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考向28 外接球、内切球、棱切球（十五大经典题型）
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考向28 外接球、内切球、棱切球
经典题型一：正方体、长方体模型
经典题型二： 正四面体模型
经典题型三：对棱相等模型
经典题型四：直棱柱模型
经典题型五：直棱锥模型
经典题型六：正棱锥与侧棱相等模型
经典题型七：侧棱为外接球直径模型
经典题型八：共斜边拼接模型
经典题型九：垂面模型
经典题型十：最值模型
经典题型十一：二面角模型
经典题型十二：坐标法模型
经典题型十三：圆锥圆柱圆台模型
经典题型十四：锥体内切球
经典题型十五：棱切球
（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
方法技巧一：正方体、长方体外接球
1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3．补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
方法技巧二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
方法技巧三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
方法技巧四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
方法技巧五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
方法技巧六：正棱锥与侧棱相等模型
1．正棱锥外接球半径： ．
2．侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
方法技巧七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
方法技巧八：共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．
方法技巧九：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
图1 图2
方法技巧十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
方法技巧十一：二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
方法技巧十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
方法技巧十三：圆锥圆柱圆台模型
1．球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．
2．球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．
3．球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
方法技巧十四：锥体内切球
方法：等体积法，即
方法技巧十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
经典题型一：正方体、长方体模型
1．（2022·贵州黔南·高三开学考试（理））自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为________．
2．（2022·四川省巴中中学模拟预测（文））在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为______．
3．（多选题）（2022·江苏·高三开学考试） 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（ ）
A． 异面直线与所成角的余弦值为
B．
C． 四面体的外接球体积为
D． 平面截正方体所得的截面是四边形
经典题型二： 正四面体模型
4．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.
5．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点、，若线段的最小值为，则（ ）
A．正四面体的棱长为6 B．正四面体的内切球的表面积为
C．正四面体的外接球的体积为 D．线段的最大值为
6．（多选题）（2022·山东济南·模拟预测）在正四面体中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．该四面体外接球的表面积为
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．如果点在上，则的最小值为
D．过线段一个三等分点且与垂直的平面截该四面体所得截面的周长为
7．（2022·湖北·高三阶段练习）有一个棱长为6的正四面体，其中有一半径为的球自由运动，正四面体内未被球扫过的体积为
经典题型三：对棱相等模型
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（多选题）（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）在三棱锥中，，，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球半径为
D．异面直线与所成角的余弦值为
11．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
经典题型四：直棱柱模型
12．（2022·江西省抚州市第一中学高三阶段练习（文））设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是___________.
13．（2022·全国·高三专题练习）球内接直三棱柱，则球表面积为___________.
经典题型五：直棱锥模型
14．（2022·福建省福州屏东中学高三开学考试）如图所示的三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球的表面积为______.
15．（2022·湖北·高三开学考试）在三棱锥中，底面，，，为的中点，球为三棱锥的外接球，是球上任一点，若三棱锥体积的最大值是，则球的体积为___________.
16．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）《九章算术.商功》中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·浙江·高三开学考试）已知四棱锥外接球表面积为，体积为平面，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·湖北·高三开学考试）在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
经典题型六：正棱锥与侧棱相等模型
19．（2022·湖北·高三开学考试）在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，则平面截该三棱锥的外接球所得截面圆的面积为______.
20．（2022·江西·高三阶段练习（文））在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
22．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）在三棱锥中，点在底面的射影是的外心，，则该三棱锥外接球的体积为___________.
经典题型七：侧棱为外接球直径模型
23．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且，，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
24．（2022•五华区校级期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，为球的直径，，则这个三棱锥的体积为
A． B． C． D．
25．（2022•抚顺校级月考）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且，，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的表面积为
A． B． C． D．
经典题型八：共斜边拼接模型
26．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）如图，在平面四边形中，，现将沿折起，并连接，使得平面平面，若所得三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
27．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
28．三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为
经典题型九：垂面模型
29．（2022·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的体积为___________，其外接球的表面积为___________.
30．（多选题）（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，平面 PAD⊥平面ABCD，E为PB中点，PA=AB=BC=2CD=2PD=2，则（ ）
A．PB⊥AD
B．CE//平面PAD
C．四棱锥P-ABCD的体积为
D．三棱锥PABD的外接球半径为
31．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为______
32．（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）如图，在三棱锥中，平面平面CBD，，点M在AC上，，过点M作三棱锥外接球的截面，则截面圆面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
33．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
经典题型十：最值模型
34．（2022·广东·高三阶段练习）已知四边形是边长为3的菱形，把沿折起，使得点D到达点P，则三棱锥体积最大时，其外接球半径为_______．
35．（2022·河南·高三开学考试（理））如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的体积为________．
36．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．60π B．45π C．30π D．20π
经典题型十一：二面角模型
37．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）在三棱锥中，△是边长为3的正三角形，且，，二面角的大小为，则此三棱锥外接球的体积为________．
38．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
经典题型十二：坐标法模型
39．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）直角中，是斜边上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时，四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
40．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在长方体中，，，，是棱上靠近的三等分点，分别为的中点，是底面内一动点，若直线与平面垂直，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
41．（2022·山西·一模（理））如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
经典题型十三：圆锥圆柱圆台模型
42．（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥P-ABE外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
43．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（ ）
A． B． C． D．
44．（2022·河南安阳·高三开学考试（理））在正四棱台中，，则（ ）
A．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
B．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
C．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
D．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
经典题型十四：锥体内切球
45．（2022·全国·高三专题练习）六氟化硫是一种无机化合物，化学式为，常温常压下为无色无臭无毒不燃的稳定气体，密度约为空气密度的5倍，是强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电力系统．六氟化硫分子结构呈正八面体排布（8个面都是正三角形）．若此正八面体的表面积为，则该正八面体的内切球的体积为______．
46．（多选题）（2022·湖南湘潭·高三开学考试）如图， 已知圆锥顶点为 ， 其轴截面 是边长为 6 的为正三角形， 为底面的圆心， 为圆 的一条直径， 球 内切于圆锥 （与圆锥底面和侧面均相切）， 点 是球 与圆锥侧面的交线上一动点，则（ ）
A．圆锥的表面积是 B．球的体积是
C．四棱锥体积的最大值为 D．的最大值为
47．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，则四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C．3 D．
48．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
49．（2022·全国·高三专题练习）在正三棱锥中，，分别是，的中点，且，，则正三棱锥的内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
50．（2022·全国·高三专题练习）若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为、，则（ ）
A． B．5 C． D．
经典题型十五：棱切球
51．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱的各棱长均为，以A为球心的球与棱相切，则球A于正三棱柱内的部分的体积为___________.
