2023年中考数学一轮复习考点归纳与分层精练18 全等三角形
展开专题18 全等三角形
【专题目录】
技巧1:全等三角形判定的三种类型
技巧2:构造全等三角形的六种常用方法
技巧3:证明三角形全等的四种思路
【题型】一、全等三角形的性质
【题型】二、全等三角形的判定(SSS)
【题型】三、全等三角形的判定(SAS)
【题型】四、全等三角形的判定(AAS)
【题型】五、全等三角形的判定(ASA)
【题型】六、全等三角形的判定(HL)
【题型】七、全等三角形综合问题
【题型】八、角平分线的判定定理
【考纲要求】
1、了解全等三角形的概念和性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素
2、掌握并能应用“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”四种方法判断全等
【考点总结】一、全等三角形及其性质
全等三角形及其性质
全等图形概念
能完全重合的图形叫做全等图形.
特征:①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。
全等三角形概念
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
表示方法:全等用符号“≌”,读作“全等于”。书写三角形全等时,要注意对应顶点字母要写在对应位置上。
全等变换定义:只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小的变换。
变换方式(常见):平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质:对应边相等,对应角相等。
【考点总结】二、全等三角形的判定
全等三角形的性质与判定
概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
性质
全等三角形的对应边、对应角分别相等.
判定
(1)有三边对应相等的两个三角形全等,简记为(SSS);
(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为(SAS);
(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简记为(ASA);
(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简记为(AAS);
(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简记为(HL).
角平分线
角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;
判定定理:到角两边距离相等的点在角的平分线上.
三角形中角平分线的性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这点到三条边距离相等。
【技巧归纳】
技巧1:全等三角形判定的三种类型
【类型】一、已知一边一角型
题型1:一次全等型
1.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,连接AD,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F,且BE=CF.
求证:AD是△ABC的中线.
题型2:两次全等型
2.如图,∠C=∠D,AC=AD.求证:BC=BD.
【类型】二、已知两边型
题型1:一次全等型
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F,试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并说明理由.
题型2:两次全等型
4.如图,A,F,E,B四点共线,AC⊥CE,BD⊥DF,AE=BF,AC=BD.求证:△ACF≌△BDE.
【类型】三、已知两角型
题型1:一次全等型
5.如图,已知∠BDC=∠CEB=90°,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC,BE=CD.求证:OB=OC.
题型2:两次全等型
6.如图,在△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠BAC=∠CDB,∠ACB=∠DBC,分别延长BA与CD交于点F.求证:BF=CF.
技巧2:构造全等三角形的六种常用方法
【类型】一、翻折法
1.如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D.求证:∠2=∠1+∠C.
【类型】二、构造法
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠ABC=45°,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.
求证:∠ADC=∠BDF.
【类型】三、旋转法
3.如图,在正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
【类型】四、平行线法
4.在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于点P,BQ平分∠ABC交AC于点Q,且AP与BQ相交于点O.求证:AB+BP=BQ+AQ.
【类型】五、倍长中线法
5.如图,在△ABC中,D为BC的中点.
(1)求证:AB+AC>2AD;
(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
【类型】六、截长补短法
6.如图,AB∥CD,CE,BE分别平分∠BCD和∠CBA,点E在AD上.求证:BC=AB+CD.
技巧3:证明三角形全等的四种思路
【类型】一、条件充足时直接用判定方法
1.(2014·武汉)如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.求证:AB∥CD.
【类型】二、条件不足时添加条件再用判定方法
2.如图,点A,F,C,D在一条直线上,AF=DC,BC∥EF,请只补充一个条件,使得△ABC≌△DEF,并说明理由.
【类型】三、非三角形问题中构造全等三角形用判定方法
3.如图,在四边形OACB中,CM⊥OA于M,∠1=∠2,CA=CB.求证:
(1)∠3+∠4=180°;
(2)OA+OB=2OM.
【类型】四、实际问题中建立全等三角形模型用判定方法
4.如图,要测量AB的长,因为无法过河接近点A,可以在AB所在直线外任取一点D,在AB的延长线上任取一点E,连接ED和BD,并且延长BD到G,使DG=BD,延长ED到F,使DF=ED,连接FG,并延长FG到H,使H、D、A在一条直线上,则HG=AB,试说明理由.
