北京市清华大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

这是一份北京市清华大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市清华附中2021-2022学年高一上学期期末考试
数学试题
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合要求的一项.
1．若集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|ex＞1}，则A∩B＝（　　）
A．R B．（﹣∞，2） C．（0，2） D．（2，+∞）
2．已知命题p：∀a∈（0，+∞），a+＞2，则￢p是（　　）
A．∃a∈（0，+∞），a+＞2 B．∃a∉（0，+∞），a+＞2
C．∃a∈（0，+∞），a+≤2 D．∃a∉（0，+∞），a+≤2
3．已知a＝ln3，b＝log0.32，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
4．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是（　　）
A．y＝2|sinx| B．y＝cosx C．y＝sin2x D．y＝|cosx|
5．已知f﹣1（x）是函数f（x）＝10x的反函数，则f﹣1（1）的值为（　　）
A．0 B．1 C．10 D．100
6．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点（，﹣），则cos（π+α）＝（　　）
A．﹣ B． C． D．
7．已知α，β∈R，则“α＝β+kπ，k∈Z”是“sin2α＝sin2β”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知指数函数f（x）＝ax，将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则a的值是（　　）
A． B． C． D．
9．已知函数f（x）＝（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（　　）

A． B． C． D．
10．已知函数f（x）＝1﹣2x，g（x）＝x2﹣4x+3，若有f（a）＝g（b），则b的取值范围是（　　）
A． B．
C．[1，3] D．（1，3）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知，则tan2x的值为 　 　．
12．已知x∈[﹣3，﹣1]，则函数的最大值为 　 　，最小值为 　 　．
13．已知函数f（x）＝，且函数g（x）＝f（x）﹣m恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是 　 　．
14．已知max{x1，x2，…，xn}表示x1，x2，…，xn这n个数中最大的数．能够说明“对任意a，b，c，d∈R，都有max{a，b}+max{c，d}≥max{a，b，c，d}”是假命题的一组整数a，b，c，d的值依次可以为　 　．
15．已知函数，给出下列四个命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）的图象关于点（π，0）成中心对称；
③函数f（x）的图象关于直线x＝﹣2π成轴对称；
④函数f（x）在区间（π，）上单调递增．
其中，所有正确命题的序号是 　 　．
三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（14分）求下列关于x的不等式的解集：
（1）；
（2）2a2x2﹣3ax﹣2＞0．







17．（14分）已知集合A＝{x|2x＞4}，B＝{x||x﹣a|＜2}，其中a＞0且a≠1．
（1）当a＝2时，求A∪B及A∩B；
（2）若集合C＝{x|logax＜0}且C⊆B，求a的取值范围．

18．（14分）已知函数f（x）＝x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间在区间[，]上的最大值和最小值．











19．（14分）已知函数f（x）＝2x2+ax+a﹣1．
（1）若f（x）的图象恒在直线y＝﹣1上方，求实数a的取值范围；
（2）若不等式f（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．






20．（14分）已知0＜α＜，﹣＜β＜0，，．
（1）求的值；
（2）求sinβ的值；
（3）求α﹣β的值．






21．（15分）已知函数f（x）的定义域为D，若存在实数a，使得对于任意x1∈D都存在x2∈D满足，则称函数f（x）为“自均值函数”，其中a称为f（x）的“自均值数”．
（1）判断函数f（x）＝2x是否为“自均值函数”，并说明理由；
（2）若函数，x∈[0，1]为“自均值函数”，求ω的取值范围；
（3）若函数h（x）＝tx2+2x+3，x∈[0，2]有且仅有1个“自均值数”，求实数t的值．