52．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥，球O与三棱锥的所有棱相切，则球O的表面积为_________．
53．（2022·全国·高三专题练习）正四面体P-ABC的棱长为4，若球O与正四面体的每一条棱都相切，则球O的表面积为（ ）
A．2π B．8π C． D．12π
54．（2022·江西南昌·高三阶段练习）已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
7．（2021·全国·高考真题（理））已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·天津·高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·全国·高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
经典题型一：正方体、长方体模型
1．【答案】
【解析】
设正方体的中心为，为棱的中点，连接，
则为矩形的对角线的交点，
则，
同理，到其余各棱的中点的距离也为，
故石凳所对应几何体的外接球的半径为20，其表面积为，
故答案为：
2．【答案】
【解析】因为平面，平面，
故,
又，，，
故 , ,
所以 ,即 ,
故AD,CD,BD两两垂直，故以AD,CD,BD为相邻的棱构造一个相邻三条棱长为2,2,4的长方体，如图：
则三棱锥的外接球即该长方体的外接球，外接球半径为 ，
所以三棱锥的外接球的体积为 ，
故答案为：
3．【答案】BC
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，
∴，，
∴，A错误；
∴，，，∴，B正确；
由题可知四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以外接球半径满足，，∴，C正确；
延长交延长线与，连接交于，延长交延长线于，连接交于，
则五边形为平面截正方体所得的截面，D错误.
故选：BC.
经典题型二： 正四面体模型
4．【答案】
【解析】设外接球半径为，外接球球心到底面的距离为，
则，所以，
两球相交形成形成的图形为圆，
如图，在中，，，
在中，，
所以交线所在圆的半径为，
所以交线长度为.
故答案为：
5．【答案】ABD
【解析】设这个四面体的棱长为，则此四面体可看作棱长为的正方体截得的，所以四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长，
设外接球的半径为，内切球的半径为，则
，所以，
四面体的高为，则等体积法可得
，
所以，
由题意得，
所以，解得
所以A正确，
所以，所以外接球的体积为，所以C错误，
因为内切球半径为，所以内切球的表面积为，所以B正确，
线段的最大值为，所以D正确，
故选：ABD
6．【答案】ACD
【解析】
正四面体中，，图中点为外接球的球心，半径为，为的外心，
所以，由于，
又因为，所以，解得，
因此外接球的表面积为，故A正确；
由于，且与平面所成的角为，
因此，故B错误；
因为于，所以;于，所以;
因此当与点重合时，最小，最小值为，故C正确；
在平面中过点作交于，在平面中过点作交于，连接,
又因为，所以平面，因此平面即为所求，
则的周长为，
同理在平面中过点作交于，在平面中过点作交于，
连接,可得平面，而平面即为所求，
，
则的周长为，故D正确.
故选：ACD.
7．【答案】
【解析】
如图设正四面体，当球运动到与平面、平面、平面相切时，可得此时球无法继续向上运动，
设切点分别为，则此时球面与正四面体顶点之间的部分球无法扫过，同理可得正四面体顶点均有相同的空间未被球扫过，
作与平面平行且与此时球相切的平面，易得棱锥为正四面体，设棱长为，作平面于，
则经过球心，易得，则，
则正四面体的体积，表面积，
设球半径为，则，即，解得，作，易得为中点，则，
设4个顶点处未被球扫过空间的体积为，球的体积为，可得；
当球沿着方向运动且始终与二面角相切时，设球与平面、平面的切点始终为，
过的大圆与交于，由垂径定理知，又，易得，则即为二面角的平面角，
易得未被球扫过的部分为柱体，且柱体的底面为扇形与四边形之间的部分，设中点为，连接，
易得，则即为二面角的平面角，又，
由余弦定理得，则，则，
则，，则，设扇形与四边形之间部分面积为，
扇形面积为，,则，
由上知，又，则柱体的高为，正四面体的六条棱未被球扫过空间均为相同的柱体，
设这部分体积为，则，则正四面体内未被球扫过的体积为.
故答案为：.
经典题型三：对棱相等模型
8．【答案】C
【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，
设长方体的长、宽、高分别为，
则，，，
解得，，．
所以三棱锥外接球的半径．
三棱锥外接球的体积．
故选：C
9．【答案】A
【解析】三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，
设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，
因此三棱锥外接球的直径为，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故选：A
10．【答案】ABD
【解析】将三棱锥补形为长方体如下：其中，，
所以，，
连接，
因为，，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又四边形为正方形，所以，
所以，A对；
长方体的体积，
三棱锥的体积，三棱锥的体积，三棱锥的体积，
三棱锥的体积，
所以三棱锥的体积，B对，
为长方体的外接球的直径，，
所以长方体的外接球的半径为，长方体的外接球也是三棱锥外接球，
所以三棱锥外接球的半径为；C错；
连接，交于，
因为，所以为异面直线与所成的角（或其补角），
由已知，，,
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，D对，
故选：ABD.
11．【答案】D
【解析】三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，
构造长方体使得面对角线分别为5，，，则长方体体对角线长等于三棱锥外接球直径，如图所示，
设长方体棱长分别为a，b，c，则，，，
则，即，外接球表面积.
故选：D
经典题型四：直棱柱模型
12．【答案】
【解析】由题意知底面外接圆的圆心为点，设外接圆的半径为，
三棱柱的外接球的半径为，
，，由余弦定理得，
由正弦定理得，
所以，过作垂直于底面的直线交中截面于点，则为外接球的球心，
由题意得：，所以外接球的表面积，
故答案为：
13．【答案】
【解析】设三角形ABC和三角形的外心分别为D，E．可知其外接球的球心O是线段DE的中点，连结OC，CD，设外接球的半径为R，三角形ABC的外接圆的半径r，可得，由正弦定理得，，
而在三角形OCD中，可知，
即，因此三棱柱外接球的表面积为．
故答案为：
经典题型五：直棱锥模型
14．【答案】
【解析】设中点为, 连接,
因为平面所以,所以.
因为平面所以平面,
所以平面，所以.
所以,
所以.
所以点就是三棱锥外接球的球心.
由题得.
所以三棱锥外接球的半径为.
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：.
15．【答案】
【解析】正中，为的中点，则，
而平面，平面，则，
而，、平面，则平面，
平面，所以，，
平面，平面，，
所以，的中点到点、、、的距离相等，
即三棱锥外接球球心为中点，
从而，点是三棱锥外接球球心，
设球的半径为，则，，
因为的外接圆圆心为的中点，设为，连接，
因为、分别为、的中点，则，故平面，如图，
则有，即到平面的距离为，
因此到平面距离的最大值为，
又，即有，解得，
所以，，所以球的体积为.
故答案为：.
16．【答案】D
【解析】由题意可知四面体如图所示，
则面体外接球的半径为，
所以四面体外接球的表面积为.
故选：D.
17．【答案】B
【解析】
以四边形ABCD的外接圆为底，PA为高，将四棱锥补形为一个已知球的内接圆柱.
设内接圆柱的底面半径为r、 R外接球的半径，,则，
，故，
，
所以
在中运用余弦定理与基本不等式得：
，
在中运用余弦定理与基本不等式得：，
上两式相加得：，
故有： ，
在中由正弦定理得：，
因此，.