【题型讲解】
【题型】一、全等三角形的性质
例1、如图所示,△ABD≌△CDB,下面四个结论中,不正确的是( )
A.△ABD和△CDB的面积相等 B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D.AD∥BC,且AD=BC
【题型】二、全等三角形的判定(SSS)
例2、如图,在四边形中,,点E,F分别在,上,,,求证:.
【题型】三、全等三角形的判定(SAS)
例3、如图,已知,,.
求证:(1);
(2).
【题型】四、全等三角形的判定(AAS)
例4、如图,AC是∠BAE的平分线,点D是线段AC上的一点,∠C=∠E,AB=AD.求证:BC=DE.
【题型】五、全等三角形的判定(ASA)
例5、如图,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.
求证:BD=CE.
【题型】七、全等三角形综合问题
例7、如图 AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE与CD相交于点O.
(1)求证AD=AE;
(2)连接OA,BC,试判断直线OA,BC的关系并说明理由.
【题型】八、角平分线的判定定理
例8、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S△ABD=15,则CD的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
全等三角形(达标训练)
一、单选题
1.如图,平行四边形中,,点在上,且,则的度数是( )
A. B. C. D.
2.如图,在Rt中,为上一点且于,连结,则( )
A. B. C. D.
3.如图,在中,DE垂直平分BC,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图,点是的垂直平分线与边的交点,作于点,若,,则的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题
6.如图,以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连接AO,如果AB4,AO6,那么BC=_____.
7.已知边长为4的等边,D,E,F分别为边,,的中点,P为线段上一动点,则的最小值为______.
三、解答题
8.如图,在等边中,点是内一点,点是外一点,连接、、、、,其中,试判断的形状并证明你的结论.
全等三角形(提升测评)
一、单选题
1.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,其中点D恰好落在BC边上,则∠ADE等于( )
A. B. C. D.
2.如图,在中,,,BE平分交AD于E,CF平分交AD于F,则EF等于( )
A.1 B.1.5 C.2 D.3
3.如图,已知AB=CD,若使△ABC≌△DCB,则不能添加下列选项中的( )
A.∠ABC=∠DCB B.BO=CO
C.AO=DO D.∠A=∠D
4.如图,在边长为的正方形中,是边的中点,是边上的一个动点不与重合,以线段为边在正方形内作等边,是边的中点,连接,则在点运动过程中,的最小值是( )
A. B. C. D.
5.如图,点为的内心,,,点,分别为,上的点,且.甲、乙、丙三人有如下判断:甲:;乙:四边形的面积为定值;丙:当时,的周长有最小值.则下列说法正确的是( )
A.只有甲正确 B.只有乙错误
C.乙、丙都正确 D.只有丙错误
二、填空题
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=6,按以下步骤作图:
①以B为圆心,任意长为半径作弧,分别交BA、BC于点E、F;
②分别以E、F为圆心,以大于EF的长为半径作弧,两弧相交于点P;
③作射线BP,交边AC于D点.
则点D到AB的距离为_______.
三、解答题
7.如图,在四边形中,点在边上,,,作交线段于点,连接,求证:.
【技巧归纳】
技巧1:全等三角形判定的三种类型
【类型】一、已知一边一角型
题型1:一次全等型
1.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,连接AD,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F,且BE=CF.
求证:AD是△ABC的中线.
题型2:两次全等型
2.如图,∠C=∠D,AC=AD.求证:BC=BD.
【类型】二、已知两边型
题型1:一次全等型
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F,试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并说明理由.
题型2:两次全等型
4.如图,A,F,E,B四点共线,AC⊥CE,BD⊥DF,AE=BF,AC=BD.求证:△ACF≌△BDE.
【类型】三、已知两角型
题型1:一次全等型
5.如图,已知∠BDC=∠CEB=90°,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC,BE=CD.求证:OB=OC.
题型2:两次全等型
6.如图,在△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠BAC=∠CDB,∠ACB=∠DBC,分别延长BA与CD交于点F.求证:BF=CF.
参考答案
1.证明:∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BED=∠CFD=90°.
又∵∠BDE=∠CDF,BE=CF,∴△DBE≌△DCF.
∴BD=CD.∴D是BC的中点,即AD是△ABC的中线.
2.证明:过点A作AM⊥BC,AN⊥BD,分别交BC,BD的延长线于点M,N.∴∠M=∠N=90°.
