2022-2023学年山东省烟台市招远市九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市招远市九年级（上）期中数学试卷（五四学制）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知中，，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列函数中，是的反比例函数的有个．(    )
   ；；；；；．

A.  B.  C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把轴、轴分别向上、向右平移个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 某人沿着坡度为：的山坡前进了米，则此人所在的位置升高了(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D.

5. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是(    )

A. 其图象经过点 B. 其图象分别位于第一、第三象限
C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，

6. 若二次函数的图象过，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 正方形网格中，如图放置，则的值为(    )
    

A.  B.  C.  D.

8. 一束阳光射在窗子上，此时光与水平线夹角为，若窗高米，要想将光线全部遮挡住，不能射到窗子上，则在处搭建的挡板垂直于的长最少应为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9. 用总长为米的材料做成如图所示的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为平方米，关于的函数图象如图，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知二次函数的对称轴是直线，图象如图所示．给出下面五个结论：；；；为实数，且；其中正确的有个．(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 函数的图象是抛物线，则的值为______．
12. 已知等腰三角形两条边的长分别是，，底角为，则______．
13. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且，的面积为，则的值为______．

14. 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，，已知木箱高，斜面坡角为，则木箱端点距地面的高度为______

15. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是______．
16. 对于二次函数，如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值______．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

17. ．

四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，，，点的坐标为．
    求点的坐标；
    求的值．

19. 本小题分
    泡茶需要将电热水壶中的水先烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温与时间成一次函数关系；停止加热过了分钟后，水壶中水的温度与时间近似于反比例函数关系如图已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于．
    分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量的取值范围：
    从水壶中的水烧开降到就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？

20. 本小题分
    某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面米，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为米的地点，水柱距离湖面的高度为米．

在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

结合表中所给数据或所画图象，写出这条水柱最高点距离湖面的高度是______米；
求所画图象对应的函数表达式；
从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于米，请直接写出公园至少需要准备多少米的护栏不考虑接头等其他因素．

21. 本小题分
    如图，抛物线与轴的两个交点分别为，．
    求这条抛物线对应函数的表达式；
    若点在该抛物线上，求当的面积为时，点的坐标．
    直接写出时，的取值范围．

22. 本小题分
    如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
    求一次函数的解析式；
    若是轴上一点，，求点的坐标；
    当时，根据图象直接写出时，的取值范围．

23. 本小题分
    一人一盔安全守规，一人一带平安常在某商店销售一批头盔，售价为每顶元，每月可售出顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价元，每月可多售出顶．已知头盔的进价为每顶元．
    若降价元，则该商店每月可售出______顶头盔．
    设每顶头盔售价元，每月的销售量为顶，每月获利元．
    求与之间的函数表达式；
    求与之间的函数表达式，并求出每顶头盔售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
24. 本小题分
    如图，兰兰站在河岸上的点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船的俯角是，若兰兰的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度：，坡长米，求小船到岸边的距离的长？参考数据：，结果保留两位有效数字
     
25. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．
    求抛物线的表达式；
    点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标以及四边形的最大面积；
    在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
．
，
故选：．
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：，符合反比例函数的定义，是反比例函数；
，符合反比例函数的定义，是反比例函数；
，符合反比例函数的定义，是反比例函数；
，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数；
，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数；
，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数．
故选：．
根据反比例函数的定义形如为常数，的函数称为反比例函数逐一判断即可得答案．
本题考查了反比例函数的定义，形如为常数，的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，把点向下、向左平移个单位，所以在新坐标系中此抛物线的解析式为．
故选：．
该题实际上是将抛物线向下、向左平移个单位，根据“左加右减”的规律解答即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