故选：B
18．【答案】A
【解析】
，且，
∴，
在△PAC中，根据余弦定理得，
，
∴，
∴，
又，平面PAC，
∴PB⊥平面PAC，
故可将三棱锥B-APC补为直三棱柱，
则直三棱柱的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球，
设△PAC外接圆圆心为，△的外接圆圆心为，则直三棱柱的外接球球心为中点O，OA即为外接球的半径.
在△PAC中，根据正弦定理可得，∴，
∴，
∴外接球表面积为：．
故选：A．
经典题型六：正棱锥与侧棱相等模型
19．【答案】
【解析】由题意，平面截该三棱锥的外接球所得截面圆为的外接圆，其圆心为点，作，连接，作图如下：
因为三条棱两两垂直，所以在中，，
同理可得：，则为等边三角形，即圆心为中心，
则，易知，
则的面积，
故答案为：.
20．【答案】A
【解析】因为，由正三棱锥的性质知，PA，PB，PC两两垂直且相等．设，则．
根据，得，
解得．
设三棱锥外接球的半径为，则，所以．
故所求外接球的表面积为．
故选：A．
21．【答案】C
【解析】由题意，正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，
此三棱锥可补形为一个棱长为的正方体，
三棱锥的外接球与补成的棱长为的正方体的外接球为同一个球，
设正方体的外接球的半径为，可得，即，
所以此三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
22．【答案】
【解析】设的外心为,连接,则球心在
上，连接,
则为外接圆的半径r,
连接,设外接球的半径为R,
则,
在中，由正弦定理得
解得,即,
在中，
在,中,即
,解得：,
所以外接球的体积为：，
故答案为：
经典题型七：侧棱为外接球直径模型
23．【答案】A
【解析】根据题意作出图形：
设球心为，球的半径．
，，
平面，
三棱锥的体积可看成是两个小三棱锥和的体积和．
，
，
球的表面积为．
故选：A．
24．【解析】解：如图所示，由条件为直角三角形，则斜边的中点为的外接圆的圆心，
连接得平面，，
，，
平面，
三棱锥的体积为．
故选：．
25．【解析】解：设球心为，球的半径．
，，平面，
三棱锥的体积可看成是两个小三棱锥和的体积和．
，
，
球的表面积为．
故选：．
经典题型八：共斜边拼接模型
26．【答案】C
【解析】∵平面ACD⊥平面ABC，平面ABC∩平面BCD=AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥平面ACD，
又∵AD⊂平面ACD，∴AD⊥BC，
又∵AD⊥DC，BC∩DC=C，BC⊂平面BCD，DC⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD，
又∵BD⊂平面BCD，∴AD⊥BD，即为直角，
又∵为直角，
∴取的中点，连接OC，OD，
由直角三角形的斜边上的中线性质OA=OB=OC=OD，
可得为三棱锥外接球的球心，
由三棱锥外接球的表面积为，可得外接球的半径，
∴，
∵BC⊥平面ACD，为直角，
∴三棱锥的体积为
故选：C
27．【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知．
∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示．
∴外接球的半径．故．选C．
28．【解析】是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为．
经典题型九：垂面模型
29．【答案】
【解析】如图，取AC的中点E，连接DE，BE，在BE上取一点O，使得，
由，，所以，所以，
所以，，，.
因为E为AC的中点，所以，又平面平面ABC，
且平面平面，平面ACB，所以平面ACD，
所以，
又平面ACD，所以，所以，
所以O为三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的半径为，则三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：；
30．【答案】BCD
【解析】如图
取AB中点F，连接DF；作PG⊥AD于点，
因为平面 PAD⊥平面ABCD，平面平面，平面，
所以PG⊥面ABCD，
因为CD=1，AB=2，所以BF=1，
因为AB//CD，AB⊥BC，所以四边形BCDF为矩形，
所以DF=BC=2，所以AD=；因为PA=2，PD=1，所以∠APD=，所以AP⊥PD，
因为，
所以，，
在底面ABCD中，，
所以，
所以BG=2；
对于A，如果PB⊥AD，又因为PG⊥AD，所以AD⊥面PBG，所以AD⊥BG，而AB=BG=2，AG=，所以△ABG不是直角三角形，所以A错误；
对于B，取的中点连接，因为E为PB中点，所以∥，，因为，∥，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以CE//平面PAD，所以B正确，
对于C，底面积为；PG为高，所以，C正确；
对于D，BD=，取的中点，则为的外心，过作于，因为平面 PAD⊥平面ABD，平面平面，平面，所以平面，因为垂直平分，所以为的外心，所以为三棱锥PABD的外接球的球心，即平面ABD在外接球的大圆上，所以△ABD的外接圆半径即为外接球半径；，所以，所以，所以D正确.
故选：BCD
31．【答案】1
【解析】因为，，故是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为．
故答案为：1
32．【答案】A
【解析】由题意知，和为等边三角形，如图所示：
取BD中点为E，连接AE，CE，则，由平面平面CBD，
平面平面，故平面CBD，
，
易知球心O在平面BCD的投影为的外心，
过作于H，易得，，
则在中，，
所以外接球半径，连接OM，
因为，
所以H，O，M三点共线，
所以，，
当M为截面圆圆心时截面面积最小，
此时截面圆半径，
面积为.
故选：A.
33．【答案】C
【解析】平行四边形中，
，
，
，
沿折成直二面角，
平面平面
三棱锥的外接球的直径为，因为平行四边形，结合，
外接球的半径为1，
故表面积是．
故选：C．
经典题型十：最值模型
34．【答案】
【解析】取中点G，连接，如图，
当三棱锥体积最大时，平面平面，此时．
设，则，
所以，设，
则，由，可得，因为时，，
当时，，所以函数在上递增，在上递减，
所以时三棱锥的体积最大，此时，，
所以.
设E，F分别为与的外接圆圆心，圆的半径为，过点E作平面的垂线，
过点F作平面的垂线，则两垂线的交点O就是三棱锥的外接球球心，
由正弦定理可知，即，可求得，故四边形是正方形，，
所以外接球半径，
所以三棱锥的体积最大时，其外接球半径.
故答案为：
35．【答案】【解析】因为在三棱锥中，，
所以当三棱锥的体积最大时，平面与底面垂直，
过点作，连接，，因为，所以点为中点，
又平面平面，平面平面，，所以平面，
因为在梯形中，，，，
所以，，故，
又，所以，
在中，由余弦定理可得,
则，故,
因为，，所以，
又因为平面平面，，，
所以三棱锥的外接球的球心为中点，半径为，
所以外接球的体积为．
故答案为：.
