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(新高考)高考物理一轮复习课时练习第7章第1讲《机械振动》(含解析)
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这是一份(新高考)高考物理一轮复习课时练习第7章第1讲《机械振动》(含解析)，共20页。试卷主要包含了简谐运动，简谐运动的公式和图像，受迫振动和共振等内容，欢迎下载使用。
第1讲 机械振动
一、简谐运动
1.简谐运动
(1)定义：如果质点在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(3)回复力
①定义：使物体返回到平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
2.简谐运动的两种模型
【自测1】 (多选)关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是( )
A.简谐运动是匀变速运动
B.周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量
C.简谐运动的回复力可以是恒力
D.弹簧振子每次经过平衡位置时，动能最大
答案 BD
二、简谐运动的公式和图像
1.表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫做初相。
2.图像
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图像如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acs ωt，图像如图乙所示。
【自测2】 (2020·北京海淀区适应性练习)如图1甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动。以其平衡位置为坐标原点、竖直向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
图1
A.振子的振幅为4 cm
B.振子的振动周期为1 s
C.t＝1 s时，振子的速度为正的最大值
D.t＝1 s时，振子的加速度为正的最大值
答案 C
解析 由振动图像可知，该弹簧振子的振幅为2 cm，周期为2 s，t＝1 s时，振子正经过平衡位置沿y轴正方向运动，加速度为零，故C正确。
三、受迫振动和共振
1.受迫振动
系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。
2.共振
做受迫振动的物体，驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。共振曲线如图所示。
【自测3】 (多选)如图2所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，振动达到稳定时，下列说法中正确的是( )
图2
A.只有A、C的振动周期相等
B.C的振幅比B的振幅小
C.C的振幅比B的振幅大
D.A、B、C的振动周期相等
答案 CD
命题点一 简谐运动的规律
【例1】 (多选)(2020·海南省新高考一模)如图3所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm。下列说法正确的是( )
图3
A.MN间距离为5 cm
B.振子的运动周期是0.2 s
C.t＝0时，振子位于N点
D.t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
答案 BC
解析 MN间距离为2A＝10 cm，选项A错误；因ω＝10π rad/s 可知振子的运动周期是T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,10π) s＝0.2 s，选项B正确；由x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm可知t＝0
时，x＝5 cm，即振子位于N点，选项C正确；由x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm可知t＝0.05 s时x＝0，此时振子在O点，振子加速度为零，选项D错误。
【变式1】 (多选)[2019·江苏卷·13B(1)]一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的( )
A.位移增大 B.速度增大
C.回复力增大 D.机械能增大
答案 AC
解析 摆球做简谐运动，在平衡位置处位移为零，在摆角增大的过程中，摆球的位移增大，速度减小，选项A正确，B错误；在摆角增大的过程中，摆球受到的回复力增大，选项C正确；单摆做简谐运动，机械能守恒，所以在摆角增大的过程中，摆球机械能保持不变，选项D错误。
命题点二 简谐运动图像的理解和应用
1.可获取的信息
图4
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图4所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2.简谐运动的对称性(如图5)
图5
(1)相隔Δt＝(n＋eq \f(1,2))T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。
(2)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
【例2】 (2017·北京理综，15)某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图6所示，下列描述正确的是( )
图6
A.t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B.t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C.t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D.t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
答案 A
解析 当t＝1 s时，振子位于正向位移最大处，速度为零，加速度为负向最大，故A正确；当t＝2 s时，振子位于平衡位置并向负向运动，速度为负向最大，加速度为零，故B错误；当t＝3 s时，振子位于负向位移最大处，速度为零，加速度为正向最大，故C错误；当t＝4 s时，振子位于平衡位置并向正向运动，速度为正向最大，加速度为零，故D错误。
【变式2】 (多选)(2020·浙江选考模拟)如图7甲所示为挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度的摆动，即可以用来拆卸混凝土建筑，可视为单摆模型，它对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是( )
图7
A.单摆振动的周期是6 s
B.t＝2 s时，摆球的速度最大
C.摆球的质量增大，周期越大
D.该单摆的摆长约为16 m
答案 BD
