2022届陕西省西安市高三下学期第三次质检数学（文）试题含解析

2022届陕西省西安市高三下学期第三次质检数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用集合的补集与并集运算求解.

【详解】因为全集，集合，，

所以，．

故选：C．

2．已知a，，且复数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的除法可求，根据其为实数可求，从而可得正确的选项.

【详解】，

因为，故，，

故选：B.

3．某高中学校开展学生对宿舍管理员满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生1100人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生900人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高一年级学生人数为（       ）

A．18 B．20 C．22 D．30

【答案】C

【分析】求出高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生之比，然后可得答案.

【详解】该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生之比为

所以抽取的高一年级学生人数为

故选：C

4．在中，若，，，则（       ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

【分析】运用同角平方关系可求，然后利用正弦定理，计算即可得到．

【详解】解：，，，

，

由正弦定理可得，，

．

故选：D．

5．“0＜λ＜4”是“双曲线的焦点在x轴上”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先根据双曲线的焦点在x轴上得到的范围，进而求得答案.

【详解】由双曲线的焦点在x轴上可知，.于是“”是“双曲线的焦点在x轴上”的充分不必要条件.

故选：A.

6．如图，在一个正方体中，E，G分别是棱，的中点，F为棱靠近C的四等分点.平面截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件可得平面经过点，然后可得答案.

【详解】

连接

因为E，G分别是棱，的中点，F为棱靠近C的四等分点

所以，所以平面经过点

所以多面体的正视图为

故选：D

7．已知半径为2的圆经过点（5，12），则其圆心到原点的距离的最小值为（        ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】B

【分析】由条件可得圆心的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，然后可得答案.

【详解】因为半径为2的圆经过点（5，12），

所以圆心的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，

所以圆心到原点的距离的最小值为，

故选：B

8．小金是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读莫言的两本著作——《红高粱》《檀香刑》.假设他读完这两本书共需50个小时，第1天他读了15分钟，从第2天起，他每天阅读的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完这两本书的时间为（       ）

A．第23天 B．第24天 C．第25天 D．第26天

【答案】B

【分析】由题意可知，小金第n天的阅读时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为15，公差为10，进而通过等差数列的前n项求和公式建立不等式，解得答案即可.

【详解】根据题意，小金第n天的阅读时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为15，公差为10，则，整理得.

设，易知f（n）为递增数列，因为，所以他恰好读完这两本书的时间为第24天.

故选：B.

9．已知是上的奇函数，且当时，，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由奇函数性质有，结合已知条件及函数解析式求参数a，再利用奇函数性质求的值.

【详解】由题设，则，故，

所以时，，

则.

故选：C

10．已知函数，若，且，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】函数 是关于直线x=1对称的，在 和 是单调性是相反的，

利用以上特点，不难判断.

【详解】由题可知 ，当 时是减函数，当 时是增函数；

由于 ，直线x=1是的对称轴；

， ，

由 可知， ，

由对称性可知 ，

；

故选：C.

11．将函数，的图象沿轴向右平移个单位长度，得到奇函数的图象，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的伸缩变换特点，求出变换后的解析式即可.

【详解】对于图像 向右平移 后，

得到的函数是 ，

由题意 ，

即 ，

得 ， ，

由已知条件， ， ；

故选：D.

12．如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则的值为（       ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件列方程，化简求得，进而求得.

【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，

依题意，.

故选：B

二、填空题

13．写出一个同时满足下列条件的向量___________.①；②且与的夹角为锐角.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据向量的模及向量间的夹角，写出一个满足条件的向量即可.

【详解】由，可设且，又与的夹角为锐角，

所以，不妨取，则.

故答案为：（答案不唯一）

14．已知函数，则曲线在x＝1处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求解.

【详解】，

故在(1，1)处的切线的方程为：，即.

故答案为：.

15．如图，阴影部分由四个全等的直角三角形组成的图形是三国时代吴国赵爽创制的“勾股弦方图”，也称“赵爽弦图”.若直角三角形中较大锐角的正弦值为，则在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为___________.

【答案】0.2

【分析】本题属于几何概型，分别求出面积，即可求概率.

【详解】设直角三角形中较大锐角为，则，所以

设大正方形边长为1，则直角三角形两直角边长分别为，.故小正方形边长为，面积为.

而大正方形的面积为1，故所求概率为.

故答案为：

16．已知直线，抛物线上一动点到直线l的距离为d，则的最小值是______．

【答案】

【分析】作直线l，抛物线准线且交y轴于A点，根据抛物线定义有，进而判断目标式最小时的位置关系，结合点线距离公式求最小值.

【详解】如下图示：若直线l，抛物线准线且交y轴于A点，则，，

由抛物线定义知：，则，

所以，要使目标式最小，即最小，

当共线时，又，此时.

故答案为：.