∵∠ACB=∠ADB,∴∠ACM=∠ADN.
在△ACM和△ADN中,
∴△ACM≌△ADN(AAS).∴AM=AN,CM=DN.
在Rt△ABM和Rt△ABN中,
∴Rt△ABM≌Rt△ABN(HL).
∴BM=BN.∴BM-CM=BN-DN,即BC=BD.
3.解:BF⊥AE.理由如下:
∵∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD=90°.
又∵BC=AC,BD=AE,∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL).
∴∠CBD=∠CAE.
又∵∠CAE+∠E=90°,∴∠EBF+∠E=90°.
∴∠BFE=90°,即BF⊥AE.
4.证明:∵AC⊥CE,BD⊥DF,∴∠ACE=∠BDF=90°.
在Rt△ACE和Rt△BDF中,
∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL).∴∠A=∠B.
∵AE=BF,∴AE-EF=BF-EF,即AF=BE.
在△ACF和△BDE中,
∴△ACF≌△BDE(SAS).
5.证明:∵∠BDC=∠CEB=90°,
∴∠ADO=∠AEO=90°.
∵AO平分∠BAC,∴∠DAO=∠EAO.
在△ADO和△AEO中,
∴△ADO≌△AEO(AAS).
∴OD=OE.
又∵CD=BE,∴CD-OD=BE-OE,即OC=OB.
6.证明:在△ABC和△DCB中,
∴△ABC≌△DCB(AAS).∴AC=DB.
又∵∠BAC=∠CDB,∴∠FAC=∠FDB.
在△FAC和△FDB中,
∴△FAC≌△FDB(AAS).∴CF=BF.
技巧2:构造全等三角形的六种常用方法
【类型】一、翻折法
1.如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D.求证:∠2=∠1+∠C.
【类型】二、构造法
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠ABC=45°,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.
求证:∠ADC=∠BDF.
【类型】三、旋转法
3.如图,在正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
【类型】四、平行线法
4.在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于点P,BQ平分∠ABC交AC于点Q,且AP与BQ相交于点O.求证:AB+BP=BQ+AQ.
【类型】五、倍长中线法
5.如图,在△ABC中,D为BC的中点.
(1)求证:AB+AC>2AD;
(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
【类型】六、截长补短法
6.如图,AB∥CD,CE,BE分别平分∠BCD和∠CBA,点E在AD上.求证:BC=AB+CD.
参考答案
1.证明:如图,延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折,与BC边重合,A点落在F点处,折痕为BE)
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.
∵BD⊥AD,∴∠ADB=∠BDF=90°.
在△ABD和△FBD中,
∴△ABD≌△FBD(ASA).
∴∠2=∠DFB.
又∵∠DFB=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.
2.证明:如图,过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
∵∠ACB=90°,∴∠2+∠ACF=90°.
∵CE⊥AD,∴∠AEC=90°,∴∠1+∠ACF=180°-∠AEC=180°-90°=90°.∴∠1=∠2.
在△ACD和△CBG中,
∴△ACD≌△CBG(ASA).
∴∠ADC=∠G,CD=BG.
∵点D为BC的中点,∴CD=BD.∴BD=BG.
又∵∠DBG=90°,∠DBF=45°,∴∠GBF=∠DBG-∠DBF=90°-45°=45°.∴∠DBF=∠GBF.在△BDF和△BGF中,
∴△BDF≌△BGF(SAS).
∴∠BDF=∠G.∴∠ADC=∠BDF.
点拨:本题运用了构造法,通过作辅助线构造△CBG、△BGF是解题的关键.
3.解:如图,延长CB到点H,使得BH=DF,连接AH.
∵∠ABE=90°,∠D=90°,∴∠D=∠ABH=90°.
在△ABH和△ADF中,
∴△ABH≌△ADF.∴AH=AF,∠BAH=∠DAF.
∴∠BAH+∠BAF=∠DAF+∠BAF,即∠HAF=∠BAD=90°.
∵BE+DF=EF,∴BE+BH=EF,即HE=EF.
在△AEH和△AEF中,
∴△AEH≌△AEF.
∴∠EAH=∠EAF.
∴∠EAF=∠HAF=45°
点拨:图中所作辅助线,相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°,使AD边与AB边重合,得到△ABH.