解析 由图像知，单摆的周期8 s，A错误；t＝2 s时，摆球位于平衡位置，速度最大，B正确；根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，周期与质量无关，C错误；代入T＝2πeq \r(\f(l,g))得摆长l≈16 m，D正确。
【变式3】 (2020·北京市昌平区二模练习)如图8所示，光滑直杆上弹簧连接的小球以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。以O点为原点，选择由O指向B为正方向，建立Ox坐标轴。小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达A点。则小球在第一个周期内的振动图像为 ( )
图8
答案 A
解析 小球经过B点时开始计时，即t＝0时小球的位移为正向最大，经过0.5 s首次到达A点，位移为负向最大，且周期为T＝1 s。故A项图像正确。
命题点三 受迫振动和共振
1.简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
2.对共振的理解
(1)共振曲线：如图9所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
图9
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
【例3】 下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则( )
A.f固＝60 Hz B.60 Hz＜f固＜70 Hz
C.50 Hz＜f固≤60 Hz D.以上三个都不对
答案 C
解析 从如图所示的共振曲线可判断出f驱与f固相差越大，受迫振动的振幅越小；f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大。并可以从中看出f驱越接近f固，振幅的变化越慢。比较各组数据知f驱在50～60 Hz范围内时，振幅变化最小，因此50 Hz＜f固≤60 Hz，即C正确。
【变式4】 如图10所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B的摆长相等。当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给B、C、D摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动。观察B、C、D摆的振动发现( )
图10
A.C摆的频率最小B.D摆的周期最大
C.B摆的摆角最大D.B、C、D的摆角相同
答案 C
解析 A摆摆动从而带动其他3个单摆做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，故其他各摆振动周期与A摆相同，频率也相同，故A、B错误；受迫振动中，当固有频率等于驱动力频率时，出现共振现象，振幅达到最大，由于B摆的固有频率与A摆的频率相同，故B摆发生共振，振幅最大，故C正确，D错误。
【变式5】 (多选)(2020·陕西第二次质检改编)下列关于机械振动的有关说法正确的是( )
A.简谐运动的回复力是按效果命名的力
B.振动图像描述的是振动质点的轨迹
C.受迫振动的频率等于驱动力的频率
D.当驱动力的频率等于受迫振动系统的固有频率时，振幅最大
答案 ACD
解析 做简谐运动的物体所受到的回复力是按力的作用效果命名的，故选项A正确；振动图像描述的是振动质点在不同时刻的位移，而不是其实际的运动轨迹，故选项B错误；物体在周期性驱动力作用下做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，与固有频率无关，当驱动力的频率等于受迫振动系统的固有频率时，发生共振，振幅达到最大，故选项C、D正确。
命题点四 单摆及其周期公式
1.单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcs θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝eq \f(mv2,l)＝0，FT＝mgcs θ。
②当摆球在最低点时，F向＝meq \f(veq \\al(2,max),l)，F向最大，FT＝mg＋meq \f(veq \\al(2,max),l)。
2.周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))的两点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
【例4】 [2020·全国卷Ⅱ，34(1)]用一个摆长为80.0 cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过________cm(保留1位小数)。(提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程。)
某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等。新单摆的摆长应该取为________cm。
答案 6.9 96.8
解析 由弧长公式可知l＝θR，又结合题意所求的距离近似等于弧长，则d＝eq \f(5°,360°)×2π×80.0 cm＝6.98 cm，结合题中保留1位小数和摆动最大角度小于5°可知不能填7.0，应填6.9；由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，单摆的周期与摆长的平方根成正比，即T∝eq \r(l)，又由题意可知旧单摆周期与新单摆周期的比为10∶11，则eq \f(10,11)＝eq \r(\f(80.0 cm,l′))，解得l′＝96.8 cm。
【变式6】 [2019·全国卷Ⅱ，34(1)]如图11，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方eq \f(3,4)l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x－t关系的是( )
图11
答案 A
解析 摆长为l时单摆的周期T1＝2πeq \r(\f(l,g))，振幅A1＝lα(α为摆角)，摆长为eq \f(1,4)l时单摆的周期T2＝2πeq \r(\f(\f(1,4)l,g))＝πeq \r(\f(l,g))＝eq \f(T1,2)，振幅A2＝eq \f(1,4)lβ(β为摆角)。
根据机械能守恒得mgl(1－cs α)＝mgeq \f(l,4)(1－cs β)，利用cs α＝1－2sin2eq \f(α,2)，cs β＝1－2sin2 eq \f(β,2)，以及sin α≈tan α≈α(α很小)，解得β＝2α，故A2＝eq \f(1,2)A1，故选项A正确。
课时限时练
(限时：40分钟)
对点练1 简谐运动的规律
1.做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是( )
A.位移 B.速度
C.加速度 D.回复力
答案 B
2.如图1所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，当振子从平衡位置O向a运动过程中( )