【参考答案】
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合要求的一项.
1．C
【解析】集合A＝{x|x﹣2＜0}＝{x|x＜2}，B＝{x|ex＞1}＝{x|x＞0}，
则A∩B＝{x|0＜x＜2}＝（0，2）．故选：C．
2．C
【解析】命题为全称命题，则命题的否定为∃a∈（0，+∞），a+≤2，故选：C．
3．C
【解析】a＝ln3＞1，b＝log0.32＜0，c＝0.30.2∈（0，1），
则a＞c＞b故选：C．
4．A
【解析】满足π为最小正周期，且在区间上为减函数：
对于A：y＝2|sinx|的图象是把y＝2sinx的图象x轴下方翻折得到的，周期为π，在区间上为减函数，∴A对；
对于B：y＝cosx的周期为2π，∴B不对；
对于C：y＝sin2x的周期为π，在（，）上为减函数，（，π）上为增函数，
∴C不对．
对于D：y＝|cosx|的图象是把y＝cosx的图象x轴下方翻折得到的，周期为π，在区间上为增函数，∴D对；故选：A．
5．A
【解析】∵原函数和反函数的定义域和值域是互换的，
∴令10x＝1，求得x＝0，∴f﹣1（1）＝0．
故选：A．
6．A
【解析】∵平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点（，
﹣），∴cosα＝，∴cos（π+α）＝﹣cosα＝﹣．故选：A．
7．A
【解析】①当α＝β+kπ，k∈Z时，则2α＝2β+2kπ，k∈Z，
∴sin2α＝sin(2β+2kπ)＝sin2β,∴充分性成立，
②当sin2α＝sin2β时，则2α＝2β+2kπ,k∈Z或2α+2β＝π+2kπ,k∈Z，
∴α＝β+kπ或α+β＝+kπ,k∈Z，∴必要性不成立，故选：A．
8．D
【解析】将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，
则g（x）＝3ax，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，得到y＝3ax﹣2＝•ax，
所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则＝1，即a2＝3，a＝，故选：D．
9．B
【解析】由图象可知f（x）的周期为T＝＝π，∴＝π，解得ω＝2．
由图象可知f（）＝1，即＝1，
∴+φ＝+kπ，k∈Z．∴φ＝﹣+kπ，
又，∴φ＝﹣．故选：B．
10．B
【解析】由题意可得f（a）＝1﹣2a＜1，f（a）＝g（b），
故 g（b）＝b2﹣4b+3＜1，即 （b﹣2）2＜2．解得 2﹣＜b＜2+，
故选：B．
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.
11．
【解析】∵，∴tan2x＝＝，故答案为：．
12．﹣2 ﹣3
【解析】观察函数是由对勾函数向上平移2个单位得到，由对勾函数性质可知y1在（﹣∞，﹣2）递增，（﹣2，0）递减，
∵x∈[﹣3，﹣1]，故函数在x＝﹣2取最大值﹣2，
当x＝﹣3时，y＝，当x＝﹣1时，y＝﹣3，
所以最大值为﹣2，最小是为﹣3．
13．（1，2]
【解析】g（x）＝f（x）﹣m恰有两个不同的零点，等价于f（x）＝m有两个不同的根，也即函数y＝m与函数f（x）的图象有两个不同的交点，
当x＞0时，y＝lnx，此时函数为单调增函数，且y∈R，
当x≤0时，y＝ex+1，函数为单调增函数，且y∈（1，2]，
所以当m∈（1，2]时，满足题意，
故答案为：（1，2]．
14．2，1，﹣1，﹣2（答案不唯一）
【解析】不妨假设a＞b＞c＞d，
则由定义可知max{a，b}＝a，max{c，d}＝c，max{a，b，c，d}＝a，
则原命题等价于a+c≥a，
则当c＜0时上式不成立，故满足条件的只需要排序后第三个数小于0即可，
例如：2，1，﹣1，﹣2，
故答案为：2，1，﹣1，﹣2（答案不唯一）．
15．①②③
【解析】函数，
对于①，函数f（x+4π）＝cos（x+4π）cos（）＝cosxcos＝f（x），
故函数的最小正周期为4π，故函数为周期函数，故①正确；
对于②，由于函数f（x+π）＝cosx•sin，f（π﹣x）＝﹣cosx•sin，
故f（π+x）＝﹣f（π﹣x），故函数f（x）的图象关于点（π，0）成中心对称，故②正确；
对于③，由于f（﹣2π+x）＝﹣cosx•cos；f（﹣2π+x）＝﹣cosx•cos；
故f（﹣2π+x）＝f（﹣2π+x），故函数f（x）的图象关于x＝﹣2π对称，故③正确；
对于④，由于
＝﹣，
当时，，则，
当时，f′（x）＞0，
当时，f′（x）＜0，
故函数f（x）在区间（π，）上不单调，故④错误；
故答案为：①②③．
三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．解：（1），∴≥0，
∴，∴x＞7或x≤2，
∴不等式的解集（﹣∞，2]∪（7，+∞）．
（2）①当a＝0时，则﹣2＝0不成立，x∈∅，
②当a≠0，即a2＞0时，
令2a2x2﹣3ax﹣2＝0，则x＝或x＝﹣，
若a＞0时，＞﹣，∴x＞或x＜﹣，
若a＜0时，＜﹣，∴x＜或x＞﹣，
综上，当a＝0时，不等式的解集为∅，
若a＞0时，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣}，
若a＜0时，不等式的解集为{x|x＞﹣或x＜}．