36．【答案】A
【解析】当三棱锥的体积最大值时，平面平面，如图，
取的中点为，连接，则．
设分别为，外接圆的圆心，
为三棱锥的外接球的球心，
则在上，在上，且,
且平面，平面．
平面平面，平面平面，
平面，
平面，，同理
四边形为平行四边形
平面，平面
，即四边形为矩形．
外接球半径
外接球的表面积为
故选：A．
经典题型十一：二面角模型
37．【答案】
【解析】
根据题意，，所以，取中点为E，中点，
则，，，是正三角形，，
是二面角A﹣BD﹣C的平面角，，
，是的外心，
设是的外心，
设过与平面垂直的直线与过垂直于平面的直线交于点，
则是三棱锥外接球球心，
，，又，
由于平面MNO与MEO同时垂直于BD，所以共面，
在四边形中，
由，，， ，
可得：，
外接球半径为，
体积为．
故答案为：
38．【答案】C
【解析】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，
过这两点分别作平面、平面的垂线，交于点O，则O就是外接球的球心；
取中点E，连接，
因为，，
所以，
因为和是正三角形，
所以，
由得，
所以由，即球半径为，
所以球体积为．
故选：C.
经典题型十二：坐标法模型
39．【答案】D
【解析】解：根据题意，图1的直角三角形沿将翻折到使二面角为直二面角，
所以，过点作交延长线于，过点作交于，
再作，使得与交于点，
所以，由二面角为直二面角可得，
设，即，则，
因为，所以，
所以，在中，，
在中，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，，，
在图1中，由于，即为角的角平分线，
所以，即，
所以，所以，，
由题知，两两垂直，故以为坐标原点，以的方向为正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，设四面体的外接球的球心为，
则，
即，即，
解得，，即，
所以四面体的外接球的半径为 ，
所以四面体的外接球的表面积为．
故选：D
40．【答案】B
【解析】以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，，，，
平面，，解得：，
与重合，
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
外接球，外接球表面积.
故选：B.
41．【答案】B
【解析】解：依题意，，，平面，所以平面，又，如图建立空间直角坐标系，则、、、、、，依题意为直角三角形，所以的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为，半径为，则，即，解得，所以，所以外接球的体积；
故选：B
经典题型十三：圆锥圆柱圆台模型
42．【答案】B
【解析】由题，由圆的性质，为直角三角形，，
如图所示，设外接球半径为R，底面圆心为Q，外接球球心为O，
由外接球的定义，，易得O在线段PQ上，
又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径，
∵，则，解得，
∴外接球表面积为.
故选：B．
43．【答案】B
【解析】设圆台的高和母线分别为，球心到圆台上底面的距离为，
根据圆台的侧面积公式可得，
因此圆台的高，
当球心在圆台内部时，则，解得，故此时外接球半径为，
当球心在圆台外部时，则，，解得不符合要求，舍去，
故球半径为
故选：B
44．【答案】B
【解析】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，是正四棱台的高．
，，
在直角梯形中，，
棱台的体积为，
由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接，，，
若在线段上（如图1），由得，因为，，所以方程无实数解，
因此在的延长线上（如图2），即在平面下方，
因此有，解得，
所以球表面积为．
故选：B．
图1 图2
经典题型十四：锥体内切球
45．【答案】
【解析】设该正八面体的棱长为a，则，解得a＝4．
故内切球圆心O到各顶点的距离为．
故在正三棱锥O－ABC中，，
故．
由正八面体的结构特征可得的长为内切球半径.
所以该正八面体的内切球体积为．
故答案为：.
46．【答案】BCD
【解析】依题意，动点Q的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为，连接，如图，
正内切圆即为球O的截面大圆，球心O、截面圆圆心都在线段上，连，
，则球O的半径，显然，，
，，
对于A，圆锥的表面积是，A错误；
对于B，球O的体积是，B正确；
对于C，因Q到平面AEBF的距离与截面圆圆心到平面的距离相等，均为，
则当四边形AEBF的面积最大时，四棱锥的体积最大，
，当且仅当，即时取“=”，
则四棱锥体积的最大值为，C正确；
对于D，因，则有，即，因此，
由均值不等式得：，即，当且仅当时取“=”，D正确.
故选：BCD
47．【答案】B
【解析】设四棱锥的外接球与内切球的半径分别为.
因为，
四棱锥的表面积，
所以，
因为两两垂直，四棱锥可补形为长方体，所以，
所以四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为.
故选：B.
48．【答案】D
【解析】连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于，
在三棱锥中，，，
三棱锥是正四面体，是的中心，平面，
三棱锥的内切球的表面积为，
，解得球的半径，
设，则，，
，
，，，
解得，，
此三棱锥的体积为.
故选：D.
49．【答案】D
【解析】设点是点在底面上的射影，则平面，平面，
所以，由三棱锥为正三棱锥可得，点为底面的中心，
所以，又，
所以平面，平面，
所以，
因为，分别是，的中点，
所以，因为，
所以，又，
所以平面，又，平面，
所以，，又三棱锥是正三棱锥，
所以三条侧棱两两互相垂直，因为，
所以，
所以，
所以该三棱锥的表面积，
设内切球的半径为，又该三棱锥的体积，
所以，
所以此内切球的表面积为.
故选：D.
50．【答案】A
【解析】由于三棱柱的外接球和内切球的球心相同，如图，，，
因为为正三角形，为的中心，
所以，
所以，
在中，，
所以，
所以，，
所以，
故选：A
经典题型十五：棱切球
51．【答案】
【解析】如图，
正三棱柱的各棱长均为，
以A为球心与棱相切的球的半径为，
则以平面为截面的上半球的体积为.
又，
球A位于正三棱柱内的部分的体积为.
故答案为：.
52．【答案】
【解析】取等边△ABC的中心E，连接SE，则SE⊥平面ABC，
连接AE并延长，交BC于点D，则D为BC中点，且AD⊥BC，
在SE上找到棱切球的球心O，连接OD，则OD即为棱切球的半径，
过点O作OF⊥SA于点F，则OF也是棱切球的半径，设，
因为，所以求得，
由勾股定理得：，且∠ASE=30°，设OE=h，
，SO=3-h，，
由题意得：，解得：或，
当时，，此时球O的表面积为；
当棱切球的半径最大时，切点为A，B，C，由于∠ASE=30°，，
可求得最大半径，
而当时，，
显然不成立，故舍去，
综上：球O的表面积为
故答案为：
53．【答案】B
【解析】将正四面体补成一个正方体球与正四面体的棱都相切．
则球与正方体的内切球，设正方体边长为，
故选：B.
54．【答案】C
【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，
连接，则球的球心在的中点上，设球切棱于，切棱于，
则、分别为所在棱的中点，
由题意，①
因为，，
又，所以，
所以，解得，②
联立①②可得，
所以球的半径为，
所以球O的表面积为，
故选：C.
1．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）参考答案
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
2．【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
3．【答案】C
【解析】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又
则
当且仅当即时等号成立，
故选：C
4．【答案】B
【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
5．【答案】D
【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.
故选：D.
6．【答案】C
【解析】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
7．【答案】A
【解析】，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以.
故选：A.
8．【答案】C
【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即，
所以，这个球的表面积为.
故选：C.