图1
A.加速度和速度均不断减小
B.加速度和速度均不断增大
C.加速度不断增大，速度不断减小
D.加速度不断减小，速度不断增大
答案 C
解析 在振子由O到a的运动过程中，其位移不断增大，回复力增大，加速度增大，但是由于加速度与速度方向相反，故速度减小，选项C正确。
3.(多选)关于简谐运动以及做简谐运动的物体完成一次全振动的意义，以下说法正确的是( )
A.位移减小时，加速度减小，速度增大
B.位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
C.动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程
D.速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程
答案 AD
解析 当位移减小时，回复力减小，则加速度减小，物体向平衡位置运动，速度增大，故A正确；回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可以相同，也可以相反；物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，故B错误；一次全振动，动能和势能可以多次恢复为原来的大小，故C错误；速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动，故D正确。
对点练2 简谐运动图像的理解和应用
4.如图2所示为某弹簧振子在0～5 s 内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是( )
图2
A.振动周期为5 s，振幅为8 cm
B.第2 s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值
C.从第1 s末到第2 s末振子的位移增大，振子在做加速度减小的减速运动
D.第3 s末振子的速度为正向的最大值
答案 D
解析 由题图可知振动周期为4 s，振幅为8 cm，选项A错误；第2 s末振子在最大位移处，速度为零，位移为负，加速度为正向的最大值，选项B错误；从第1 s末到第2 s末振子的位移增大，振子在做加速度增大的减速运动，选项C错误；第3 s末振子在平衡位置，向正方向运动，速度为正向的最大值，选项D正确。
5.(多选)一个质点做简谐运动的图像如图3所示，下列说法正确的是( )
图3
A.质点振动的频率为4 Hz
B.在10 s内质点经过的路程为20 cm
C.第5 s末，质点的速度为零，加速度最大
D.t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是eq \r(2) cm
答案 BCD
解析 由题图可知，质点振动的周期为T＝4 s，故频率f＝eq \f(1,T)＝0.25 Hz，选项A错误；在10 s内质点振动了2.5个周期，经过的路程是2.5×4A＝20 cm，选项B正确；第5 s末，质点处于正向最大位移处，速度为零，加速度最大，选项C正确；由题图可得振动方程为x＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)t))cm，将t＝1.5 s和t＝4.5 s代入振动方程得x＝eq \r(2) cm，选项D正确。
对点练3 受迫振动和共振
6.(多选)(2020·江苏常州市上学期学业水平监测)关于某物体受迫振动的共振曲线，下列判断正确的是( )
图4
A.物体的固有频率等于f0
B.物体做受迫振动时的频率等于f0
C.物体做受迫振动时振幅相同则频率必相同
D.为避免共振发生应该让驱动力的频率远离f0
答案 AD
解析 由图可知，物体的固有频率等于f0，选项A正确；物体做受迫振动时，只有当发生共振时频率才是f0，即物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率不一定等于f0，选项B错误；物体做受迫振动时振幅相同，频率不一定相同，选项C错误；根据产生共振的条件可知，为避免共振发生应该让驱动力的频率远离f0，选项D正确。
7.(2020·东北三省四市下学期一模)如图5甲所示在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来。图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则( )
图5
A.a、b、c单摆的固有周期关系为Ta＝Tc＜Tb
B.b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大
C.达到稳定时b摆的振幅最大
D.由图乙可知，此时b摆的周期Tb小于t0
答案 AB
解析 由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，知固有周期关系为Ta＝Tc＜Tb，故A正确；因为Ta＝Tc，所以c摆共振，达到稳定时，c摆振幅较大， b摆的振幅最小，故B正确，C错误；受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以三个单摆的频率相同，周期相同，故Tb等于t0，故D错误。
对点练4 单摆及周期公式
8.(2020·陕西商洛市调研)做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量减小为原来的eq \f(1,4)，摆球经过平衡位置时速度增大为原来的2倍，则单摆振动的( )
A.频率、振幅都不变 B.频率、振幅都改变
C.频率不变，振幅改变 D.频率改变，振幅不变
答案 C
9.(多选)(2020·河南九师联盟质检)关于单摆，下列说法正确的是( )
A.将单摆由沈阳移至广州，单摆周期变大
B.单摆的周期公式是由惠更斯总结得出的
C.将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期变小
D.当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大
答案 ABD
解析 将单摆由沈阳移至广州，因重力加速度减小，根据T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，单摆周期变大，选项A正确；单摆的周期公式是由惠更斯总结得出的，选项B正确；在θ＜5°时单摆的周期与摆角无关，将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期不变，选项C错误；当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大，选项D正确。
10.如图6所示，细线一端固定于悬挂点O，另一端系一小球。在悬挂点正下方A点处钉一个光滑小钉子。小球从B点由静止释放，摆到最低点C的时间为t1，从C点向右摆到最高点的时间为t2。摆动过程中，如果摆角始终小于5°，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
图6
A.t1＝t2，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率变小
B.t1＞t2，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率变小
