广西南宁市横州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年广西南宁市横州市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 抛物线的顶点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列方程中不一定是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母是中心对称图形的是(    )

A. 由 B.  C.  D. 人

4. 有二次函数，则的值是(    )

A.  B.  C.  D. 或

5. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知一元二次方程的两根分别为，，根据一元二次方程的根与系数的关系可得为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如果将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 我市某公司在年营业额为万元，到年营业额为万元，设该公司年营业额的平均增长率为，根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，将绕点旋转得到，若，，，，则下列说法：点的对应点是点；；；；旋转中心是点；旋转角为其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 二次函数的图象如图所示，当时自变量的取值范围是(    )

A.
B.
C. 或
D.

11. 如图，边长为的等边三角形中，是对称轴上的动点，连接，将线段绕点逆时旋转等到，连接，则在点运动过程中，的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是(    )

A.  B.
C.  D. 以上都不对

二、填空题（本大题共6小题，共12分）

13. 一元二次方程的常数项是______．
14. 已知点与点关于原点对称，则______．
15. 方程的根的情况是______．
16. 三国时期的数学家赵爽在其所著的勾股圆方图注中记载了一元二次方程的几何解法，其中一种方法通过构造图形解一元二次方程，这体现的数学思想是______．
17. 要修建一个圆形喷水池在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头使喷出的抛物线形水柱在与处达到最高，高度，水柱落地处离池中心，应安装水管的长度是______．

18. 如果平移抛物线得到新的抛物线，抛物线和与轴的交点为同一个点，则称抛物线和为“同族抛物线”如图已知抛物线：与：是“同族抛物线”，与轴都交于点，抛物线与轴交于、两点点在点左侧，抛物线经过点若点是抛物线对称轴上一动点，连接、、，则周长的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

19. 计算：．
20. 解方程：．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
    请画出与关于原点对称的；
    将绕原点顺时针旋转后得到，请画出．

22. 已知一人患了流感，经过两轮传染后一共有人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染几个人？
23. 某品牌服装店正在销售某一服装，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
    若每件服装降价元，则平均每天的销售数量为多少件？用含的式子表示
    当每件服装降价多少元时，该品牌服装店每天的销售利润为元？
24. 综合与实践．
    
    【问题情境】数学活动课上，老师让同学们以“探究图形旋转中的奥妙”为主题开展活动．如图，在等边三角形中，点为角平分线的交点，点是直线上一点，连接并延长与直线交于点，将射线以点为旋转中心，逆时针旋转，与直线交于点．
    【操作发现】如图，智慧小组发现当点在线段上时，连接，易证≌，从而得出；如图，缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，当点在点的左侧时，将射线以点为旋转中心，逆时针旋转，与直线交点，与的延长线交于点连接，可得是等腰三角形．
    【问题解决】
    写出图或图中的任意一个旋转角______；
    如图请判断和的数量关系，并说明理由；
    结合操作发现的描述，证明：是等腰三角形．
25. 阅读与思考：下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务：用函数观点认识一元二次方程根的情况，我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象与轴交点的横坐标．抛物线与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．
    与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．
    下面根据抛物线的顶点坐标和一元二次方程根的判别式分别分和两种情况进行分析：
    时，抛物线开口向上．
    当时，有．
    ，
    顶点纵坐标．
    顶点在轴的下方，抛物线与轴有两个交点如图．
    一元二次方程有两个不相等的实数根．
    当时，有．
    ，
    顶点纵坐标．
    顶点在轴上，抛物线与轴有一个交点如图．
    一元二次方程有两个相等的实数根．
    当时，
    时，抛物线开口向下．
    任务：
    请参照小论文中当时的分析过程，写出中当，时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
    实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解，请你再举出一例______．

26. 在平面直角坐标系中，由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”如图所示，抛物线与抛物线：的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为，点在点的左侧，与轴的交点分别为，，且点的坐标为．
    求，两点的坐标及抛物线的解析式；
    若抛物线的顶点为，当时，试判断三角形的形状，并说明理由；
    在的条件下，点是抛物线上一点，抛物线第三象限上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为．
故选：．
利用二次函数的顶点式直接得出顶点坐标即可．
此题考查了二次函数的性质，利用配方法把二次函数化为顶点式是求得对称轴、顶点坐标的常用方法．
 

2.【答案】 

【解析】解：方程是一元二次方程，选项A不符合题意；
B.方程是一元二次方程，选项B不符合题意；
C.方程是一元二次方程，选项C不符合题意；
D.当时，方程不是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：．
利用一元二次方程的定义，可找出方程不一定是一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A、、的汉字或字母都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的字母能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的定义在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形逐项判断即可得．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：函数是二次函数，
，
解得．
故选：．
根据二次函数的定义求出的值即可．
本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即：，
故选：．
把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解方程是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程的两个实数根为、，
，
故选：．
直接根据根与系数的关系可得出．
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

7.【答案】 

【解析】解：原抛物线的顶点为，向左平移个单位，再向下平移个单位，那么新抛物线的顶点为．
可设新抛物线的解析式为：，代入得：，化成一般形式得：．
故选：．
根据二次函数图象的平移规律左加右减，上加下减进行解答即可．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
 