4.证明:过点O作OD∥BC交AB于点D,
∴∠ADO=∠ABC.∵∠BAC=60°,∠C=40°,
∴∠ABC=80°.∴∠ADO=80°.
∵BQ平分∠ABC,∴∠QBC=40°.∴∠AQB=∠C+∠QBC=80°.∴∠ADO=∠AQB.
易知∠DAO=∠QAO,OA=OA,∴△ADO≌△AQO.
∴OD=OQ,AD=AQ.
又∵OD∥BP,∴∠PBO=∠DOB.
又∵∠PBO=∠DBO,∴∠DBO=∠DOB.
∴过点D作DM⊥BQ,∴∠DMB=∠DMO=90°.
又∵DM=DM,∴△DMB≌△DMO.
∴BD=OD.∴BD=OQ.
∵∠BAC=60°,∠ABC=80°,BQ平分∠ABC,AP平分∠BAC,∴∠BAP=30°,∠ABQ=40°,∴∠BOP=70°.
∵∠BAP=30°,∠ABC=80°,∴∠APB=70°.
∴∠BOP=∠APB,过点B作BN⊥OP,
∴∠BNO=∠BNP=90°,
又∵BN=BN,∴△BNO≌△BNP.
∴BO=BP.∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ.
5.(1)证明:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.
∵D为BC的中点,∴CD=BD.
又∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,∴△ADC≌△EDB.
∴AC=EB.
∵AB+BE>AE,∴AB+AC>2AD.
(2)解:∵AB-BE
6.证明:方法一:如图①,在BC上取一点F,使BF=BA.连接EF.∵CE,BE分别平分∠BCD和∠CBA,∴∠3=∠4,∠1=∠2.
在△ABE和△FBE中,
∴△ABE≌△FBE(SAS).∴∠A=∠5.
∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°.
而∠5+∠6=180°,∴∠6=∠D.
在△EFC和△EDC中,
∴△EFC≌△EDC(AAS),
∴FC=DC.∴BC=BF+CF=AB+CD.
方法二:如图②,分别延长BA,CE交于点F.
∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵CE,BE分别平分∠BCD和∠CBA,
∴∠1=∠2=∠ABC,∠3=∠4=∠BCD.
∴∠2+∠3=(∠ABC+∠BCD)=90°.
∴∠BEC=90°.∴∠BEF=∠BEC=90°.
在△BEC和△BEF中,
∴△BEC≌△BEF(ASA).∴BC=BF,EC=EF.
∵AB∥CD,∴∠7=∠D,∠F=∠4.
在△EAF和△EDC中,
∴△EAF≌△EDC(AAS).∴FA=CD.
∴BC=BF=BA+AF=AB+CD.
点拨:本题运用了两种不同的方法解题,方法一是截长法,方法二是补短法,这两种方法都是证明线段和、差或不等关系的常用方法,用这两种方法解题的关键是通过截长法或补短法构造全等三角形,将分散的和差线段转化为同一直线上的和差线段.
技巧3:证明三角形全等的四种思路
【类型】一、条件充足时直接用判定方法
1.(2014·武汉)如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.求证:AB∥CD.
【类型】二、条件不足时添加条件再用判定方法
2.如图,点A,F,C,D在一条直线上,AF=DC,BC∥EF,请只补充一个条件,使得△ABC≌△DEF,并说明理由.
【类型】三、非三角形问题中构造全等三角形用判定方法
3.如图,在四边形OACB中,CM⊥OA于M,∠1=∠2,CA=CB.求证:
(1)∠3+∠4=180°;
(2)OA+OB=2OM.
【类型】四、实际问题中建立全等三角形模型用判定方法
4.如图,要测量AB的长,因为无法过河接近点A,可以在AB所在直线外任取一点D,在AB的延长线上任取一点E,连接ED和BD,并且延长BD到G,使DG=BD,延长ED到F,使DF=ED,连接FG,并延长FG到H,使H、D、A在一条直线上,则HG=AB,试说明理由.
参考答案
1.证明:在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD.∴∠A=∠C.
∴AB∥CD.
2.解:补充条件:EF=BC,可使得△ABC≌△DEF.
理由如下:
∵AF=DC,点A,F,C,D在一条直线上,
∴AF+FC=DC+FC,即AC=DF
∵BC∥EF,∴∠EFD=∠BCA.