C.t1＞t2，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率不变
D.t1＝t2，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率不变
答案 C
解析 因摆角始终小于5°，则小球在钉子两边摆动时均可看做单摆，根据T＝2πeq \r(\f(l,g))可知T左＞T右，故t1＝eq \f(1,4)T左＞eq \f(1,4)T右＝t2；摆线碰钉子的瞬间，由于水平方向受力为零，可知小球的速率不变，故C正确。
11.(多选)如图7所示为同一地点的两个单摆甲、乙的振动图像，下列说法正确的是( )
图7
A.甲、乙两单摆的摆长相等
B.甲摆的振幅比乙摆的大
C.甲摆的机械能比乙摆的大
D.在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆
答案 ABD
解析 由题图可知，两单摆的周期相同，同一地点重力加速度g相同，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))得知，甲、乙两单摆的摆长相等，选项A正确；甲摆的振幅为10 cm，乙摆的振幅为7 cm，则甲摆的振幅比乙摆大，选项B正确；尽管甲摆的振幅比乙摆大，两摆的摆长相等，但由于两摆的质量未知，故无法比较机械能的大小，选项C错误；在t＝0.5 s时，甲摆经过平衡位置，振动的加速度为零，而乙摆的位移为负的最大，则乙摆具有正向最大加速度，选项D正确。
12.(2020·山东德州市第一次模拟)用图8甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下如图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点分别为A、B、C、D，用刻度尺测出A、B间的距离为x1；C、D间的距离为x2。已知单摆的摆长为L，重力加速度为g，则此次实验中测得物体的加速度为( )
图8
A.eq \f(（x2－x1）g,π2L) B.eq \f(（x2－x1）g,2π2L)
C.eq \f(（x2－x1）g,4π2L) D.eq \f(（x2－x1）g,8π2L)
答案 B
解析 由题意可知，AB段、BC段、CD段的时间相等且都等于单摆的半周期，由匀变速直线运动规律得x2－x1＝2aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T,2)))eq \s\up12(2)，其中T为单摆周期，则T＝2πeq \r(\f(L,g))，联立解得a＝eq \f(（x2－x1）g,2π2L)，故A、C、D错误，B正确。
13.如图9所示的弹簧振子，放在光滑水平桌面上，O是平衡位置，振幅A＝2 cm，周期T＝0.4 s。
图9
(1)若以向右为位移的正方向，当振子运动到O点右侧最大位移处开始计时，试画出其一个周期的振动图像；
(2)若从振子经过平衡位置开始计时，求经过2.6 s小球通过的路程。
答案 (1)见解析图 (2)0.52 m
解析 (1)当振子在O点右侧最大位移处时，位移最大为2 cm，周期为0.4 s，一个周期的振动图像如图所示。
(2)振子在一个周期内的路程为4A，故2.6 s经过的路程为eq \f(2.6,0.4)×4×0.02 m＝0.52 m。
14.如图10所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题：
图10
(1)写出该振子简谐运动的表达式；
(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？
(3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？
答案 见解析
解析 (1)由题图可得A＝5 cm，T＝4 s，φ0＝0
则ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,2) rad/s
故该振子简谐运动的表达式为x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)t)) cm。
(2)由题图可知，在t＝2 s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移不断变大，加速度也变大，速度不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大，当t＝3 s时，加速度达到最大值，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值。
(3)振子经过一个周期位移为零，路程为4×5 cm＝20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前100 s振子的总位移x＝0，路程s＝25×20 cm＝500 cm＝5 m。
课程标准内容及要求
核心素养及关键能力
核心素养
关键能力
机械振动
1.通过实验，认识简谐运动的特征。
弹簧振子和单摆模型
物理建模能力
2.能用公式和图像描述简谐运动。
科学推理
数学应用能力
3.通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系。知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。
科学实验
控制变量法
4.实验九：会用单摆测量重力加速度的大小。
科学实验
实验设计与数据处理
5.通过实验，认识受迫振动的特点。了解产生共振的条件及其应用。
物理概念
理解能力
机械波
1.通过观察，认识波的特征。能区别横波和纵波。能用图像描述横波。理解波速、波长和频率的关系。
物理科学概念和规律
理解能力
2.知道波的反射和折射现象。通过实验，了解波的干涉与衍射现象。
物理概念
理解能力
3.通过实验，认识多普勒效应。能解释多普勒效应产生的原因。能列举多普勒效应的应用实例。
物理概念
理解能力
模型
弹簧振子
单摆
示意图
简谐运
动条件
(1)弹簧质量可忽略
(2)无摩擦等阻力
(3)在弹簧弹性限度内
(1)摆线为不可伸缩的轻细线
(2)无空气阻力等
(3)最大摆角小于等于5°
回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡位置
弹簧处于原长处
最低点
周期
与振幅无关
T＝2π eq \r(\f(l,g))
能量
转化
弹性势能与动能的相互转化，系统的机械能守恒
重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
受力特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征
振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性特征
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)
对称性特征
关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等
振动
项目