9．【答案】A
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积.
故选：A
考向28 外接球、内切球、棱切球
经典题型一：正方体、长方体模型
经典题型二： 正四面体模型
经典题型三：对棱相等模型
经典题型四：直棱柱模型
经典题型五：直棱锥模型
经典题型六：正棱锥与侧棱相等模型
经典题型七：侧棱为外接球直径模型
经典题型八：共斜边拼接模型
经典题型九：垂面模型
经典题型十：最值模型
经典题型十一：二面角模型
经典题型十二：坐标法模型
经典题型十三：圆锥圆柱圆台模型
经典题型十四：锥体内切球
经典题型十五：棱切球
（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
方法技巧一：正方体、长方体外接球
1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3．补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
方法技巧二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
方法技巧三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
方法技巧四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
方法技巧五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
方法技巧六：正棱锥与侧棱相等模型
1．正棱锥外接球半径： ．
2．侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
方法技巧七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
方法技巧八：共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．
方法技巧九：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
图1 图2
方法技巧十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
方法技巧十一：二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
方法技巧十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
方法技巧十三：圆锥圆柱圆台模型
1．球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．
2．球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．
3．球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
方法技巧十四：锥体内切球
方法：等体积法，即
方法技巧十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
经典题型一：正方体、长方体模型
1．（2022·贵州黔南·高三开学考试（理））自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为________．
2．（2022·四川省巴中中学模拟预测（文））在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为______．
3．（多选题）（2022·江苏·高三开学考试） 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（ ）
A． 异面直线与所成角的余弦值为
B．
C． 四面体的外接球体积为
D． 平面截正方体所得的截面是四边形
经典题型二： 正四面体模型
4．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.
5．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点、，若线段的最小值为，则（ ）
A．正四面体的棱长为6 B．正四面体的内切球的表面积为
C．正四面体的外接球的体积为 D．线段的最大值为
6．（多选题）（2022·山东济南·模拟预测）在正四面体中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．该四面体外接球的表面积为
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．如果点在上，则的最小值为
D．过线段一个三等分点且与垂直的平面截该四面体所得截面的周长为
7．（2022·湖北·高三阶段练习）有一个棱长为6的正四面体，其中有一半径为的球自由运动，正四面体内未被球扫过的体积为
经典题型三：对棱相等模型
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（多选题）（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）在三棱锥中，，，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球半径为
D．异面直线与所成角的余弦值为
11．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
经典题型四：直棱柱模型
12．（2022·江西省抚州市第一中学高三阶段练习（文））设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是___________.
13．（2022·全国·高三专题练习）球内接直三棱柱，则球表面积为___________.
经典题型五：直棱锥模型
14．（2022·福建省福州屏东中学高三开学考试）如图所示的三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球的表面积为______.
15．（2022·湖北·高三开学考试）在三棱锥中，底面，，，为的中点，球为三棱锥的外接球，是球上任一点，若三棱锥体积的最大值是，则球的体积为___________.
16．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）《九章算术.商功》中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·浙江·高三开学考试）已知四棱锥外接球表面积为，体积为平面，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·湖北·高三开学考试）在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
经典题型六：正棱锥与侧棱相等模型
19．（2022·湖北·高三开学考试）在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，则平面截该三棱锥的外接球所得截面圆的面积为______.
20．（2022·江西·高三阶段练习（文））在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
22．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）在三棱锥中，点在底面的射影是的外心，，则该三棱锥外接球的体积为___________.
经典题型七：侧棱为外接球直径模型
23．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且，，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
24．（2022•五华区校级期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，为球的直径，，则这个三棱锥的体积为
A． B． C． D．
25．（2022•抚顺校级月考）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且，，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的表面积为
A． B． C． D．
经典题型八：共斜边拼接模型
26．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）如图，在平面四边形中，，现将沿折起，并连接，使得平面平面，若所得三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
27．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
28．三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为
经典题型九：垂面模型
29．（2022·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的体积为___________，其外接球的表面积为___________.
30．（多选题）（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，平面 PAD⊥平面ABCD，E为PB中点，PA=AB=BC=2CD=2PD=2，则（ ）
A．PB⊥AD
B．CE//平面PAD
C．四棱锥P-ABCD的体积为
D．三棱锥PABD的外接球半径为
31．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为______
32．（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）如图，在三棱锥中，平面平面CBD，，点M在AC上，，过点M作三棱锥外接球的截面，则截面圆面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
33．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
经典题型十：最值模型
34．（2022·广东·高三阶段练习）已知四边形是边长为3的菱形，把沿折起，使得点D到达点P，则三棱锥体积最大时，其外接球半径为_______．
35．（2022·河南·高三开学考试（理））如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的体积为________．
36．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．60π B．45π C．30π D．20π
经典题型十一：二面角模型
37．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）在三棱锥中，△是边长为3的正三角形，且，，二面角的大小为，则此三棱锥外接球的体积为________．
38．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
经典题型十二：坐标法模型
39．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）直角中，是斜边上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时，四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
40．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在长方体中，，，，是棱上靠近的三等分点，分别为的中点，是底面内一动点，若直线与平面垂直，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
41．（2022·山西·一模（理））如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
经典题型十三：圆锥圆柱圆台模型
42．（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥P-ABE外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
43．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（ ）
A． B． C． D．
44．（2022·河南安阳·高三开学考试（理））在正四棱台中，，则（ ）
A．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
B．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
C．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
D．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
经典题型十四：锥体内切球
45．（2022·全国·高三专题练习）六氟化硫是一种无机化合物，化学式为，常温常压下为无色无臭无毒不燃的稳定气体，密度约为空气密度的5倍，是强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电力系统．六氟化硫分子结构呈正八面体排布（8个面都是正三角形）．若此正八面体的表面积为，则该正八面体的内切球的体积为______．
46．（多选题）（2022·湖南湘潭·高三开学考试）如图， 已知圆锥顶点为 ， 其轴截面 是边长为 6 的为正三角形， 为底面的圆心， 为圆 的一条直径， 球 内切于圆锥 （与圆锥底面和侧面均相切）， 点 是球 与圆锥侧面的交线上一动点，则（ ）
A．圆锥的表面积是 B．球的体积是
C．四棱锥体积的最大值为 D．的最大值为
47．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，则四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C．3 D．
48．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
49．（2022·全国·高三专题练习）在正三棱锥中，，分别是，的中点，且，，则正三棱锥的内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
50．（2022·全国·高三专题练习）若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为、，则（ ）
A． B．5 C． D．
经典题型十五：棱切球
51．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱的各棱长均为，以A为球心的球与棱相切，则球A于正三棱柱内的部分的体积为___________.