三、解答题

17．已知正项等比数列{}的前n项和为，，且.

(1)求数列{}的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意列出方程求出公比即可得出通项公式；

（2）根据裂项相消法求和即可.

【详解】(1)设等比数列{}的公比为q，由于，则有.

由已知得，又，

所似，解得（舍去）或.

所以.

(2)由（1）得，

所以

所以.

(1)求a的值，并估计这500名学生一周上网课时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)为了了解学生与家长对网课的态度是否具有差异性，研究人员随机抽取了200人调查，所得数据统计如下表所示，判断是否有的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．

附：，其中．

【答案】(1)0.03，13.5h；

(2)有

【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形的面积之和为1求解，再利用平均数的定义求解；

（2）根据列联表求得的值，再与临界值表对照下结论.

【详解】(1)解：因为，

所以，

平均数为；

(2)因为，

所以有的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．

19．如图1，已知正方形的边长为，，分别为，的中点，将正方形沿折成如图2所示连结，且，点在线段上（包含端点）运动，连接.

(1)若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；

(2)点为的中点，求证平面.

【答案】(1)点在的延长线上且与点间的距离为，证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先确定点的位置，然后连接交于，连接，构造三角形的中位线，应用线面平行的判定定理即可证明（2）易证⊥平面，从而推出平面平面，最后由面面垂直的性质定理得出结论

【详解】(1)因为直线平面

故点在平面内，也在平面内

所以点在平面与平面的交线（即直线AE）上

延长，交于点，连接，

如图所示，因为，为的中点，

所以与全等，所以，

故点在的延长线上且与点间的距离为

连接交于，连接

∵为中点，为中点

∴

又平面，平面

∴平面

(2)如图，由已知可得，，

又，，平面，

所以⊥平面，且，平面

所以平面平面，因为，，

所以为等边三角形，则

而平面平面，平面平面，平面

所以⊥平面

20．已知椭圆，、分别是椭圆短轴的上下两个端点；是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点、的点，是边长为4的等边三角形．

（1）写出椭圆的标准方程；

（2）设点R满足：，．求证：与的面积之比为定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据椭圆的定义求出，，即可求出椭圆的标准方程.

（2）直线的斜率分别为，写出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，求出点横坐标坐标，从而求出直线的方程，与椭圆联立求出，面积比即横坐标之比.

【详解】（1）因为是边长为4的等边三角形，

所以   

所以.

所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的斜率分别为，则直线的方程为．

 由直线的方程为．

 将代入，得，

 因为是椭圆上异于点的点，所以．     

 所以 .

 由，所以直线的方程为．

 由 ，得．

 所以．

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.

21．设函数.

(1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围；

(2)当时，讨论函数零点的个数.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由条件可知在（0，+∞）上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求实数的取值范围；

（2），参变分离后，，利用导数判断函数的性质和图象，转化为和的交点个数.

【详解】(1)由题意，函数g（x）的定义域为（0，+∞）.

∵g（x）在（0，+∞）上单调递减，

∴在（0，+∞）上恒成立，.

即当，恒成立，

∴，

∵当，，当且仅当x=1时取等号.

∴当时，

∴.

∴a的取值范围为（-∞，2]

(2)显然不是f（x）的零点，∴f（x）=，

令，且则（x）=，..，，

∴h（x）在（0，）单调递减，在（，1），（1，+∞）单调递增，

∴在（0，1）时，h（x）有极小值；在（1，+∞）时，..

∴h（x）的图象如图：

∴时，f（x）零点个数为0；，f（x）零点个数为1；时，f（x）零点个数为2，..

22．在直角坐标系xOy中，直线l过点，倾斜角为α．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求曲线C的直角坐标方程，并写出l的一个参数方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求cosα．

【答案】(1)，，（t为参数）

(2)

【分析】(1)利用，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，根据直线l过点，倾斜角为α的条件，写出其参数方程；(2)利用直线的参数方程的参数的几何意义表示关系，由此可求cosα．

【详解】(1)因为，，，

所以曲线C的直角坐标方程为．

因为直线l过点，倾斜角为α，所以其参数方程为，（t为参数）．

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，

，整理得．

设A，B两点对应的参数分别为，，则因为，所以．

所以解得或所以．

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的最大值为m，正数a，b，c满足，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）分别讨论,,时的解析式,进而求解即可；

（2）先将解析式写为分段函数形式,求得的最大值为3,即,再由柯西不等式求证即可.

【详解】（1）当时,,

由,得,解得,此时；

当时,,

由,得,解得,此时；

当时,,

此时不等式无解,

综上所述,不等式的解集为

（2）证明:由（1）可知,

当时,；

当时,；

当时,,

所以函数的最大值为,则.

由柯西不等式可得,

即,即,

当且仅当时等号成立,

因此.

【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式,考查利用柯西不等式证明不等式.