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
驱动力频率/Hz
30
40
50
60
70
80
受迫振动振幅/cm
10.2
16.8
27.2
28.1
16.5
8.3
第1讲 机械振动
一、简谐运动
1.简谐运动
(1)定义：如果质点在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(3)回复力
①定义：使物体返回到平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
2.简谐运动的两种模型
【自测1】 (多选)关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是( )
A.简谐运动是匀变速运动
B.周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量
C.简谐运动的回复力可以是恒力
D.弹簧振子每次经过平衡位置时，动能最大
答案 BD
二、简谐运动的公式和图像
1.表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫做初相。
2.图像
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图像如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acs ωt，图像如图乙所示。
【自测2】 (2020·北京海淀区适应性练习)如图1甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动。以其平衡位置为坐标原点、竖直向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
图1
A.振子的振幅为4 cm
B.振子的振动周期为1 s
C.t＝1 s时，振子的速度为正的最大值
D.t＝1 s时，振子的加速度为正的最大值
答案 C
解析 由振动图像可知，该弹簧振子的振幅为2 cm，周期为2 s，t＝1 s时，振子正经过平衡位置沿y轴正方向运动，加速度为零，故C正确。
三、受迫振动和共振
1.受迫振动
系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。
2.共振
做受迫振动的物体，驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。共振曲线如图所示。
【自测3】 (多选)如图2所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，振动达到稳定时，下列说法中正确的是( )
图2
A.只有A、C的振动周期相等
B.C的振幅比B的振幅小
C.C的振幅比B的振幅大
D.A、B、C的振动周期相等
答案 CD
命题点一 简谐运动的规律
【例1】 (多选)(2020·海南省新高考一模)如图3所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm。下列说法正确的是( )
图3
A.MN间距离为5 cm
B.振子的运动周期是0.2 s
C.t＝0时，振子位于N点
D.t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
答案 BC
解析 MN间距离为2A＝10 cm，选项A错误；因ω＝10π rad/s 可知振子的运动周期是T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,10π) s＝0.2 s，选项B正确；由x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm可知t＝0
时，x＝5 cm，即振子位于N点，选项C正确；由x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm可知t＝0.05 s时x＝0，此时振子在O点，振子加速度为零，选项D错误。
【变式1】 (多选)[2019·江苏卷·13B(1)]一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的( )
A.位移增大 B.速度增大
C.回复力增大 D.机械能增大
答案 AC
解析 摆球做简谐运动，在平衡位置处位移为零，在摆角增大的过程中，摆球的位移增大，速度减小，选项A正确，B错误；在摆角增大的过程中，摆球受到的回复力增大，选项C正确；单摆做简谐运动，机械能守恒，所以在摆角增大的过程中，摆球机械能保持不变，选项D错误。
命题点二 简谐运动图像的理解和应用
1.可获取的信息
图4
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图4所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2.简谐运动的对称性(如图5)
图5
(1)相隔Δt＝(n＋eq \f(1,2))T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。
(2)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
【例2】 (2017·北京理综，15)某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图6所示，下列描述正确的是( )
图6
A.t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B.t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C.t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D.t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
答案 A
解析 当t＝1 s时，振子位于正向位移最大处，速度为零，加速度为负向最大，故A正确；当t＝2 s时，振子位于平衡位置并向负向运动，速度为负向最大，加速度为零，故B错误；当t＝3 s时，振子位于负向位移最大处，速度为零，加速度为正向最大，故C错误；当t＝4 s时，振子位于平衡位置并向正向运动，速度为正向最大，加速度为零，故D错误。
【变式2】 (多选)(2020·浙江选考模拟)如图7甲所示为挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度的摆动，即可以用来拆卸混凝土建筑，可视为单摆模型，它对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是( )
图7
A.单摆振动的周期是6 s
B.t＝2 s时，摆球的速度最大
C.摆球的质量增大，周期越大
D.该单摆的摆长约为16 m
答案 BD
解析 由图像知，单摆的周期8 s，A错误；t＝2 s时，摆球位于平衡位置，速度最大，B正确；根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，周期与质量无关，C错误；代入T＝2πeq \r(\f(l,g))得摆长l≈16 m，D正确。