在△DEF和△ABC中,
∴△DEF≌△ABC(SAS).
点拨:答案不唯一.
3.证明:如图,过C点作CE⊥OB,交OB的延长线于E点.
(1)∵CM⊥OA,CE⊥OE,
∴∠OEC=∠OMC=90°,
在△OEC和△OMC中,
∴△OEC≌△OMC(AAS).
∴CE=CM,又∵CA=CB,
∴Rt△BCE≌Rt△ACM(HL).
∴∠3=∠CBE,
∴∠3+∠4=∠CBE+∠4=180°.
(2)由(1)知△OCE≌△OCM,
Rt△BCE≌Rt△ACM,
∴OE=OM,BE=AM,
∴OA+OB=OM+AM+OB=OM+BE+OB=OM+OE=2OM.
4.解:在△DEB和△DFG中,
∵DB=DG,∠BDE=∠GDF,DE=DF,
∴△DEB≌△DFG(SAS).
∴∠E=∠F,∴AE∥FH,
∴∠DBA=∠DGH.
又∵DB=DG,∠ADB=∠HDG.
∴△ADB≌△HDG(ASA),
∴AB=HG.
【题型讲解】
【题型】一、全等三角形的性质
例1、如图所示,△ABD≌△CDB,下面四个结论中,不正确的是( )
A.△ABD和△CDB的面积相等 B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D.AD∥BC,且AD=BC
【答案】C
【分析】通过全等三角形的性质进行逐一判断即可.
【详解】A、∵△ABD≌△CDB,
∴△ABD和△CDB的面积相等,故本选项错误;
B、∵△ABD≌△CDB,∴△ABD和△CDB的周长相等,故本选项错误;
C、∵△ABD≌△CDB,
∴∠A=∠C,∠ABD=∠CDB,
∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD,故本选项正确;
D、∵△ABD≌△CDB,
∴AD=BC,∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC,故本选项错误;
故选:C.
【题型】二、全等三角形的判定(SSS)
例2、如图,在四边形中,,点E,F分别在,上,,,求证:.
【答案】见解析
【分析】连接AC,证明△ACE≌△ACF,得到∠CAE=∠CAF,再利用角平分线的性质定理得到CB=CD.
【详解】解:连接AC,
∵AE=AF,CE=CF,AC=AC,
∴△ACE≌△ACF(SSS),
∴∠CAE=∠CAF,
∵∠B=∠D=90°,
∴CB=CD.
【题型】三、全等三角形的判定(SAS)
例3、如图,已知,,.
求证:(1);
(2).
【答案】(1)证明见详解;(2)证明见解析.
【分析】
(1)先由平行线的性质得∠B=∠C,从而利用SAS判定△ABF≌△DCE;
(2)根据全等三角形的性质得∠AFB=∠DEC,由等角的补角相等可得∠AFE=∠DEF,再由平行线的判定可得结论.
【详解】
证明:(1)∵AB∥CD,
∴∠B=∠C,
∵BE=CF,
∴BE-EF=CF-EF,
即BF=CE,
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(SAS);
(2)∵△ABF≌△DCE,
∴∠AFB=∠DEC,
∴∠AFE=∠DEF,
∴AF∥DE.
【题型】四、全等三角形的判定(AAS)
例4、如图,AC是∠BAE的平分线,点D是线段AC上的一点,∠C=∠E,AB=AD.求证:BC=DE.
【答案】见解析
【分析】
根据角平分线的性质证明△BAC≌△DAE,即可得到结果;
【详解】
证明:∵AC是∠BAE的平分线,
∴∠BAC=∠DAE,
∵∠C=∠E,AB=AD.
∴△BAC≌△DAE(AAS),
∴BC=DE.
【题型】五、全等三角形的判定(ASA)
例5、如图,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.
求证:BD=CE.
【答案】见解析.
【分析】
先求出∠CAE=∠BAD再利用ASA证明△ABD≌△ACE,即可解答
【详解】
∵AB⊥AC,AD⊥AE,
∴∠BAE+∠CAE=90°,∠BAE+∠BAD=90°,
∴∠CAE=∠BAD.
又AB=AC,∠ABD=∠ACE,
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD=CE.
【题型】六、全等三角形的判定(HL)
例6、如图,∠B=∠E,BF=EC,AC∥DF.求证:△ABC≌△DEF.