17．解：A＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，B＝{x||x﹣a|＜2}＝{x|a﹣2＜x＜a+2}，
（1）当a＝2时，B＝{x|0＜x＜4}，
所以A∪B＝{x|x＞0}，A∩B＝{x|2＜x＜4}；
（2）当a＞1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|0＜x＜1}，
因为C⊆B，所以，解得﹣1≤a≤2，
因为a＞1，此时1＜a≤2，
当0＜a＜1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|x＞1}，此时不满足C⊆B，
综上，a的取值范围为{a|1＜a≤2}．
18．解：（1）f（x）＝x
＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x﹣）+，
∴函数f（x）的最小正周期为＝π，
令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，则﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[，]，∴2x﹣∈[﹣，]，
则sin（2x﹣）∈[﹣1，1]，∴f（x）∈[﹣，]，
∴函数f（x）的最大值为，最小值为﹣．
19．解：（1）因函数f（x）＝2x2+ax+a﹣1的图象恒在直线y＝﹣1上方，
即∀x∈R，2x2+ax+a﹣1＞﹣1⇔2x2+ax+a＞0，
于是得Δ＝a2﹣8a＜0，解得0＜a＜8，
所以实数a的取值范围是（0，8）．
（2）依题意，，
令，
令函数，
，
而1＜t1＜t2，即，
则有g（t1）﹣g（t2）＜0，即g（t1）＜g（t2），
于是得g（t）在t∈（1，+∞）上单调递增，
因此，∀t＞1，g（t）＞g（1）＝﹣1，即，
从而有，则a≥1，所以实数a的取值范围是[1，+∞）．
20．解：（1）∵0＜α＜，∴＜α+＜．
∵，∴sin（+α）＝，
∵﹣＜β＜0，∴＜﹣＜．
∵，sin（﹣）＝．
∴cos（α+）＝cos[（+α）−（−）]
＝cos（+α）cos（−）+sin（+α）sin（−）＝．
（2），∴cos+sin＝，
∴cos+sin＝，两边平方得1+2cos•sin＝，
∴sinβ＝﹣．
（3）cosα＝cos[（+α）﹣]＝cos（+α）cos+sin（+α）sin
＝×+×＝，
∴sinα＝＝，
∵sinβ＝﹣，∴cosβ＝，
∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝×﹣×＝，
∵0＜α﹣β＜π，∴α﹣β＝．
21．解：（1）假定函数f（x）＝2x是“自均值函数”，显然f（x）＝2x定义域为R，
则存在a∈R，对于∀x1∈R，存在x2∈R，有＝a，即＝2a﹣x1，
依题意，函数f（x2）＝在R上的值域应包含函数y＝2a﹣x1在R上的值域，
而当x2∈R时，f（x2）值域是（0，+∞），
当x1∈R时，y＝2a﹣x1的值域是R，显然（0，+∞）不包含R，
所以函数f（x）＝2x不是“自均值函数”；
（2）依题意，存在a∈R，对于∀x1∈[0，1]，存在x2∈[0，1]，
有＝a，即sin（ωx2+）＝2a﹣x1，
当x1∈[0，1]时，y＝2a﹣x1的值域是[2a﹣1，2a]，
因此g（x2）＝sin（ωx2+）在x2∈[0，1]的值域包含[2a﹣1，2a]，
当x2∈[0，1]时，而ω＞0，则≤ωx2+≤ω+，
若ω+≤，则g（x2）min＝，g（x2）≤1，
此时g（x2）值域的区间长度不超过，而区间[2a﹣1，2a]长度为1，不符合题意，
于是得ω+＞，g（x2）max＝1，要使g（x2）＝sin（ωx2+）在x2∈[0，1]的值域包含[2a﹣1，2a]，
则g（x2）＝sin（ωx2+）在x2∈[0，1]的最小值小于等于0，
又ωx2+∈[，]时，g（x2）递减，且g（π）＝0，
从而有ω+≥π，解得，
此时，取a＝，y＝2a﹣x1的值域是[0，1]包含于g（x2）在x2∈[0，1]的值域，
所以ω的取值范围是[，+∞）；
（3）依题意，存在a∈R，对于∀x1∈[0，2]，存在x2∈[0，2]，有＝a，
即tx22+2x2+3＝2a﹣x1，
当x1∈[0，2]时，y＝2a﹣x1的值域是[2a﹣2，2a]，
因此h（x2）＝tx22+2x2+3在x1∈[0，2]的值域包含[2a﹣2，2a]，并且有唯一的a值，
当t≥0时，h（x2）在[0，2]单调递增，h（x2）在x2∈[0，2]的值域是[3，4t+7]，
由[2a﹣2，2a]⊆[3，4t+7]得，
解得≤a≤2t+，此时a的值不唯一，不符合要求，
当t＜0时，函数h（x2）＝tx22+2x2+3的对称轴为x2＝﹣，
当﹣≥2，即﹣t＜0时，h（x2）在[0，2]单调递增，h（x2）在x2∈[0，2]的值域是[3，4t+7]，
由[2a﹣2，2a]⊆[3，4t+7]得，解得≤a≤2t+，
要a的值唯一，当且仅当＝2t+，
即t＝﹣，a＝，则t＝﹣，
当0＜﹣＜2，即t＜﹣时，
h（x2）max＝h（﹣）＝3﹣，h（x2）min＝min{h（0），h（2）}，
又因为h（0）＝3，h（2）＝4t+7，
由[2a﹣2，2a]⊆[3，3﹣]且﹣1≤t＜﹣，
得：≤a≤﹣，此时a的值不唯一，不符合要求，
由[2a﹣2，2a]⊆[4t+7，3﹣]且t＜﹣1，
得：2t+≤a，此时a的值不唯一，不符合要求，
综上得：t＝﹣，
所以函数h（x）＝tx2+2x+3，x∈[0，2]有且仅有1个“自均值数”，实数t的值是﹣．