【变式3】 (2020·北京市昌平区二模练习)如图8所示，光滑直杆上弹簧连接的小球以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。以O点为原点，选择由O指向B为正方向，建立Ox坐标轴。小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达A点。则小球在第一个周期内的振动图像为 ( )
图8
答案 A
解析 小球经过B点时开始计时，即t＝0时小球的位移为正向最大，经过0.5 s首次到达A点，位移为负向最大，且周期为T＝1 s。故A项图像正确。
命题点三 受迫振动和共振
1.简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
2.对共振的理解
(1)共振曲线：如图9所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
图9
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
【例3】 下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则( )
A.f固＝60 Hz B.60 Hz＜f固＜70 Hz
C.50 Hz＜f固≤60 Hz D.以上三个都不对
答案 C
解析 从如图所示的共振曲线可判断出f驱与f固相差越大，受迫振动的振幅越小；f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大。并可以从中看出f驱越接近f固，振幅的变化越慢。比较各组数据知f驱在50～60 Hz范围内时，振幅变化最小，因此50 Hz＜f固≤60 Hz，即C正确。
【变式4】 如图10所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B的摆长相等。当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给B、C、D摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动。观察B、C、D摆的振动发现( )
图10
A.C摆的频率最小B.D摆的周期最大
C.B摆的摆角最大D.B、C、D的摆角相同
答案 C
解析 A摆摆动从而带动其他3个单摆做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，故其他各摆振动周期与A摆相同，频率也相同，故A、B错误；受迫振动中，当固有频率等于驱动力频率时，出现共振现象，振幅达到最大，由于B摆的固有频率与A摆的频率相同，故B摆发生共振，振幅最大，故C正确，D错误。
【变式5】 (多选)(2020·陕西第二次质检改编)下列关于机械振动的有关说法正确的是( )
A.简谐运动的回复力是按效果命名的力
B.振动图像描述的是振动质点的轨迹
C.受迫振动的频率等于驱动力的频率
D.当驱动力的频率等于受迫振动系统的固有频率时，振幅最大
答案 ACD
解析 做简谐运动的物体所受到的回复力是按力的作用效果命名的，故选项A正确；振动图像描述的是振动质点在不同时刻的位移，而不是其实际的运动轨迹，故选项B错误；物体在周期性驱动力作用下做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，与固有频率无关，当驱动力的频率等于受迫振动系统的固有频率时，发生共振，振幅达到最大，故选项C、D正确。
命题点四 单摆及其周期公式
1.单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcs θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝eq \f(mv2,l)＝0，FT＝mgcs θ。
②当摆球在最低点时，F向＝meq \f(veq \\al(2,max),l)，F向最大，FT＝mg＋meq \f(veq \\al(2,max),l)。
2.周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))的两点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
【例4】 [2020·全国卷Ⅱ，34(1)]用一个摆长为80.0 cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过________cm(保留1位小数)。(提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程。)
某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等。新单摆的摆长应该取为________cm。
答案 6.9 96.8
解析 由弧长公式可知l＝θR，又结合题意所求的距离近似等于弧长，则d＝eq \f(5°,360°)×2π×80.0 cm＝6.98 cm，结合题中保留1位小数和摆动最大角度小于5°可知不能填7.0，应填6.9；由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，单摆的周期与摆长的平方根成正比，即T∝eq \r(l)，又由题意可知旧单摆周期与新单摆周期的比为10∶11，则eq \f(10,11)＝eq \r(\f(80.0 cm,l′))，解得l′＝96.8 cm。
【变式6】 [2019·全国卷Ⅱ，34(1)]如图11，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方eq \f(3,4)l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x－t关系的是( )
图11
答案 A
解析 摆长为l时单摆的周期T1＝2πeq \r(\f(l,g))，振幅A1＝lα(α为摆角)，摆长为eq \f(1,4)l时单摆的周期T2＝2πeq \r(\f(\f(1,4)l,g))＝πeq \r(\f(l,g))＝eq \f(T1,2)，振幅A2＝eq \f(1,4)lβ(β为摆角)。
根据机械能守恒得mgl(1－cs α)＝mgeq \f(l,4)(1－cs β)，利用cs α＝1－2sin2eq \f(α,2)，cs β＝1－2sin2 eq \f(β,2)，以及sin α≈tan α≈α(α很小)，解得β＝2α，故A2＝eq \f(1,2)A1，故选项A正确。
课时限时练
(限时：40分钟)
对点练1 简谐运动的规律
1.做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是( )
A.位移 B.速度
C.加速度 D.回复力
答案 B
2.如图1所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，当振子从平衡位置O向a运动过程中( )
图1
A.加速度和速度均不断减小
B.加速度和速度均不断增大
C.加速度不断增大，速度不断减小
D.加速度不断减小，速度不断增大
答案 C
解析 在振子由O到a的运动过程中，其位移不断增大，回复力增大，加速度增大，但是由于加速度与速度方向相反，故速度减小，选项C正确。