4.【答案】 

【解析】解：设此人所在的位置升高了米，
斜坡的坡度为：，
此人前进的水平距离为米，
由勾股定理得：，
解得：负值舍去，
此人所在的位置升高了米，
故选：．
设此人所在的位置升高了米，根据坡度的概念用表示出此人前进的水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、把代入得，则图象经过点，所以选项的说法正确，不合题意；
B、由于，则函数图象过一、三象限，所以选项的说法正确，不合题意；
C、，
在每个象限内，随的增大而减小，所以选项的说法正确，不合题意；
D、时，，且当时随的增大而减小
当时，，所以选项的说法错误，符合题意，
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征对进行判断；根据反比例函数的性质对、、进行判断．
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
 

6.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：．
二次函数的图象过，，，
而三点离对称轴的距离按由远到近为：、、，
，
故选：．
二次函数抛物线开口向上，且对称轴为根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，取线段与网格线交点为，连接，，设正方形网格的边长是，则根据勾股定理可以得到：
，
，
，
为等腰三角形，
又，
为的中线，
，
，
则，
，
故选：．
连接，，根据勾股定理可以得到，则是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到是直角三角形．根据锐角三角函数正弦的定义就可以求解．
本题考查锐角三角函数正弦的概念，注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键．也考查了等腰三角形的判定与三线合一定理，直角三角形的判定与勾股定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：设光线为，作于点，

光与水平线夹角为，
，
，
，
米，
，
米，
故选：．
根据已知作出辅助线，再利用得出的长即可．
此题主要考查了解直角三角形的应用，利用锐角三角函数关系得出是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可知，当时，有最大，最大值为，
当米，窗框的最大面积是平方米，
根据矩形面积计算公式，另一边为米，
材料总长米．
故选：．
因为时，面积最大为，根据图形是矩形，由面积公式易得另一边为米，从而得出的值．
本题考查了二次函数的应用．从图象中获取相关信息解决问题是学习函数的基本功，体现了数形结合的思想方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，正确．
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，错误．
抛物线与轴有个交点，
，正确．
由图象可得时，为最大值，
，即，正确．
，
，
由图象可得时，，
，即，正确．
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断；由抛物线与轴交点个数可判断；由时取最大值可判断；由时及与的数量关系可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：．
利用二次函数定义进行解答即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
 

12.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为，底边长为时，如图：过点作，垂足为，

，，
，
在中，，
当等腰三角形的腰长为，底边长为时，如图：过点作，垂足为，

，，
，
在中，，
综上所述：或，
故答案为：或．
分两种情况：当等腰三角形的腰长为，底边长为时，当等腰三角形的腰长为，底边长为时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，分两种情况讨论是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
反比例函数图象在第二象限，
，
故答案为：．
由于，根据三角形面积公式得到，再根据反比例函数的的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质得到的值．
本题考查了反比例函数的的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
在中，，，
则，
又，
，
在中，，
．
答：木箱端点距地面的高度为．
故答案为：．
连接，在中求出，根据的正切值求出的度数，继而得到的度数，在中，解出即可得出答案．
本题考查了坡度、坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，熟练运用三角函数求线段的长度．
 

15.【答案】 

【解析】解：由正比例函数与反比例函数的图象和性质可知，
其交点与关于原点对称，
，
故答案为：．
根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点与交点关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案．
本题考查一次函数、反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是正确判断的前提．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，
当时的函数值与时的函数值相等，
，
当时的函数值与时的函数值相等，
将代入得，
故答案为：．
由当时的函数值与时的函数值相等，可得抛物线的对称轴为直线，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】将特殊锐角的三角函数值代入计算即可．
本题考查了特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．
 

18.【答案】解：过点作于点，

在中，，，
，
，
点的坐标为；
点的坐标为，
，
，
，
，
，
的值为． 

【解析】过点作于点，在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而利用勾股定理求出，即可解答；
利用的结论和已知可得，然后在中，利用勾股定理求出，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：停止加热时，设，
由题意得：，
解得：，
，
当时，解得：，
点坐标为，
点坐标为，
当加热烧水时，设，
由题意得：点得坐标是，代入上式得，
解得：，
当加热烧水，函数关系式为；
当停止加热，得与的函数关系式为；；
把代入，得，
因此从烧水开到泡茶需要等待分钟． 

