高考数学一轮复习配套课件 第三章 第一节 变化率与导数、导数的计算

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·考向预测·考情分析：本节主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义．常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等．学科素养：通过导数的几何意义考查数学抽象的核心素养，导数的四则运算考查数学运算的核心素养．
曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率
y－y0＝f′(x0)(x－x0)
4．基本初等函数的导数公式
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
二、必明2个常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　)
(二)教材改编2．[选修2－2·P18T5改编]已知函数f(x)＝x(19＋ln x)，若f′(x0)＝20，则x0等于(　　)A．e2 B．1C.ln 2 D．e
3．[选修2－2·P19T2改编]曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________．
解析：由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)．即5x＋y＋2＝0.
(三)易错易混4．(混淆f′(x0)与[f(x0)]′的区别)已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f(2)＝________．
解析：因为f′(x)＝2x＋3f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－2，所以f(x)＝x2－6x，于是f(2)＝－8.
5．(混淆“在”与“过”的区别)已知函数f(x)＝x3＋x－16，若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，则直线l的方程为___________．
2．[2022·四川省南充市测试]已知函数f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f(e)＝(　　)A．－e B．eC．－1 D．1
y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cs x.
[提醒]　求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．
x－y＋2＝0或4x－y－4＝0
　反思感悟 求切点坐标的思路(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标，列出切线方程，将切点代入曲线方程，已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标．
解析：(1)f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，∴切线方程为y＝x－1＋a，故0＝0－1＋a，解得a＝1.
(2)[2022·湖北九师质检]已知函数f(x)＝x2＋x ln x的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－ay－1＝0平行，则实数a＝________．
　反思感悟 利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒]　(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
【对点训练】1．[2022·黄冈模拟]已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为(　　)A．(1，3) B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)
2．[2021·湖北省荆州市高三质检]函数y＝ex－1－2x在点(1，f(1))处的切线方程为________．
解析：由题得f(1)＝e1－1－2＝－1，所以切点坐标为(1，－1)．由题得f′(x)＝ex－1－2，∴k＝f′(1)＝－1，所以切线方程为y＋1＝－(x－1)，∴x＋y＝0.
3．[2021·西安五校联考]已知函数f(x)＝aex＋b(a，b∈R)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，则a－b＝______．
4．[2022·辽宁葫芦岛模拟]若一直线与曲线y＝ln x和曲线x2＝ay(a>0)相切于同一点P，则a的值为________．
微专题13导数与其他知识的交汇
名师点评　破解曲线的切线与数列相交汇问题的关键(1)会求切线方程，利用导数的几何意义求曲线的切线方程；(2)会求数列的通项公式，一般可根据题意寻找其转化桥梁，如本题，求出切线与y轴交点的纵坐标，即可求出数列的通项公式；(3)活用公式，若可判断出数列为等差(比)数列，则直接利用其前n项和公式得出结论．[提醒]　导数还可以与不等式、向量、三角函数、解析几何等交汇．