC=2CD，②正确；

∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，

∴△ABD～△BCE，

∴，即BC•AD=AB•BE，

∵AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，

∴BC•AD=AE2；③正确；

∵F是AB的中点，BD=CD，

∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF，④正确．

故选：D．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）

13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】根根二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．

【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，

∴，

解得：．

【点睛】本题考查了二次根式的有意义的条件，掌握二次根式中被开方数是非负数是解决本题的关键．

14. 若是方程的两根，则___________．

【答案】3

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再将恒等变形，代值求解即可．

【详解】解：已知是方程的两个根，

则，，

∵

，

∴原式

，

故答案为：3．

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系对所求代数式进行恒等变形是解决问题的关键．

15. 某公司今年1月份生产口罩250万只，按计划第一季度的总生产量要达到910万只．设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，根据题意列方程正确的是_____________

【答案】

【解析】

【分析】根据题意即可列出一元二次方程．

【详解】解：∵1月份生产口罩250万只，按计划第一季度的总生产量要达到910万只且该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，

∴可列方程为．

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．

16. 已知：（a+6）2+=0，则2b2﹣4b﹣a的值为__．

【答案】12．

【解析】

【分析】由非负数的性质可得a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，由此可得a=﹣6，b2﹣2b=3，再用整体思想求2b2﹣4b﹣a的值即可．

【详解】∵（a+6）2+=0，

∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，

解得，a=﹣6，b2﹣2b=3，

可得2b2﹣4b=6，

则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12，

故答案为：12．

【点睛】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种知识点的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．

三、解答题（本大题6个小题，共56分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）

17. （1）计算：；

（2）解方程：．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）根据零指数幂、负整指数幂和平方差公式和二次根式的混合运算进行求解即可；

（2）根据一元二次方程的配方法解方程即可．

【详解】解：（1）

；

（2）

．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键．

18. 某超市准备进一批季节性小家电，每个进价是元，经市场预测：销售价定为元，可售出个，定价每增加元，销售量将减少个．超市若要保证获得利润元，同时又要使顾客得到实惠，那么每个定价应该是多少元？

【答案】当定价为元时利润达到元

【解析】

【分析】设每个定价增加x元，根据总利润=每个的利润×销售量，销售量为400-10x，列方程求解，根据题意取舍，即可得出答案．

【详解】解：设每个定价增加x元，根据题意得：

（x+10）（400-10x）=6000，

整理得：x2-30x+200=0

解得x1=10，x2=20，

∵顾客要实惠，

∴x=10，

∴x+50=60．

答：当定价为60元时利润达到6000元．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程并求解．

19. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

（1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）若AD=3，AB=5，求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；

（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可求解．

详解】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，

∴∠AFE=∠AGC=90°，

∵∠EAF=∠GAC，

∴∠AED=∠ACB，

∵∠EAD=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，

∴

由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，

∴∠EAF=∠GAC，

∴△EAF∽△CAG，

∴，

∴=

20. 像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：

====．

再如：

请用上述方法探索并解决下列问题：

（1）化简：；

（2）化简：；

（3）若，且a，m，n为正整数，求a的值．

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

【分析】根据题目给出的方法即可求出答案．

【详解】(1);

(2) ;

(3)∵，

∴，，

∴

又∵为正整数，

∴，或者，

∴当时，；

当时，，

【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．

21. 关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0

（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．

（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．

【解析】

【分析】（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

【详解】（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,

x=-1有一个解；

②当k-1≠0即k≠1时，方程一元二次方程，

△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0

方程有两不等根

综合①②得不论k为何值，方程总有实根

（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=

∴S=++ x1+x2

=

=

=

=

=2k-2=2，

解得k=2，

∴当k=2时，S的值为2 

∴S的值能为2，此时k的值为2．

考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．

22. 如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=6cm，D是BC的中点.点E从A出发，以acm/s(a＞0)的速度沿AC匀速向点C运动；点F同时以1cm/s的速度从点C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG，设它们运动的时间为t秒(t≥t0).

(1)若t=2，△CEF∽△ABC，求a的值；

(2)当a=时，以点E、F、D、G为顶点点四边形时平行四边形，求t的值；

(3)若a=2，是否存在实数t，使得点△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；(2)或；(3)t=，△DFG是直角三角形．

【解析】

【分析】（1）根据相似三角形的性质，建立比例关系，进而求解.（2）根据相似三角形的定义证明△AEG∽△ACD，进而得到 ，求得EG的值，再根据题意求出t的取值.（3）根据题意及勾股定理，再结合（2）中△AEG∽△ACD，得到 ，最后分情况讨论，得出t=，△DFG是直角三角形.

【详解】(1)∵t=2，     

 ∴CF=2厘米，AE=2a厘米，

∴EC=(4﹣2a ) 厘米，

∵△ECF∽△BCA． 

∴．

∴

∴．

(2)由题意，AE=t厘米，CD=3厘米，CF=t厘米．

∵EG∥CD

∴△AEG∽△ACD．

∴，

 ∴EG=．

∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形

∴EG=DF．

当0≤t＜3时，

∴．

当3＜t≤6时，

 ∴．

综上，或.

(3)∵点D是BC中点

∴CD=BC=3，

在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD=5，

由题意，AE=2t厘米，CF=t厘米，

由(2)知，△AEG∽△ACD，

∴，

∴

∴AG=厘米，EG=，DF=3﹣t厘米，DG=5﹣(厘米)．

若∠GFD=90°，则EG=CF，=t．

∴t=0，(舍去)(11分)若∠FGD=90°，则△ACD∽△FGD．

∴，

∴．

∴t=．

综上：t=，△DFG是直角三角形．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及运用，熟练掌握相似三角形的性质及运用是本题解题关键.