3.(多选)关于简谐运动以及做简谐运动的物体完成一次全振动的意义，以下说法正确的是( )
A.位移减小时，加速度减小，速度增大
B.位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
C.动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程
D.速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程
答案 AD
解析 当位移减小时，回复力减小，则加速度减小，物体向平衡位置运动，速度增大，故A正确；回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可以相同，也可以相反；物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，故B错误；一次全振动，动能和势能可以多次恢复为原来的大小，故C错误；速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动，故D正确。
对点练2 简谐运动图像的理解和应用
4.如图2所示为某弹簧振子在0～5 s 内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是( )
图2
A.振动周期为5 s，振幅为8 cm
B.第2 s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值
C.从第1 s末到第2 s末振子的位移增大，振子在做加速度减小的减速运动
D.第3 s末振子的速度为正向的最大值
答案 D
解析 由题图可知振动周期为4 s，振幅为8 cm，选项A错误；第2 s末振子在最大位移处，速度为零，位移为负，加速度为正向的最大值，选项B错误；从第1 s末到第2 s末振子的位移增大，振子在做加速度增大的减速运动，选项C错误；第3 s末振子在平衡位置，向正方向运动，速度为正向的最大值，选项D正确。
5.(多选)一个质点做简谐运动的图像如图3所示，下列说法正确的是( )
图3
A.质点振动的频率为4 Hz
B.在10 s内质点经过的路程为20 cm
C.第5 s末，质点的速度为零，加速度最大
D.t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是eq \r(2) cm
答案 BCD
解析 由题图可知，质点振动的周期为T＝4 s，故频率f＝eq \f(1,T)＝0.25 Hz，选项A错误；在10 s内质点振动了2.5个周期，经过的路程是2.5×4A＝20 cm，选项B正确；第5 s末，质点处于正向最大位移处，速度为零，加速度最大，选项C正确；由题图可得振动方程为x＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)t))cm，将t＝1.5 s和t＝4.5 s代入振动方程得x＝eq \r(2) cm，选项D正确。
对点练3 受迫振动和共振
6.(多选)(2020·江苏常州市上学期学业水平监测)关于某物体受迫振动的共振曲线，下列判断正确的是( )
图4
A.物体的固有频率等于f0
B.物体做受迫振动时的频率等于f0
C.物体做受迫振动时振幅相同则频率必相同
D.为避免共振发生应该让驱动力的频率远离f0
答案 AD
解析 由图可知，物体的固有频率等于f0，选项A正确；物体做受迫振动时，只有当发生共振时频率才是f0，即物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率不一定等于f0，选项B错误；物体做受迫振动时振幅相同，频率不一定相同，选项C错误；根据产生共振的条件可知，为避免共振发生应该让驱动力的频率远离f0，选项D正确。
7.(2020·东北三省四市下学期一模)如图5甲所示在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来。图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则( )
图5
A.a、b、c单摆的固有周期关系为Ta＝Tc＜Tb
B.b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大
C.达到稳定时b摆的振幅最大
D.由图乙可知，此时b摆的周期Tb小于t0
答案 AB
解析 由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，知固有周期关系为Ta＝Tc＜Tb，故A正确；因为Ta＝Tc，所以c摆共振，达到稳定时，c摆振幅较大， b摆的振幅最小，故B正确，C错误；受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以三个单摆的频率相同，周期相同，故Tb等于t0，故D错误。
对点练4 单摆及周期公式
8.(2020·陕西商洛市调研)做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量减小为原来的eq \f(1,4)，摆球经过平衡位置时速度增大为原来的2倍，则单摆振动的( )
A.频率、振幅都不变 B.频率、振幅都改变
C.频率不变，振幅改变 D.频率改变，振幅不变
答案 C
9.(多选)(2020·河南九师联盟质检)关于单摆，下列说法正确的是( )
A.将单摆由沈阳移至广州，单摆周期变大
B.单摆的周期公式是由惠更斯总结得出的
C.将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期变小
D.当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大
答案 ABD
解析 将单摆由沈阳移至广州，因重力加速度减小，根据T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，单摆周期变大，选项A正确；单摆的周期公式是由惠更斯总结得出的，选项B正确；在θ＜5°时单摆的周期与摆角无关，将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期不变，选项C错误；当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大，选项D正确。
10.如图6所示，细线一端固定于悬挂点O，另一端系一小球。在悬挂点正下方A点处钉一个光滑小钉子。小球从B点由静止释放，摆到最低点C的时间为t1，从C点向右摆到最高点的时间为t2。摆动过程中，如果摆角始终小于5°，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
图6
A.t1＝t2，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率变小
B.t1＞t2，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率变小
C.t1＞t2，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率不变
D.t1＝t2，摆线碰钉子的瞬间，小球的速率不变
