第37届全国中学生物理竞赛复赛试题 Word版无答案

第37届全国中学生物理竞赛复赛试题

 (2020 年 9 月 19 日上午 9:00-12:00)

考生必读

1 、  考生考试前请务必认真阅读本须知。

2 、  本试题共 5 页，总分为 320 分。

3 、  如遇试题印刷不清楚情况，请务必向监考老师提出。

4 、  需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸相应题号后面的空白处；阅卷老师只评阅答题纸上的内容； 写在试题纸和草稿纸上的解答一律不被评阅。

一、(40 分) 高铁运行的平稳性与列车的振动程度密切相关，列车上安装的空 气弹簧可以有效减振。某高铁测试实验采用的空气弹簧模型由主气室(气囊) 和附加气室(容积不变) 构成，如图 1a 所示。空气弹簧对簧上负载竖直向上 的作用力由气囊内被压缩的空气产生的弹力提供。簧上负载处于平衡状态时， 主气室内气体的压强和体积分别为p10 和V10  ，附加气室的容积为V2  ，大气压强

为p0  。空气弹簧竖直向上的作用力F 与主气室内气体压强和大气压强之差的

图 1a

比值称为空气弹簧的有效承载面积Ae  。已知空气的定容摩尔热容CV  R  (R 是普适气体常量)。假设在微

振幅条件下主气室内气体的体积V1 和有效承载面积Ae 均可视为空气弹簧(气囊) 的承载面相对于其平衡位 置的竖直位移y   (向下为正) 的线性函数，变化率分别为常量 ( 0 ) 和 ( 0 )。

(1) 附加气室未与主气室连通(阀门关闭)，试在下述两种情形下，导出空气弹簧的劲度系数K dF / dy 与 其有效承载面积Ae 之间的关系：

i) 上下乘客(主气室内气体压强和体积的变化满足等温过程)；

ii) 列车运行中遇到剧烈颠簸(主气室内气体压强和体积变化满足绝热过程)。

(2) 主气室连通附加气室(阀门打开) 后，在上述两种情形下，导出空气弹簧的劲度系数K 与其有效承载 面积Ae 之间的关系。主气室与附加气室之间连通管道的容积可忽略。

二、(40 分) 一质量为 m、半径为 R 的均质实心母球静置于水平桌面上，母球与桌面之间的滑动摩擦因数为               。将球杆调整到位于过球心的竖直平面内保持水平，并击打母球上半部，球杆相对于球心所在水平面的 高度为R / 2 ，击打时间极短；母球获得的冲量大小为 P ，方向水平。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 重力加速度大小为g   。

(1) 问击打后经过多长时间母球开始做纯滚动？求母球达到纯滚动时球心的运动速度；

(2) 记母球达到纯滚动时(以此时刻为计时零点) 母球上与桌面接触点为 B，求此后的t 时刻球上 B 点的 位置、速度与加速度。

三、(40  分) 负微分电阻效应是指某些电路或电子元件(如隧道二极管) 在特定

的电压范围内其电流随端电压增加而减少的特性，该效应可在电路中维持高频振

荡并输出放大的交流信号。在图 3a 所示的简化电路中，D 为一隧道二极管，其左

侧由一定值电阻R 、一电感L 和一电容 C 串联组成，回路交流电流记为i(t) ；其          图 3a

右侧由一理想的高频扼流圈 RFC  (直流电阻为零，完全阻断交流信号) 和一理想恒压直流电源V0 组成，回 路直流电流记为 I   ( I >> i(t) )， 已标示电流正方向。D  始终处在特定电压范围内，这时其电阻值为一R0                ( R0  > 0 ，且为一定值)。

(1) 已知t = 0 时，i(0) = 0 ，i.(0) = b才 0   (a. 表示a 对t 微商)；交流电流随时间的变化满足 i(t) =议1eb1t  +议2 eb2t  ，( 议1、b1、议2、b2 为待定常量)

试确定常量议1、b1、议2、b2  ，以确定任意时刻t 的交流电流i(t) ；

(2) 试说明在什么条件下左侧回路中会发生谐振？并求在发生谐振的情形下左侧回路中电流iH (t) 和谐振频 率fH  ；

(3)  试说明在什么条件下左侧回路中会发生 RLC 阻尼振荡？并求此时左侧回路中电流iD (t) 和振荡频率 fD  ；

(4) 已知该隧道二极管 D 正常工作(即能保持其具有负微分电阻效应) 的范围为 Vmin  共 VD  共 Vmax  ，   ( Vmin 、Vmax 为已知常量)

试求该隧道二极管上交流部分可能达到的最大平均功率    maxP  、以及此时理想恒压直流电源的输出电压V0  。

四、(40 分) 劳伦斯(E. O. Lawrence) 在 1930 年首次提出了回旋加速器的原理：用两个半圆形磁场，使带 电粒子沿圆弧形轨道旋转，反复通过两半圆缝隙间的高频电场加速而获得较高能量。他因这个极富创意的 方案而获得了 1939 年的诺贝尔物理学奖。

