黑龙江省佳木斯市第一中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

佳一中2021-2022学年度上学期高一期末考试

数学试卷

一､单项选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据交集、补集的定义计算可得；

【详解】解：集合，，

，

则．

故选：D．

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称命题的否定是特征命题进行判断即可.

【详解】因为全称命题的否定是特征命题，

所以“，”的否定是，，

故选：D

3. 函数的零点所在区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】判断函数的单调性，根据函数零点存在性定理即可判断.

【详解】函数的定义域为，

且函数在上单调递减；在上单调递减，

所以函数为定义在上的连续减函数，

又当时，，

当时，，

两函数值异号，

所以函数的零点所在区间是，

故选：B.

4. 若，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可．

【详解】，

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：A．

5. 已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.

【详解】因，，，

所以，

故选：C.

6. 在同一直角坐标系中，函数和（且）的图像可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性及对数函数的图象的性质可得.

【详解】由函数，可知函数为偶函数，函数图象关于轴对称，可排除选项AC，

又的图象过点，可排除选项D.

故选：B.

7. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，且角的终边上一点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据任意角的三角函数的定义即可求出的值，根据二倍角的正弦公式，即可求出的值．

【详解】由题意，角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，且角的终边上一点，

所以，，

所以．

故选：D．

8. 已知，且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先通过诱导公式把转化成，再结合平方关系求解.

【详解】，又，.

故选：B.

9. 下列函数中为奇函数，且在定义域上是增函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．

【详解】对于函数，定义域为，且，所以函数为偶函数，不符合题意；

对于在定义域上不单调，不符合题意；

对于在定义域上不单调，不符合题意；

对于，由幂函数的性质可知，函数在定义域上为单调递增的奇函数，符合题意．

故选：D．

10. 若，均为锐角，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由结合平方关系可解.

【详解】因为为锐角，，所以，

又，均为锐角，所以，所以，

所以

.

故选：B

11. 定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，，则（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数奇偶性和等量关系，求出函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可．

【详解】解：奇函数恒满足，

，即，则，即，即是周期为4的周期函数，

所以，

故选：B．

12. 已知，，，下列不等式正确个数有（    ）

①，②，③，④.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】由于，得，根据基本不等式对选项一一判断即可．

【详解】因，，，

所以，得，当且仅当时取等号，②对；

由，当且仅当时取等号，①对；

由得，所以，当且仅当时取等号，③对；

由，当且仅当时取等号，④对

故选：D

二､填空题：（本题共4小题，每小题5分，满分20分）

13. ___________.

【答案】

【解析】

【分析】直接利用诱导公式即可求解.

【详解】.

故答案为：

14. 已知函数是幂函数，且过点，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意，设代入点坐标可得，计算即得解

【详解】由题意，设，过点

故，解得

故

则

故答案为：

15. 为偶函数，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据偶函数判断参数值，进而可得函数值.

【详解】由为偶函数，

得，

，

不恒为，

，

，

，

故答案为：.

16. 已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】设，可转化为有两个正解，进而可得参数范围.

【详解】设，

由有两个零点，

即方程有两个正解，

所以，解得，

即，

故答案为：.

三､解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置）

17. 已知，，

（1）用，表示；

（2）求

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】先把指数式化为对数式求出的值，再利用对数的运算性质进行求解．

【小问1详解】

解：，，，

．

【小问2详解】

解：，，

，

．

18. 已知，，求下列各式的值：

（1）

（2）

【答案】（1）.   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用二倍角公式和诱导公式直接求解；

（2）判断出，根据，求出的值.

【小问1详解】

因为，

所以.

【小问2详解】

.

因为，所以，所以，所以，

所以，

所以

19. 已知.

（1）若，且，求的值.

（2）若，求的值.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）诱导公式化简可得，结合，求解即可；

（2）代入，结合诱导公式化简可得，即，利用二倍角公式化简可得，代入即得解

【小问1详解】

由题意，

若，

则或

【小问2详解】

若，则

即，即

故

20. 已知函数，

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的对称中心；

（3）当时，求的最大值和最小值.

【答案】（1）最小正周期   

（2），   

（3），．

【解析】

【分析】（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期公式求得函数的最小正周期，利用三角函数图象和性质求得其对称轴方程．

（2）根据正弦函数的性质计算可得；

（3）利用的范围求得的范围，再根据正弦函数的性质求出函数在区间上最大值和最小值．

【小问1详解】

解：

．

即

所以的最小正周期为，

【小问2详解】

解：令，，解得，，所以函数的对称中心为，．

【小问3详解】

解：当时，，所以

则当，即时，；

当，即时，．

21. 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间是200小时，而在1℃的温度下则是160小时，而在2℃的温度下则是128小时.

（1）写出保鲜时间关于储藏温度（℃）的函数解析式；

（2）利用（1）的结论，若设置储藏温度为3℃的情况下，某人储藏一瓶牛奶的时间为90至100小时之间，则这瓶牛奶能否正常饮用？（说明理由）

【答案】（1）   

（2）可以正常饮用

【解析】

【分析】（1）利用题中条件，列出等式，求解即可；

（2）利用（1）中结论，当时，即可计算出保鲜时间，判断即可

【小问1详解】

由题意可知

解得

【小问2详解】

由（1）知温度为3℃时保鲜的时间为：小时

故可以正常饮用

22. 已知是定义在上的函数，满足.

（1）若，求；

（2）求证：的周期为4；

（3）当时，，求在时的解析式.

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）先求出，然后再求即可；
（2）利用函数周期性的定义，即可证明；
（3）根据以及题设条件，先求出，再根据，即可解出在时的解析式．

【小问1详解】

∵，
∴.

【小问2详解】

∵对任意的，满足
∴，
∴函数是以4为周期的周期函数.

【小问3详解】

设，则，

∵当时，，

∴当时，，
又∵，

∴

∴.