高考数学一轮复习考点规范练14导数的概念意义及运算含解析新人教版

考点规范练14　导数的概念、意义及运算

一、基础巩固

1.已知函数f(x)=+1,则的值为(　　)

A.- B C D.0

答案:A

解析:=-=-f'(1)=-=-

2.(多选)下列各式正确的是(　　)

A.(x-5)'=-5x-6 B.(cosx)'=sin x

C.(sin x)'=cosx D'=cos

答案:AC

解析:(x-5)'=-5x-6,A正确;(cosx)'=-sinx,B错误;(sinx)'=cosx,C正确;'=0,D错误.

3.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是 (　　)

A.y=2x-1 B.y=x

C.y=3x-2 D.y=-2x+3

答案:C

解析:令2-x=t,可得x=2-t,

代入f(2-x)=2x2-7x+6,得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,

化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,

则f'(x)=4x-1,可得f(1)=1,f'(1)=3,

故所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.

4.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)等于(　　)

A.-1 B.0 

C.2 D.4

答案:B

解析:由题图可知曲线y=f(x)在点(3,f(3))处切线的斜率等于-,故f'(3)=-

∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x),

∴g'(3)=f(3)+3f'(3).

又由题图可知f(3)=1,∴g'(3)=1+3=0.

5.已知曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为(　　)

A.(1,3) B.(-1,3)

C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)

答案:C

解析:∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.

设点P(x,y),则f'(x)=2,

即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,

故P(1,3)或(-1,3).

经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.

6.(2021山东滨州二模)设曲线y=e2ax(e=2.718…为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线及直线2x-y-1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则a等于(　　)

A.-1 B.- C D.1

答案:B

解析:由题意,令函数f(x)=e2ax,可得f'(x)=2ae2ax,则f'(0)=2a,

即曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线的斜率为k=2a,

所以切线方程为y-1=2ax,即y=2ax+1,

要使得切线与直线2x-y-1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则满足两直线垂直,即2a×2=-1,解得a=-

7.已知函数f(x)=-x2+2xf'(2 021)+2 021ln x,则f'(2 021)=　　　　　. 

答案:2 020

解析:由题意,得f'(x)=-x+2f'(2021)+,

因此有f'(2021)=-2021+2f'(2021)+,所以f'(2021)=2020.

8.设函数f(x)=若f'(1)=,则a=　　　　　. 

答案:1

解析:对函数f(x)=求导得f'(x)=,由题意得f'(1)=,解得a=1.

9.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为　　　　　. 

答案:4

解析:由导数的几何意义及条件,得g'(1)=2.

∵函数f(x)=g(x)+x2,

∴f'(x)=g'(x)+2x,

∴f'(1)=g'(1)+2=4,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为4.

10.(2021广东广州二模)已知函数f(x)=,且f'(1)=1,则a=　　　　　,曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为　　　　　. 

答案:0　y=

解析:由f(x)=,得f'(x)=

因为f'(1)=1,即=1,解得a=0,所以f(x)=,f'(x)=,

所以f(e)=,f'(e)=0,所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=

11.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案:[2,+∞)

解析:∵f(x)=x2-ax+lnx(x>0),

∴f'(x)=x-a+

∵f(x)存在垂直于y轴的切线,∴f'(x)存在零点,

∴x+-a=0有解,∴a=x+2,

当且仅当x=1时,取等号.

12.(2021广西桂林、崇左、贺州模拟)设曲线y=lnx与y=(x+a)2有一条斜率为1的公切线,则a=　　　　. 

答案:-

解析:因为y=lnx,所以y'=

又因为切线的斜率为1,所以y'==1,解得x=1,y=0,所以切线方程为y=x-1.

因为y=(x+a)2,所以y'=2x+2a,令y'=1,解得x=-a,

代入切线方程得y=--a,再将代入y=(x+a)2,

解得a=-

二、综合应用

13.若函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是(　　)

答案:D

解析:由y=f'(x)的图象知y=f'(x)在区间(0,+∞)内单调递减,

说明函数y=f(x)图象的切线的斜率在区间(0,+∞)内也单调递减,故可排除A,C.

又由图象知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,

说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.

14.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为(　　)

A.1 B 

C D

答案:B

解析:因为函数y=x2-lnx的定义域为(0,+∞),所以y'=2x-(x>0).令2x-=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=故所求的最小值为

15.(多选)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,则下列函数中具有T性质的是(　　)

A.y=cosx B.y=lnx 

C.y=ex D.y=x2

答案:AD

解析:由题意,若y=f(x)具有T性质,则存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1.

对于选项A,因为f'(x)=-sinx,所以存在x1=,x2=-,使得f'(x1)f'(x2)=-1;

对于选项B,因为f'(x)=>0,所以不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1;

对于选项C,因为f'(x)=ex>0,所以不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1;

对于选项D,因为f'(x)=2x,所以存在x1=1,x2=-,使得f'(x1)f'(x2)=4x1x2=-1.故选AD.

16.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=ex+x2+1,则函数h(x)=2f(x)-g(x)的图象在点(0,h(0))处的切线方程是　　　　　　　　　　. 

答案:x-y+4=0

解析:∵f(x)-g(x)=ex+x2+1,且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,

∴f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e-x+x2+1,

∴f(x)=,g(x)=,

∴h(x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-ex+e-x+2x2+2,

∴h'(x)=ex-e-x+4x,即h'(0)==1.

又h(0)=4,∴切线方程为x-y+4=0.

三、探究创新

17.(2021云南红河三模)定义:函数f(x)在区间(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在区间(a,b)上的导函数为f″(x),若在区间(a,b)上f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)是在区间(a,b)上的“严格凸函数”,称区间(a,b)为函数f(x)的“严格凸区间”,则下列命题是真命题的为　　　　　.(填序号) 

①函数f(x)=-x3+3x2+2在区间(1,+∞)上为“严格凸函数”;

②函数f(x)=的“严格凸区间”为(0,);

③若函数f(x)=ex-x2在区间(1,4)上为“严格凸函数”,则实数m的取值范围为[e,+∞).

答案:①②

解析:f(x)=-x3+3x2+2的导函数f'(x)=-3x2+6x,f″(x)=-6x+6,

故f″(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立,所以函数f(x)=-x3+3x2+2在区间(1,+∞)上为“严格凸函数”,

所以①为真命题;

f(x)=的导函数f'(x)=,f″(x)=,由f″(x)<0可得2lnx-3<0,

解得x,所以函数f(x)=的“严格凸区间”为,所以②为真命题;

f(x)=ex-x2的导函数f'(x)=ex-mx,f″(x)=ex-m,

因为f(x)为区间(1,4)上的“严格凸函数”,所以f″(x)<0在区间(1,4)上恒成立,

所以ex-m<0在区间(1,4)上恒成立,即m>ex在区间(1,4)上恒成立,故m≥e4,所以③为假命题.