(1) 目前全球最大的回旋加速器是费米实验室中的高能质子同步加速器 Tevatron  (粒子运行最大回旋圆轨 道的周长为Lmax  = 6436 m )，可以将一质子加速到的最大能量为E = 1.00 x106  MeV 。假设质子在被加 速过程中始终在垂直于均匀磁场的平面内运动，不计电磁辐射引起的能量损失。求该同步加速器 Tevatron 将质子加速到上述最大能量所需要的磁感应强度的最小值Bmin  。

(2) 高能入射质子轰击静止的质子(靶质子)，可产生反质子p ，反应式为 p + p ) p + p + p + p

求能产生反质子时入射质子的最小动能，并判断第(1) 问中的 Tevatron 加速的质子是否可以轰击静止的靶 质子而产生反质子。

已知数据：质子质量mp  = 938.3 MeV/c2  ，真空中的光速c = 3.00 x108 m/s 。

五、(40 分) 星际飞行器甲、乙、丙如图 5a 所示：在惯性系(坐标系O-xy ) 中观 测到飞行器甲和乙在同一直线上朝y 轴负方向匀速飞行，飞行器丙在另一直线上朝y 轴正方向匀速飞行；两条飞行直线相互平行，相距 d。三艘飞行器的速度在惯性系中分别为v甲(2c / 3) 、v乙(c / 3) 、v丙(2c / 3)   ( 是沿 y 轴正方向的单

位矢量)，图中飞行器旁的箭头表示其飞行速度的方向。假设飞行器甲、乙、丙的尺

寸远小于 d。

图 5a

(1) 某时刻，飞行器甲向乙发射一个光信号，乙收到该信号后立即将其反射回甲。据甲上的原子钟读数， 该光信号从发出到返回共经历了时间 (t光信号 )甲 T 。试求分别从惯性系和乙上的观测者来看，光信号从

甲发出到返回甲，所经历的时间各是多少？从甲上的观测者来看，从甲收到返回的光信号到甲追上乙需要

多少时间？

(2) 当飞行器甲和丙在惯性系中相距最近时，从甲发射一个小货物(质量远小于飞行器的质量，尺寸可 忽略)，小货物在惯性系中的速度大小为v货3c / 4 。为了让丙能接收到该货物，从甲上的观测者来看，

该货物发射速度的大小和方向是多少？从乙上的观测者来看，货物从甲发射到被丙接收所需时间(t货 )乙 是 多少？

六、(40 分) 光纤陀螺仪是一种能够精确测定运动物体方位的光学仪器，它是现代

航海、航空和航天等领域中被广泛使用的一种惯性导航仪器。光纤陀螺仪导航主要

基于下述效应：在一个半径为R 、以角速度 转动的光纤环路(见图 6a) 中，从

固定在环上的分束器 A 分出的两束相干光分别沿逆时针(CCW) 和顺时针(CW)

方向传播后回到 A ，两者的光程不一样。检测两束光的相位差或干涉条纹的变化，

可确定该光纤环路的转动角速度 。真空中的光速为c 。

(1) 如图 6b，光纤由内、外两层介质构成，内、外层介质

的折射率分别为n1 、n2    ( n1  n2  )。为了使光能在光纤内

传输，光在输入端口(端口外介质的折射率为n0  ) 的入射

角 i 应满足什么条件？

(2) 考虑沿环路密绕 N 匝光纤，首尾相接于分束器 A，光

纤环路以角速度 沿逆时针方向旋转。从 A 分出两束相干光沿光纤环路逆时针和顺时针方向传播，又回到 A。已知光传播介质的折射率为n1 ，两束光在真空中的波长为入0  ，问两束相干光分别沿光纤环路逆时针和 顺时针方向传播的时间 tCCW  和 tCW  为多少？这两束光的相位差为多少？试指出该相差与介质折射率n1 之间

的关系。

(3) 为了提高陀螺系统的微型化程度，人们提出了谐振式光学陀螺系统。该系统中含有一个沿逆时针方向 旋转的光学环形腔，其半径为 R，旋转角速度为 ( R c )， 已知腔中的介质折射率为n，在腔内存在 沿逆时针和顺时针方向传播的两类共振模式。当环形腔静止时，这些模式的波长 入m0   由周期边界条件 2πR m入m0  决定，其中m 为正整数，称为共振模式的级次。当环形腔旋转时，同一级次(均为m ) 的沿顺 时针和逆时针方向传播的共振模式存在一个共振频率差 f ，试导出环形腔转动角速度 与该共振频率差               f 之间的关系。