【答案】证明见解析
【分析】
首先利用平行线的性质得出∠ACB=∠DFE,进而利用全等三角形的判定定理ASA,进而得出答案.
【详解】
证明:∵AC∥DF,
∴∠ACB=∠DFE,
∵BF=CE,
∴BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
【题型】七、全等三角形综合问题
例7、如图 AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE与CD相交于点O.
(1)求证AD=AE;
(2)连接OA,BC,试判断直线OA,BC的关系并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;
(2)互相垂直,证明见解析
【分析】
(1)根据AAS推出△ACD≌△ABE,根据全等三角形的性质得出即可;
(2)证Rt△ADO≌Rt△AEO,推出∠DAO=∠EAO,根据等腰三角形的性质推出即可.
【详解】
(1)证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠AEB=90°,
△ACD和△ABE中,
∵
∴△ACD≌△ABE(AAS),
∴AD=AE.
(2)猜想:OA⊥BC.
证明:连接OA、BC,
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠AEB=90°.
在Rt△ADO和Rt△AEO中,
∵
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL).
∴∠DAO=∠EAO,
又∵AB=AC,
∴OA⊥BC.
【题型】八、角平分线的判定定理
例8、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S△ABD=15,则CD的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】A
【详解】
作DE⊥AB于E,
∵AB=10,S△ABD =15,
∴DE=3,
∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,
∴DE=CD=3,
故选A.
全等三角形(达标训练)
一、单选题
1.如图,平行四边形中,,点在上,且,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质得出AD//CB,∠ADC+∠C= 180°,得出∠D,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DAE的度数.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,
∴∠ADC+∠C= 180°,
∴∠D= 180°-∠C= 80°
∴∠D=180°- 100°= 80°
∵AE= AD,
∴∠D=∠AED=80°
∴∠DAE= 180°- 80°× 2= 20°
故答案为:A.
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质,等腰三角形的性质,三角形和内角和定理等知识;关键是掌握平行四边形对边平行,对角相等.
2.如图,在Rt中,为上一点且于,连结,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】设 ,根据求出FC、BC的长,由此得解.
【详解】解:设,,则AB=5x,
∵,
∴∠AFE=
∵,
∴,
∴x,
在Rt△BCF中,∠C=90,
∴.
故选:D.
【点睛】此题考察三角函数,角所对的直角边等于斜边的一半,勾股定理,此题根据设未知数是解题的关键.
3.如图,在中,DE垂直平分BC,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案.
【详解】解:∵DE垂直平分BC,
∴BD=DC,
∴∠BDE=∠CDE=64°,
∴∠ADB=180°-64°-64°=52°,
∵∠A=28°,
∴∠ABD=180°-28°-52°=100°.
故选:A.
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理,正确掌握相关定理是解题关键.
4.在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A=( )
A.40° B.70° C.50° D.60°
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论.
【详解】解:∵AB=AC,∠B=70°,
∴∠C=∠B=70°,
∴∠A=180°-70°-70°=40°,
故选:A.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
5.如图,点是的垂直平分线与边的交点,作于点,若,,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】首先根据线段垂直平分线性质定理可得,其次根据等边对等角可得,再根据角的差可得。进而利用互余进行计算即可.
【详解】∵点是的垂直平分线与边的交点,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
故选:B.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质,直角三角形两锐角互余,等腰三角形的性质与判定,根据角的差可得是解本题的关键.
二、填空题
6.如图,以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连接AO,如果AB4,AO6,那么BC=_____.
【答案】
【分析】在AC上截取CG=AB=4,连接OG,推出∠ABO=∠ACO,证△BAO≌△CGO,推出OG=,∠AOB=∠COG,CG=AB=4,得出等腰直角三角形AOG,根据勾股定理求出AG,即可求出AC,再由勾股定理即可求出BC.
【详解】在AC上截取CG=AB=4,连接OG,
∵四边形BCEF是正方形,∠BAC=90°,
∴OB=OC,∠BAC=∠BOC=90°,
∴∠OBA+∠OBC+∠ACB=90°,∠OBC+∠ACB+∠ACO=90°,
∴∠ABO=∠ACO,
∴△BAO≌△CGO(SAS),
∴OG=,∠AOB=∠COG,CG=AB=4,
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°,
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°,
∴△AOG是等腰直角三角形,
由勾股定理得:AG==12,
即AC=12+4=16,
∴BC=,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查对勾股定理、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.