8.【答案】 

【解析】解：设年平均增长率为，由题意得：
．
故选：．
设年平均增长率为，则的产值为：，的产值为，然后可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：将绕点旋转得到，，，，，
点的对应点是点，故正确，
，故错误，
，故正确，
，故正确，
旋转中心是点，故正确，
旋转角不一定为，故错误，
故选：．
根据旋转的性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知，时，．
故选：．
根据图象，写出函数图象在轴下方部分的的取值范围即可．
本题考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合的思想求解是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：取线段的中点，连接，如图所示．
为等边三角形，且为的对称轴，
，，
，
．
在和中，
，
≌，
．
当时，最短，即最短．
点为的中点，
此时．
故选：．
取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出≌，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，此题得解．
本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．点是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解．
【解答】
解：由题意知，点是的黄金分割点，且，，则，
，
，
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的常数项是，
故答案为：．
一元二次方程是常数且中、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项．据此作答．
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是是常数且在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

14.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
 

15.【答案】有两个相等的实数根 

【解析】解：，，，
，
方程有两个相等的实数根．
故答案为：有两个相等的实数根．
根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，进而可得出方程有两个相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．
 

16.【答案】数形结合思想 

【解析】解：体现的数学思想是数形结合思想，
故答案为：数形结合思想．
根据将代数问题转化为几何图形问题的解法即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用、数学常识以及数形结合思想，掌握数形结合思想是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设抛物线的解析式为，
由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，．
水管的长度是．
故答案为：．
设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，掌握待定系数法是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：令，解得或，
，，
将代入，解得，
，
抛物线是抛物线通过平移得到的，
，即，
将，代入抛物线得，
，
解得，
，
抛物线的对称轴为直线，
过点作直线的垂线与抛物线交于点，
连接与直线相交与，连接，

由对称性知，，
两点直线线段最短，
周长的最小为，
，关于直线对称，
，
，
，
周长的最小值为．
故答案为：．
令，求出，可得出，的坐标，再令，可得出的坐标，用待定系数法可得出的解析式，从而得出抛物线的对称轴，过点作直线的垂线与抛物线交于点，连接与直线相交与，连接，此时周长最小，然后由坐标系内两点间的距离求出和长度即可．
本题属于函数中新定义类问题，主要考查待定系数法求函数解析式，坐标系中两点间距离公式以及轴对称最短线路问题，得出的解析式及进行正确的分类讨论是解题关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】先计算乘方与开方和小括号里的，再计算除法，最后计算加减即可．
此题考查的实数的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，． 

【解析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式．确定，，的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定、、的值．
 

21.【答案】解：如图，即为所求作．
如图，即为所求作．
 

【解析】利用中心对称的性质，分别作出，，的对应点，，即可．
利用旋转变换的性质，分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，正确作出图形是解题的关键．
 

22.【答案】解：设每轮传染中平均每人传染了人，则

或舍去．
答：每轮传染中平均一个人传染了个人． 

【解析】设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，可求出，从而求解．
本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．
 

23.【答案】解：若每件服装降价元，则平均每天的销售数量为件；
设每件服装降价元时，该品牌服装店每天的销售利润为元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
要求每件盈利不少于元，
应舍去，
，
答：当每件服装降价元时，该品牌服装店每天的销售利润为元． 

【解析】由题意即可得出结论；
设每件服装降价元时，该品牌服装店每天的销售利润为元，由每件的销售利润每天的销售数量销售利润，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】由题意可得，它们的旋转角为．
故答案为：．
解：，理由如下：如图，连接，

点为等边角平分线的交点，
平分，平分，
，
，，，
将射线以点为旋转中心，逆时针旋转，
，
，
，
≌，
．
证明：由知，≌，
，，，
又，
≌，
，
，
是等腰三角形．
根据题目中的条件可直接得出结论；
由“”可证≌，可得结论；
由知≌，所以，，，由“”可证≌，可得，可得结论．
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】可用函数观点认识二元一次方程组的解 

【解析】解：时，抛物线开口向上，
当时，有．
，
顶点纵坐标
顶点在轴的上方，抛物线与轴无交点，如图，

一元二次方程无实数根；
可用函数观点认识二元一次方程组的解；
故答案为：可用函数观点认识二元一次方程组的解答案不唯一．
参照小论文中的分析过程可得；
除一元二次方程外，初中数学中，用函数观点还可以认识二元一次方程组的解，认识一元一次不等式的解集等．
本题考查了根的判别式，用函数观点认识方程、方程组以及不等式的关系，体现了数形结合数学的思想，掌握二次函数的性质是解题关键．
 

26.【答案】解：令，则，
解得或，
，，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
；
，
，
，
，，，
，
是等腰三角形；
存在一点，使得，理由如下：
点是抛物线上一点，
，
解得或，
或，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，
当时，，
，
，
，
，
解得，
；
当时，，
，
，
，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或 

【解析】令，求解方程，可求、点坐标，设抛物线的解析式为，将点代入即可求函数的解析式；
求出点坐标，利用两点间距离公式，得到，即可判断三角形形状；
求出点坐标，直线的解析式，过点作轴交于点，根据所求的点坐标，分两种情况，利用铅锤法求相应的点坐标即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清“月牙线”的定义，利用铅锤法求三角形的面积是解题的关键．