七、(40分) 激光干涉引力波天文台(LIGO) 2015年首次探测到了十亿光年外双 黑洞并合产生的引力波，证实了爱因斯坦理论关于存在引力波和黑洞的预言。黑 洞并合过程分为三个阶段：第一阶段(旋近阶段)，两黑洞围绕系统质心在同一

平面内做近似圆周的运动(见图7a)，损失的机械能转化为引力辐射能，两者螺

图 7a

旋式逐渐靠近；第二阶段(并合阶段)，双黑洞并合为一个黑洞；最后阶段(衰荡阶段)，并合的黑洞弛豫 至平衡状态，成为一个稳定的旋转黑洞。在旋近阶段，若忽略黑洞的自转和大小，则双黑洞均可视为质量 分别恒为M 与m 的质点，它们之间距离L 随时间而逐渐减小。假定系统除了辐射引力波外无其它能量耗散， 不考虑引力辐射的反作用，可用牛顿引力理论进行近似处理。

(1)引力波辐射功率除了与引力常量G 成正比之外，还可能与两黑洞的质量M 与m 、两黑洞之间的距离L 、 以及系统绕质心的转动惯量I 、转动角速度O和辐射引力波的传播速度(其大小等于真空中的光速c ) 有关， 试选取描述转动体系辐射的三个物理量与 G 一起导出引力波辐射功率的表达式(假设其中可能待定的无量 纲比例常数为 )；

(2) 若在初始时刻t 0 时两黑洞之间的距离为L0  ，且引力波辐射功率表达式中的无量纲比例常数 是已知 的，求两黑洞从t 0 时开始绕系统质心旋转360 所需要的时间；

(3) 当两黑洞从t 0 时开始绕系统质心旋转多少度时，它们间的距离恰好是其初始距离的一半？

八、  (40 分) 将电传输信号调制到光信号的过程称为电 光调制。电光调制器的主要工作原理是电光效应：以铌酸 锂电光晶体为例，其折射率在电场作用下发生变化，从而 改变输入光束的光程，使电信号信息转移到光信号上。电

光调制器光路图如图 8a 所示，P1 、P2 分别为起偏器和检                   图 8a

偏器，两者结构相同但偏振方向相互垂直(图中 P1 ( x1 ) 、P2 ( x 2 ) 表示 P1 、P2 的偏振方向分别与x1 、x2 坐标 轴平行) ，长度为 l、厚度为d 的电光晶体置于 P1、P2 之间，晶体两端面之间加有电压V  (以产生沿x3 方向 的电场，强度大小为E ) ；真空中波长为 入0  的光波经过起偏器 P1   ( x1  ) 后沿x3 方向入射至电光晶体，折 射后分为两束偏振方向(分别与快轴x1和慢轴x2 平行) 相互垂直的光波，x1轴与x1 轴、x2 轴与x2 轴均成45

夹角；电光晶体内沿x1  、x2 方向的折射率分别为

nx  = no  一 no3YE

〈|lnx   = no  + no3YE

其中no 为 o 光的折射率，Y 为常量，由晶体本身性质决定；两束光从电光晶体出射后经 1/4 波片，最终由检 偏器 P2   ( x2   ) 获取。

(1) 一束圆频率为O 的光入射到电光晶体左端面，电场强度为

(Ex  = E0 cosOt

求光通过电光晶体后的相位变化和光强变化；当出射光束之间的相位差为 π 时，电光晶体起到一个“1/2 波 片”的作用，此时所用的外加电压称为半波电压Vπ  ，求Vπ  。

(2) 设外加电信号电压为

V = Vm sin Om t         ( Vm  << Vπ  )

Om 是调制信号频率。若光波不经过 1/4 波片而直接进入检偏器 P2 ，求出射光束的光强透过率(出射光与入 射光强度之比) 与电信号电压的关系。只有在电光调制器的透过率与调制电压具有良好的线性关系时，电 信号转移到光信号后信号才不失真。求光线经过 1/4 波片和检偏器 P2 时，出射的光束光强透过率与电信号 电压的关系，并指出 1/4 波片所起的作用。

(3) 电光调制器的等效电路如图 8b 左半部所示：电光晶体置于两平行板电

极间，两平行板间的电光晶体可等效为由电阻R 和电容 C 的电阻- 电容并联

电路；V 为外加信号电压，Rm 为调制电源和导线的电阻，通常满足R>> Rm  。

试证明：在图 8b 中开关断开的情形下，当Om  >> (Rm C)一1 ，实际加载至电光

晶体上的电压Vc  满足 Vc << V ，即调制效率极低。

(4) 为了提高调制效率，添加(即将图 8b 中开关合上) 如图 8b 右半部所示的并联谐振回路(图中，RL 为 负载电阻，L 为线圈的电感) ，试证明Vc   如 V 。