52．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥，球O与三棱锥的所有棱相切，则球O的表面积为_________．
53．（2022·全国·高三专题练习）正四面体P-ABC的棱长为4，若球O与正四面体的每一条棱都相切，则球O的表面积为（ ）
A．2π B．8π C． D．12π
54．（2022·江西南昌·高三阶段练习）已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
7．（2021·全国·高考真题（理））已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·天津·高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·全国·高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
经典题型一：正方体、长方体模型
1．【答案】
【解析】
设正方体的中心为，为棱的中点，连接，
则为矩形的对角线的交点，
则，
同理，到其余各棱的中点的距离也为，
故石凳所对应几何体的外接球的半径为20，其表面积为，
故答案为：
2．【答案】
【解析】因为平面，平面，
故,
又，，，
故 , ,
所以 ,即 ,
故AD,CD,BD两两垂直，故以AD,CD,BD为相邻的棱构造一个相邻三条棱长为2,2,4的长方体，如图：
则三棱锥的外接球即该长方体的外接球，外接球半径为 ，
所以三棱锥的外接球的体积为 ，
故答案为：
3．【答案】BC
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，
∴，，
∴，A错误；
∴，，，∴，B正确；
由题可知四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以外接球半径满足，，∴，C正确；
延长交延长线与，连接交于，延长交延长线于，连接交于，
则五边形为平面截正方体所得的截面，D错误.
故选：BC.
经典题型二： 正四面体模型
4．【答案】
【解析】设外接球半径为，外接球球心到底面的距离为，
则，所以，
两球相交形成形成的图形为圆，
如图，在中，，，
在中，，
所以交线所在圆的半径为，
所以交线长度为.
故答案为：
5．【答案】ABD
【解析】设这个四面体的棱长为，则此四面体可看作棱长为的正方体截得的，所以四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长，
设外接球的半径为，内切球的半径为，则
，所以，
四面体的高为，则等体积法可得
，
所以，
由题意得，
所以，解得
所以A正确，
所以，所以外接球的体积为，所以C错误，
因为内切球半径为，所以内切球的表面积为，所以B正确，
线段的最大值为，所以D正确，
故选：ABD
6．【答案】ACD
【解析】
正四面体中，，图中点为外接球的球心，半径为，为的外心，
所以，由于，
又因为，所以，解得，
因此外接球的表面积为，故A正确；
由于，且与平面所成的角为，
因此，故B错误；
因为于，所以;于，所以;
因此当与点重合时，最小，最小值为，故C正确；
在平面中过点作交于，在平面中过点作交于，连接,
又因为，所以平面，因此平面即为所求，
则的周长为，
同理在平面中过点作交于，在平面中过点作交于，
连接,可得平面，而平面即为所求，
，
则的周长为，故D正确.
故选：ACD.
7．【答案】
【解析】
如图设正四面体，当球运动到与平面、平面、平面相切时，可得此时球无法继续向上运动，
设切点分别为，则此时球面与正四面体顶点之间的部分球无法扫过，同理可得正四面体顶点均有相同的空间未被球扫过，
作与平面平行且与此时球相切的平面，易得棱锥为正四面体，设棱长为，作平面于，
则经过球心，易得，则，
则正四面体的体积，表面积，
设球半径为，则，即，解得，作，易得为中点，则，
设4个顶点处未被球扫过空间的体积为，球的体积为，可得；
当球沿着方向运动且始终与二面角相切时，设球与平面、平面的切点始终为，
过的大圆与交于，由垂径定理知，又，易得，则即为二面角的平面角，
易得未被球扫过的部分为柱体，且柱体的底面为扇形与四边形之间的部分，设中点为，连接，
易得，则即为二面角的平面角，又，
由余弦定理得，则，则，
则，，则，设扇形与四边形之间部分面积为，
扇形面积为，,则，
由上知，又，则柱体的高为，正四面体的六条棱未被球扫过空间均为相同的柱体，
设这部分体积为，则，则正四面体内未被球扫过的体积为.
故答案为：.
经典题型三：对棱相等模型
8．【答案】C
【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，
设长方体的长、宽、高分别为，
则，，，
解得，，．
所以三棱锥外接球的半径．
三棱锥外接球的体积．
故选：C
9．【答案】A
【解析】三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，
设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，
因此三棱锥外接球的直径为，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故选：A
10．【答案】ABD
【解析】将三棱锥补形为长方体如下：其中，，
所以，，
连接，
因为，，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又四边形为正方形，所以，
所以，A对；
长方体的体积，
三棱锥的体积，三棱锥的体积，三棱锥的体积，
三棱锥的体积，
所以三棱锥的体积，B对，
为长方体的外接球的直径，，
所以长方体的外接球的半径为，长方体的外接球也是三棱锥外接球，
所以三棱锥外接球的半径为；C错；
连接，交于，
因为，所以为异面直线与所成的角（或其补角），
由已知，，,
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，D对，
故选：ABD.
11．【答案】D
【解析】三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，
构造长方体使得面对角线分别为5，，，则长方体体对角线长等于三棱锥外接球直径，如图所示，
设长方体棱长分别为a，b，c，则，，，
则，即，外接球表面积.
故选：D
经典题型四：直棱柱模型
12．【答案】
【解析】由题意知底面外接圆的圆心为点，设外接圆的半径为，
三棱柱的外接球的半径为，
，，由余弦定理得，
由正弦定理得，
所以，过作垂直于底面的直线交中截面于点，则为外接球的球心，
由题意得：，所以外接球的表面积，
故答案为：
13．【答案】
【解析】设三角形ABC和三角形的外心分别为D，E．可知其外接球的球心O是线段DE的中点，连结OC，CD，设外接球的半径为R，三角形ABC的外接圆的半径r，可得，由正弦定理得，，
而在三角形OCD中，可知，
即，因此三棱柱外接球的表面积为．
故答案为：
经典题型五：直棱锥模型
14．【答案】
【解析】设中点为, 连接,
因为平面所以,所以.
因为平面所以平面,
所以平面，所以.
所以,
所以.
所以点就是三棱锥外接球的球心.
由题得.
所以三棱锥外接球的半径为.
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：.
15．【答案】
【解析】正中，为的中点，则，
而平面，平面，则，
而，、平面，则平面，
平面，所以，，
平面，平面，，
所以，的中点到点、、、的距离相等，
即三棱锥外接球球心为中点，
从而，点是三棱锥外接球球心，
设球的半径为，则，，
因为的外接圆圆心为的中点，设为，连接，
因为、分别为、的中点，则，故平面，如图，
则有，即到平面的距离为，
因此到平面距离的最大值为，
又，即有，解得，
所以，，所以球的体积为.
故答案为：.
16．【答案】D
【解析】由题意可知四面体如图所示，
则面体外接球的半径为，
所以四面体外接球的表面积为.
故选：D.
17．【答案】B
【解析】
以四边形ABCD的外接圆为底，PA为高，将四棱锥补形为一个已知球的内接圆柱.
设内接圆柱的底面半径为r、 R外接球的半径，,则，
，故，
，
所以
在中运用余弦定理与基本不等式得：
，
在中运用余弦定理与基本不等式得：，
上两式相加得：，
故有： ，
在中由正弦定理得：，
因此，.