7.已知边长为4的等边,D,E,F分别为边,,的中点,P为线段上一动点,则的最小值为______.
【答案】4
【分析】连接,,设交于点J,根据等边三角形的性质及中位线的性质得出, ,由三角形三边关系即可得出结果.
【详解】解:如图,连接,,设交于点J,
∵是等边三角形,D、E、F分别为边、、的中点,
∴,,,
∴, ,
∴是线段的垂直平分线,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴的最小值为4,
故答案为:4.
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及中位线的性质,三角形的三边关系等,理解题意,综合运用这些知识点是解题关键.
三、解答题
8.如图,在等边中,点是内一点,点是外一点,连接、、、、,其中,试判断的形状并证明你的结论.
【答案】等边三角形,证明见解析
【分析】由是等边三角形,可得,,利用,即可得出≌,即可得,,结合等边三角形的性质可得,即可得出是等边三角形.
【详解】解:为等边三角形.
证明:是等边三角形,
,.
在和中,
,
(SAS).
,,
,
.
即.
是等边三角形.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质及等边三角形的判定及性质,解题的关键是得出≌.
全等三角形(提升测评)
一、单选题
1.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,其中点D恰好落在BC边上,则∠ADE等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,可得AB=AD,∠BAD=40°,继而求得∠B的度数,然后由旋转的性质,可求得∠ADE的度数.
【详解】解:∵将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,
∴AB=AD,∠BAD=40°,
∴∠B=∠ADB=70°,
∴∠ADE=∠B=70°.
故选:D.
【点睛】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质.注意掌握旋转前后图形的对应关系是关键.
2.如图,在中,,,BE平分交AD于E,CF平分交AD于F,则EF等于( )
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质可得∠AEB=∠CBE,∠CFD=∠BCF,再由BE平分,CF平分,可得∠ABE=∠CBE,∠BCF=∠DCF,从而得到∠ABE=∠AEB,∠CFD =∠DCF,进而得到AE=AB=5,DF=CD=5,进而得到DE=2,即可求解.
【详解】解∶ 在中,AD∥BC,AB=CD=5,
∴∠AEB=∠CBE,∠CFD=∠BCF,
∵BE平分,CF平分,
∴∠ABE=∠CBE,∠BCF=∠DCF,
∴∠ABE=∠AEB,∠CFD =∠DCF,
∴AE=AB=5,DF=CD=5,
∵BC=7,
∴DE=2,
∴EF=DF-DE=3.
故选:D
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定,熟练掌握平行四边形的性质,等腰三角形的判定是解题的关键.
3.如图,已知AB=CD,若使△ABC≌△DCB,则不能添加下列选项中的( )
A.∠ABC=∠DCB B.BO=CO
C.AO=DO D.∠A=∠D
【答案】D
【分析】根据三角形全等的判定条件对各选项进行判断即可.
【详解】解:由题意知,,,
A中,根据边角边,得到,故不符合题意;
B中,则由等边对等角可得,根据边角边,得到,故不符合题意;
C中AO=DO,则,由等边对等角可得,根据边角边,得到,故不符合题意;
D中无法证明,故符合题意;
故选D.
【点睛】本题考查了三角形全等的判定.解题的关键在于熟练掌握三角形全等的判定条件.
4.如图,在边长为的正方形中,是边的中点,是边上的一个动点不与重合,以线段为边在正方形内作等边,是边的中点,连接,则在点运动过程中,的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】连接AM,在点运动过程中,点M在∠EAF的平分线上,所以当AM⊥PM时,PM取得最小值,根据等边三角形的性质得到AM⊥EF,∠EAM=30°,求得∠PAM=60°,进而即可得到PM最小值.
【详解】解:∵P是边AD的中点,AD=6,
∴AP=3,
如图,连接AM,
∵等边,是边的中点,
∴AM平分∠EAF,
∴在点运动过程中,点M在∠EAF的平分线上,
∴当AM⊥PM时,PM取得最小值,
∵是等边的边的中点,
∴PM⊥AM, ∠EAM=30°,
∴∠PAM=60°,
∴PM=AP=,
故选:C.