【解析】本题考查了反比例函数的解析式，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，难度不大．
将点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点和点的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式；
将代入反比例函数的解析式，从而求得答案．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图：

由图象可知，这条水柱最高点距离湖面的高度是米，
故答案为：；
由图象可得，顶点 ，
设二次函数的关系式为   ，
把代入可得，
解得，
；
当时，即，
解得舍去或，
正方形的边长为米，
至少需要准备栏杆米，
公园至少需要准备米的护栏．
根据对应点画图象即可；
由图象可得答案；
利用待定系数法可得关系式；
求出落水点距离喷头的水平距离，进而求出正方形的边长，进而可以求出正方形的周长．
本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
 

21.【答案】解：点，在抛物线上．
则有，
解得：，
则所求表达式为；
设点坐标为，
依题意，得，
当时，，
解得，
，
即，
解之得：；
当时，，则，
 即．
解得，，
所求点坐标为或或；
当时，，
解得：，，
根据函数的图象和性质，时，的取值范围为． 

【解析】将、两点坐标代入抛物线解析式，可确定抛物线解析式；
根据、两点坐标得，由三角形面积公式求点纵坐标的绝对值，得出点纵坐标的两个值，代入抛物线解析式求点横坐标；
先解出时方程的解，再结合函数图象得出结论．
本题考查了待定系数法求抛物线解析式，三角形面积公式的运用．关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法，掌握三角形的高与点纵坐标的关系是解题关键．
 

22.【答案】解：把点代入 得：，
解得，
把点代入 得，
 解得，
， ，
设要求的一次函数的表达式为，
由题意得：，
 解之得：，
一次函数的表达式为；
设直线交轴于点，则，
，
，
，
，
设点的坐标为，
，
，
，
，
点的坐标为或；
观察图象可知，时的取值范围是． 

【解析】首先求出、两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
设直线交轴于，则，设，由，可得，列出方程即可解决问题；
观察图象，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，写出的取值范围即可．
本题考查一次函数与反比例函数的交点、待定系数法、一元一次不等式等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用图象解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】 

【解析】解：根据题意得，降价元，该商店每月可售出顶头盔，
故答案为：；
由题意得：；
由题意得：




，
，
当时，，
答：每顶头盔售价元时，每月的销售利润最大，最大利润是元．
根据降价后每月所售出的头盔数量原来的所售出数量降价金额元，列出代数式便可；
根据题意直接写出与的函数解析式即可；
根据总利润单件利润销售量写出函数解析式，利用函数的性质求最值．
本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

24.【答案】解：过点作于点，延长交于点，得和矩形．
，
，．
，，
，
．
在中，
，，，
．
又，
即，
米．
答：的长约是米． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．
把和都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点和点到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得长度．即为长度．
 

25.【答案】解：将点，代入抛物线，
，
解得，
抛物线解析式为；
令，则，
整理得，，
解得，，
点的坐标为，
的面积不变，
的面积最大时四边形的面积最大，
设直线的解析式为，
则，
解得，
，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值，
此时，
，
四边形的最大面积为，
点运动到时，四边形的面积最大，最大面积为；
存在点，使是等腰三角形，理由如下：
由题意可设点坐标为，
，，
，，，
当时，，
解得，
点坐标为或；
当时，则有，
解得舍或，
；
当时，，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或或 

【解析】利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
根据抛物线的解析式求得点的坐标，然后根据待定系数法求得直线的解析式，可设出点的坐标，则可表示出点的坐标，进而表示出的长度，则可表示出的面积，从而可表示出四边形的面积，利用二次函数的性质，可求得其最大值及此时点的坐标；
可设出点坐标，从而可表示出、、的长，由条件可得或或，可得到关于点坐标的方程，可求得点的坐标．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在中注意待定系数法的应用，在中用点坐标表示出四边形的面积是解题的关键，在中用点坐标表示出、的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．