答案 C
解析 因摆角始终小于5°，则小球在钉子两边摆动时均可看做单摆，根据T＝2πeq \r(\f(l,g))可知T左＞T右，故t1＝eq \f(1,4)T左＞eq \f(1,4)T右＝t2；摆线碰钉子的瞬间，由于水平方向受力为零，可知小球的速率不变，故C正确。
11.(多选)如图7所示为同一地点的两个单摆甲、乙的振动图像，下列说法正确的是( )
图7
A.甲、乙两单摆的摆长相等
B.甲摆的振幅比乙摆的大
C.甲摆的机械能比乙摆的大
D.在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆
答案 ABD
解析 由题图可知，两单摆的周期相同，同一地点重力加速度g相同，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))得知，甲、乙两单摆的摆长相等，选项A正确；甲摆的振幅为10 cm，乙摆的振幅为7 cm，则甲摆的振幅比乙摆大，选项B正确；尽管甲摆的振幅比乙摆大，两摆的摆长相等，但由于两摆的质量未知，故无法比较机械能的大小，选项C错误；在t＝0.5 s时，甲摆经过平衡位置，振动的加速度为零，而乙摆的位移为负的最大，则乙摆具有正向最大加速度，选项D正确。
12.(2020·山东德州市第一次模拟)用图8甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下如图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点分别为A、B、C、D，用刻度尺测出A、B间的距离为x1；C、D间的距离为x2。已知单摆的摆长为L，重力加速度为g，则此次实验中测得物体的加速度为( )
图8
A.eq \f(（x2－x1）g,π2L) B.eq \f(（x2－x1）g,2π2L)
C.eq \f(（x2－x1）g,4π2L) D.eq \f(（x2－x1）g,8π2L)
答案 B
解析 由题意可知，AB段、BC段、CD段的时间相等且都等于单摆的半周期，由匀变速直线运动规律得x2－x1＝2aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T,2)))eq \s\up12(2)，其中T为单摆周期，则T＝2πeq \r(\f(L,g))，联立解得a＝eq \f(（x2－x1）g,2π2L)，故A、C、D错误，B正确。
13.如图9所示的弹簧振子，放在光滑水平桌面上，O是平衡位置，振幅A＝2 cm，周期T＝0.4 s。
图9
(1)若以向右为位移的正方向，当振子运动到O点右侧最大位移处开始计时，试画出其一个周期的振动图像；
(2)若从振子经过平衡位置开始计时，求经过2.6 s小球通过的路程。
答案 (1)见解析图 (2)0.52 m
解析 (1)当振子在O点右侧最大位移处时，位移最大为2 cm，周期为0.4 s，一个周期的振动图像如图所示。
(2)振子在一个周期内的路程为4A，故2.6 s经过的路程为eq \f(2.6,0.4)×4×0.02 m＝0.52 m。
14.如图10所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题：
图10
(1)写出该振子简谐运动的表达式；
(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？
(3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？
答案 见解析
解析 (1)由题图可得A＝5 cm，T＝4 s，φ0＝0
则ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,2) rad/s
故该振子简谐运动的表达式为x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)t)) cm。
(2)由题图可知，在t＝2 s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移不断变大，加速度也变大，速度不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大，当t＝3 s时，加速度达到最大值，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值。
(3)振子经过一个周期位移为零，路程为4×5 cm＝20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前100 s振子的总位移x＝0，路程s＝25×20 cm＝500 cm＝5 m。
课程标准内容及要求
核心素养及关键能力
核心素养
关键能力
机械振动
1.通过实验，认识简谐运动的特征。
弹簧振子和单摆模型
物理建模能力
2.能用公式和图像描述简谐运动。
科学推理
数学应用能力
3.通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系。知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。
科学实验
控制变量法
4.实验九：会用单摆测量重力加速度的大小。
科学实验
实验设计与数据处理
5.通过实验，认识受迫振动的特点。了解产生共振的条件及其应用。
物理概念
理解能力
机械波
1.通过观察，认识波的特征。能区别横波和纵波。能用图像描述横波。理解波速、波长和频率的关系。
物理科学概念和规律
理解能力
2.知道波的反射和折射现象。通过实验，了解波的干涉与衍射现象。
物理概念
理解能力
3.通过实验，认识多普勒效应。能解释多普勒效应产生的原因。能列举多普勒效应的应用实例。
物理概念
理解能力
模型
弹簧振子
单摆
示意图
简谐运
动条件
(1)弹簧质量可忽略
(2)无摩擦等阻力
(3)在弹簧弹性限度内
(1)摆线为不可伸缩的轻细线
(2)无空气阻力等
(3)最大摆角小于等于5°
回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡位置
弹簧处于原长处
最低点
周期
与振幅无关
T＝2π eq \r(\f(l,g))
能量
转化
弹性势能与动能的相互转化，系统的机械能守恒
重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
受力特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征
振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性特征
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)
对称性特征
关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等
振动
项目
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
驱动力频率/Hz
30
40
50
60
70
80
受迫振动振幅/cm
10.2
16.8
27.2
28.1
16.5
8.3
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