【点睛】本题考查了正方形的性质,垂线段最短,等边三角形的性质,推出在点E运动过程中,点M在∠EAF的平分线上,是解题的关键.
5.如图,点为的内心,,,点,分别为,上的点,且.甲、乙、丙三人有如下判断:甲:;乙:四边形的面积为定值;丙:当时,的周长有最小值.则下列说法正确的是( )
A.只有甲正确 B.只有乙错误
C.乙、丙都正确 D.只有丙错误
【答案】D
【分析】过点O作OD⊥BC,OE⊥AB于点D,E,连接OB,根据三角形内心可得OD=OE,然后证明Rt△DON≌Rt△EOM(HL),得∠DON=∠EOM,因为∠B=60°,所以∠DOE=120°,即可得∠MON=∠EOM+∠EON=∠DON+∠EON=∠DOE=120°;根据Rt△DON≌Rt△EOM,可得四边形OMBN的面积=2S△BOD,根据点D的位置固定,可得四边形OMBN的面积是定值;过点O作OF⊥MN于点F,根据ON=OM,∠MON=120°,可得∠ONM=30°,MN=2NF=2ONcos30°=ON,所以△MON的周长=(+2)ON,可得当ON最小时,即当ON⊥BC时,△MON的周长最小值,进而可做出判断.
【详解】解:如图,过点O作OD⊥BC,OE⊥AB于点D,E,连接OB,
∴∠ODN=∠OEM=90°,
∵点O为△ABC的内心,
∴OB是∠ABC的平分线,
∴OD=OE,
在Rt△DON和Rt△EOM中,
,
∴Rt△DON≌Rt△EOM(HL),
∴∠DON=∠EOM,
∵∠B=60°,
∴∠DOE=120°,
∴∠MON=∠EOM+∠EON=∠DON+∠EON=∠DOE=120°
所以甲的判断正确;
∵Rt△DON≌Rt△EOM,
∴四边形OMBN的面积=2S△BOD,
∵点D的位置固定,
∴四边形OMBN的面积是定值,
所以乙的判断正确;
如图,过点O作OF⊥MN于点F,
∵ON=OM,∠MON=120°,
∴∠ONM=30°,
∴MN=2NF=2ONcos∠ONM=2ONcos30°=ON,
∴△MON的周长=MN+2ON=ON+2ON=(+2)ON,
∴当ON最小时,即当ON⊥BC时,△MON的周长取得最小值,
∴丙的判断错误.
综上所述:判断正确的是甲、乙,判断错误的是丙.
故选:D.
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心,角平分线的性质,等腰三角形的判定和性质,等边三角形的判定与性质,垂线段最短问题,解直角三角形,解决本题的关键是掌握三角形内心定义.
二、填空题
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=6,按以下步骤作图:
①以B为圆心,任意长为半径作弧,分别交BA、BC于点E、F;
②分别以E、F为圆心,以大于EF的长为半径作弧,两弧相交于点P;
③作射线BP,交边AC于D点.
则点D到AB的距离为_______.
【答案】
【分析】题目所描述的是角平分线的画法,过点D作于H,证明,得,在中算出CD即可.
【详解】过点D作于H
由
得:
∴
∵
在中,
在中,
故答案为:
【点睛】本题考查角平分线,特殊直角三角形;熟练掌握特殊直角三角形的三边关系是本题关键.
三、解答题
7.如图,在四边形中,点在边上,,,作交线段于点,连接,求证:.
【答案】证明见解析
【分析】根据题意得到四边形是平行四边形,根据平行四边形的性质得到,根据平行线的性质及等腰三角形的性质推出,即可利用证明.
【详解】,,
四边形是平行四边形,
,
∵,
,,
∵,
,
,
,
,
,
,
在和中,
,
.
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定,熟记平行四边形的判定与性质是解题的关键.
2023年中考数学一轮复习考点归纳与分层精练20 勾股定理: 这是一份2023年中考数学一轮复习考点归纳与分层精练20 勾股定理,共48页。
2023年中考数学一轮复习考点归纳与分层精练15 图形的初步认识: 这是一份2023年中考数学一轮复习考点归纳与分层精练15 图形的初步认识,共42页。
2023年中考数学一轮复习考点归纳与分层精练13 二次函数: 这是一份2023年中考数学一轮复习考点归纳与分层精练13 二次函数,共49页。