故选：B
18．【答案】A
【解析】
，且，
∴，
在△PAC中，根据余弦定理得，
，
∴，
∴，
又，平面PAC，
∴PB⊥平面PAC，
故可将三棱锥B-APC补为直三棱柱，
则直三棱柱的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球，
设△PAC外接圆圆心为，△的外接圆圆心为，则直三棱柱的外接球球心为中点O，OA即为外接球的半径.
在△PAC中，根据正弦定理可得，∴，
∴，
∴外接球表面积为：．
故选：A．
经典题型六：正棱锥与侧棱相等模型
19．【答案】
【解析】由题意，平面截该三棱锥的外接球所得截面圆为的外接圆，其圆心为点，作，连接，作图如下：
因为三条棱两两垂直，所以在中，，
同理可得：，则为等边三角形，即圆心为中心，
则，易知，
则的面积，
故答案为：.
20．【答案】A
【解析】因为，由正三棱锥的性质知，PA，PB，PC两两垂直且相等．设，则．
根据，得，
解得．
设三棱锥外接球的半径为，则，所以．
故所求外接球的表面积为．
故选：A．
21．【答案】C
【解析】由题意，正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，
此三棱锥可补形为一个棱长为的正方体，
三棱锥的外接球与补成的棱长为的正方体的外接球为同一个球，
设正方体的外接球的半径为，可得，即，
所以此三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
22．【答案】
【解析】设的外心为,连接,则球心在
上，连接,
则为外接圆的半径r,
连接,设外接球的半径为R,
则,
在中，由正弦定理得
解得,即,
在中，
在,中,即
,解得：,
所以外接球的体积为：，
故答案为：
经典题型七：侧棱为外接球直径模型
23．【答案】A
【解析】根据题意作出图形：
设球心为，球的半径．
，，
平面，
三棱锥的体积可看成是两个小三棱锥和的体积和．
，
，
球的表面积为．
故选：A．
24．【解析】解：如图所示，由条件为直角三角形，则斜边的中点为的外接圆的圆心，
连接得平面，，
，，
平面，
三棱锥的体积为．
故选：．
25．【解析】解：设球心为，球的半径．
，，平面，
三棱锥的体积可看成是两个小三棱锥和的体积和．
，
，
球的表面积为．
故选：．
经典题型八：共斜边拼接模型
26．【答案】C
【解析】∵平面ACD⊥平面ABC，平面ABC∩平面BCD=AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥平面ACD，
又∵AD⊂平面ACD，∴AD⊥BC，
又∵AD⊥DC，BC∩DC=C，BC⊂平面BCD，DC⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD，
又∵BD⊂平面BCD，∴AD⊥BD，即为直角，
又∵为直角，
∴取的中点，连接OC，OD，
由直角三角形的斜边上的中线性质OA=OB=OC=OD，
可得为三棱锥外接球的球心，
由三棱锥外接球的表面积为，可得外接球的半径，
∴，
∵BC⊥平面ACD，为直角，
∴三棱锥的体积为
故选：C
27．【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知．
∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示．
∴外接球的半径．故．选C．
28．【解析】是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为．
经典题型九：垂面模型
29．【答案】
【解析】如图，取AC的中点E，连接DE，BE，在BE上取一点O，使得，
由，，所以，所以，
所以，，，.
因为E为AC的中点，所以，又平面平面ABC，
且平面平面，平面ACB，所以平面ACD，
所以，
又平面ACD，所以，所以，
所以O为三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的半径为，则三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：；
30．【答案】BCD
【解析】如图
取AB中点F，连接DF；作PG⊥AD于点，
因为平面 PAD⊥平面ABCD，平面平面，平面，
所以PG⊥面ABCD，
因为CD=1，AB=2，所以BF=1，
因为AB//CD，AB⊥BC，所以四边形BCDF为矩形，
所以DF=BC=2，所以AD=；因为PA=2，PD=1，所以∠APD=，所以AP⊥PD，
因为，
所以，，
在底面ABCD中，，
所以，
所以BG=2；
对于A，如果PB⊥AD，又因为PG⊥AD，所以AD⊥面PBG，所以AD⊥BG，而AB=BG=2，AG=，所以△ABG不是直角三角形，所以A错误；
对于B，取的中点连接，因为E为PB中点，所以∥，，因为，∥，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以CE//平面PAD，所以B正确，
对于C，底面积为；PG为高，所以，C正确；
对于D，BD=，取的中点，则为的外心，过作于，因为平面 PAD⊥平面ABD，平面平面，平面，所以平面，因为垂直平分，所以为的外心，所以为三棱锥PABD的外接球的球心，即平面ABD在外接球的大圆上，所以△ABD的外接圆半径即为外接球半径；，所以，所以，所以D正确.
故选：BCD
31．【答案】1
【解析】因为，，故是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为．
故答案为：1
32．【答案】A
【解析】由题意知，和为等边三角形，如图所示：
取BD中点为E，连接AE，CE，则，由平面平面CBD，
平面平面，故平面CBD，
，
易知球心O在平面BCD的投影为的外心，
过作于H，易得，，
则在中，，
所以外接球半径，连接OM，
因为，
所以H，O，M三点共线，
所以，，
当M为截面圆圆心时截面面积最小，
此时截面圆半径，
面积为.
故选：A.
33．【答案】C
【解析】平行四边形中，
，
，
，
沿折成直二面角，
平面平面
三棱锥的外接球的直径为，因为平行四边形，结合，
外接球的半径为1，
故表面积是．
故选：C．
经典题型十：最值模型
34．【答案】
【解析】取中点G，连接，如图，
当三棱锥体积最大时，平面平面，此时．
设，则，
所以，设，
则，由，可得，因为时，，
当时，，所以函数在上递增，在上递减，
所以时三棱锥的体积最大，此时，，
所以.
设E，F分别为与的外接圆圆心，圆的半径为，过点E作平面的垂线，
过点F作平面的垂线，则两垂线的交点O就是三棱锥的外接球球心，
由正弦定理可知，即，可求得，故四边形是正方形，，
所以外接球半径，
所以三棱锥的体积最大时，其外接球半径.
故答案为：
35．【答案】【解析】因为在三棱锥中，，
所以当三棱锥的体积最大时，平面与底面垂直，
过点作，连接，，因为，所以点为中点，
又平面平面，平面平面，，所以平面，
因为在梯形中，，，，
所以，，故，
又，所以，
在中，由余弦定理可得,
则，故,
因为，，所以，
又因为平面平面，，，
所以三棱锥的外接球的球心为中点，半径为，
所以外接球的体积为．
故答案为：.
36．【答案】A
【解析】当三棱锥的体积最大值时，平面平面，如图，
取的中点为，连接，则．
设分别为，外接圆的圆心，
为三棱锥的外接球的球心，
则在上，在上，且,
且平面，平面．
平面平面，平面平面，
平面，
平面，，同理
四边形为平行四边形
平面，平面
，即四边形为矩形．
外接球半径
外接球的表面积为
故选：A．
经典题型十一：二面角模型
37．【答案】
【解析】
根据题意，，所以，取中点为E，中点，
则，，，是正三角形，，
是二面角A﹣BD﹣C的平面角，，
，是的外心，
设是的外心，
设过与平面垂直的直线与过垂直于平面的直线交于点，
则是三棱锥外接球球心，
，，又，
由于平面MNO与MEO同时垂直于BD，所以共面，
在四边形中，
由，，， ，
可得：，
外接球半径为，
体积为．
故答案为：
38．【答案】C
【解析】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，
过这两点分别作平面、平面的垂线，交于点O，则O就是外接球的球心；
取中点E，连接，
因为，，
所以，
因为和是正三角形，
所以，
由得，
所以由，即球半径为，
所以球体积为．
故选：C.
经典题型十二：坐标法模型
39．【答案】D
【解析】解：根据题意，图1的直角三角形沿将翻折到使二面角为直二面角，
所以，过点作交延长线于，过点作交于，
再作，使得与交于点，
所以，由二面角为直二面角可得，
设，即，则，
因为，所以，
所以，在中，，
在中，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，，，
在图1中，由于，即为角的角平分线，
所以，即，
所以，所以，，
由题知，两两垂直，故以为坐标原点，以的方向为正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，设四面体的外接球的球心为，
则，
即，即，
解得，，即，
所以四面体的外接球的半径为 ，
所以四面体的外接球的表面积为．
故选：D
40．【答案】B
【解析】以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，，，，
平面，，解得：，
与重合，
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
外接球，外接球表面积.
故选：B.
41．【答案】B
【解析】解：依题意，，，平面，所以平面，又，如图建立空间直角坐标系，则、、、、、，依题意为直角三角形，所以的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为，半径为，则，即，解得，所以，所以外接球的体积；
故选：B
经典题型十三：圆锥圆柱圆台模型
42．【答案】B
【解析】由题，由圆的性质，为直角三角形，，
如图所示，设外接球半径为R，底面圆心为Q，外接球球心为O，
由外接球的定义，，易得O在线段PQ上，
又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径，
∵，则，解得，
∴外接球表面积为.
故选：B．
43．【答案】B
【解析】设圆台的高和母线分别为，球心到圆台上底面的距离为，
根据圆台的侧面积公式可得，
因此圆台的高，
当球心在圆台内部时，则，解得，故此时外接球半径为，
当球心在圆台外部时，则，，解得不符合要求，舍去，
故球半径为
故选：B
44．【答案】B
【解析】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，是正四棱台的高．
，，
在直角梯形中，，
棱台的体积为，
由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接，，，
若在线段上（如图1），由得，因为，，所以方程无实数解，
因此在的延长线上（如图2），即在平面下方，
因此有，解得，
所以球表面积为．
故选：B．
图1 图2
经典题型十四：锥体内切球
45．【答案】
【解析】设该正八面体的棱长为a，则，解得a＝4．
故内切球圆心O到各顶点的距离为．
故在正三棱锥O－ABC中，，
故．
由正八面体的结构特征可得的长为内切球半径.
所以该正八面体的内切球体积为．
故答案为：.
46．【答案】BCD
【解析】依题意，动点Q的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为，连接，如图，
正内切圆即为球O的截面大圆，球心O、截面圆圆心都在线段上，连，
，则球O的半径，显然，，
，，
对于A，圆锥的表面积是，A错误；
对于B，球O的体积是，B正确；
对于C，因Q到平面AEBF的距离与截面圆圆心到平面的距离相等，均为，
则当四边形AEBF的面积最大时，四棱锥的体积最大，
，当且仅当，即时取“=”，
则四棱锥体积的最大值为，C正确；
对于D，因，则有，即，因此，
由均值不等式得：，即，当且仅当时取“=”，D正确.
故选：BCD
47．【答案】B
【解析】设四棱锥的外接球与内切球的半径分别为.
因为，
四棱锥的表面积，
所以，
因为两两垂直，四棱锥可补形为长方体，所以，
所以四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为.
故选：B.
48．【答案】D
【解析】连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于，
在三棱锥中，，，
三棱锥是正四面体，是的中心，平面，
三棱锥的内切球的表面积为，
，解得球的半径，
设，则，，
，
，，，
解得，，
此三棱锥的体积为.
故选：D.
49．【答案】D
【解析】设点是点在底面上的射影，则平面，平面，
所以，由三棱锥为正三棱锥可得，点为底面的中心，
所以，又，
所以平面，平面，
所以，
因为，分别是，的中点，
所以，因为，
所以，又，
所以平面，又，平面，
所以，，又三棱锥是正三棱锥，
所以三条侧棱两两互相垂直，因为，
所以，
所以，
所以该三棱锥的表面积，
设内切球的半径为，又该三棱锥的体积，
所以，
所以此内切球的表面积为.
故选：D.
50．【答案】A
【解析】由于三棱柱的外接球和内切球的球心相同，如图，，，
因为为正三角形，为的中心，
所以，
所以，
在中，，
所以，
所以，，
所以，
故选：A
经典题型十五：棱切球
51．【答案】
【解析】如图，
正三棱柱的各棱长均为，
以A为球心与棱相切的球的半径为，
则以平面为截面的上半球的体积为.
又，
球A位于正三棱柱内的部分的体积为.
故答案为：.
52．【答案】
【解析】取等边△ABC的中心E，连接SE，则SE⊥平面ABC，
连接AE并延长，交BC于点D，则D为BC中点，且AD⊥BC，
在SE上找到棱切球的球心O，连接OD，则OD即为棱切球的半径，
过点O作OF⊥SA于点F，则OF也是棱切球的半径，设，
因为，所以求得，
由勾股定理得：，且∠ASE=30°，设OE=h，
，SO=3-h，，
由题意得：，解得：或，
当时，，此时球O的表面积为；
当棱切球的半径最大时，切点为A，B，C，由于∠ASE=30°，，
可求得最大半径，
而当时，，
显然不成立，故舍去，
综上：球O的表面积为
故答案为：
53．【答案】B
【解析】将正四面体补成一个正方体球与正四面体的棱都相切．
则球与正方体的内切球，设正方体边长为，
故选：B.
54．【答案】C
【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，
连接，则球的球心在的中点上，设球切棱于，切棱于，
则、分别为所在棱的中点，
由题意，①
因为，，
又，所以，
所以，解得，②
联立①②可得，
所以球的半径为，
所以球O的表面积为，
故选：C.
1．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）参考答案
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
2．【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
3．【答案】C
【解析】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又
则
当且仅当即时等号成立，
故选：C
4．【答案】B
【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
5．【答案】D
【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.
故选：D.
6．【答案】C
【解析】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
7．【答案】A
【解析】，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以.
故选：A.
8．【答案】C
【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即，
所以，这个球的表面积为.
故选：C.
9．【答案】A
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积.
故选：A
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