【备战2023高考】数学总复习——第03讲《抛物线》练习（全国通用）

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第03讲 抛物线（练）

一、单选题
1．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（    ）.
A． B． C．或 D．4或
【答案】C
【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线开口向左，
依题意，抛物线上的点与点间的距离为3，
所以，抛物线方程为，
令，得，解得，
故选：C
2．已知函数抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，直线交轴于点，若 ，则点到焦点的距离为（    ）
A．5 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】过点P作x轴的垂线，可知，由此结合可得，求得，即可求得答案.
【详解】如图，不妨设点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为N，则,

由题意知， ，即，
因为 ，所以 ,
故,
所以点P到准线的距离为,即点到焦点的距离为5，
故选：A .
3．已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A，B两点，点A在l上的投影为D.若，则（    ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】过点作，垂足为点，作，垂足为点，分析出点为的中点，利用抛物线的定义可求得结果.
【详解】过点作，垂足为点，作，垂足为点，

，所以，四边形为矩形，所以，，
因为，所以，，故，
由抛物线的定义可得，，所以，，
即.故选：A.
4．过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】作图分析，根据抛物线的图形特点结合直线与抛物线的位置关系，可得答案.
【详解】如图示，过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，

符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的直线，其中包含y轴，另一条是与抛物线对称轴平行的直线，
故选：D
5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的性质进行求解即可.
【详解】由可知该抛物线的焦点坐标为，设，准线方程为，
设，垂足为，
因为点是抛物线上一动点，
所以点到抛物线准线的距离等于，当三点在同一条直线上时，点到点的距离与到抛物线准线的距离之和最小，最小值为，
故选：D

6．已知均为抛物线上的点，为的焦点，且，则直线的斜率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当直线 的斜率大于0时，过作准线的垂线，作，根据，设，推出，的值,计算，同理计算当直线 的斜率小于0时的，即得答案.
【详解】当直线 的斜率大于0时，如图，过作准线l的垂线，

垂足分别为 ，过B作为垂足,
因为 ，所以可设 ，
因为均在C上，所以,
,故，
则，
当直线的斜率小于时，同理可得，
故直线的斜率为，
故选：A.
7．已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设的中点为M，根据求出r，进而得到M点横坐标；再设直线，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k．
【详解】设的中点为M，轴于点N，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，如下图：

由抛物线的定义知，
故，
所以，
即，
解得或（舍去），
故M的横坐标为，
设直线，
将代入，
得，
则，
解得，
故直线l的方程为．
故选：C．
8．已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则的面积为（    ）
A．8 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，进而根据几何关系得为等边三角形，，再计算面积即可.
【详解】解：如图，过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，
所以，，．
因为，
所以，，．
所以，．
又因为，
所以，所以为等边三角形，
所以．
若在第三象限，结果相同．
故选：C

二、填空题
9．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.
【答案】2
【分析】结合图像，可知且|AB|≤|AF|＋|BF|，由此可得|MM1|≥3，进而可求得AB的中点到x轴的最短距离为2.
【详解】由题意知，抛物线的准线l：，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，如图，
设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则，
因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，
又，所以|AA1|＋|BB1|≥6，即2|MM1|≥6，故|MM1|≥3，
所以点M到x轴的距离，故最短距离为2.
故答案为：2.

10．抛物线的准线恰好平分圆的周长，则______．
【答案】
【分析】根据抛物线的准线经过圆的圆心求得.
【详解】抛物线的准线为，
圆，则圆心坐标为，
所以，解得．
故答案为：
11．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，以F为圆心作圆与C交于A，B两点，与l交于D、E两点，若，则F到l的距离为________．
【答案】2
【分析】根据题意分析求出点A的坐标，代入抛物线的方程求，即可得出F到l的距离.
【详解】设与x轴的交点分别为，则，即点，
∴，解得或（舍去），
故F到l的距离为2.
故答案为：2.


三、解答题
12．已知抛物线C：与直线相切．
(1)求C的方程；
(2)过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程．
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）联立方程利用运算求解；（2）分析可得，设l的方程为，联立方程结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）联立方程，消去x得，
∵抛物线C与直线相切，则，解得或（舍去）
故抛物线的方程C：.
（2）设l的方程为，则线段AB的中点，
过作抛物线的准线的垂线，垂足为N，则，即，
∵，则，即，
∴，
联立方程，消去x得，
，
则，AB的中垂线的方程为，
∴，则，
即，解得，
故l的方程为或.



一、单选题
1．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则下列结论错误的是（    ）
A．y1y2＝－1
B．
C．PB平分∠ABQ
D．延长AO交直线x＝－于点C，则C，B，Q三点共线
【答案】A
【分析】对于A，利用轴可得点纵坐标，进而求得，从而求得直线的方程，联立抛物线方程，由韦达定理可求得；
对于B，结合A中结论易得，从而求得，再由两点距离公式即可求得；
对于C，先求，得到∠ABP＝∠APB，再由平行线内错角相等得到∠PBQ＝∠APB，从而可知PB平分∠ABQ；
对于D，联立方程求得，由纵坐标相等可知C，B，Q三点共线.
【详解】对于A，设抛物线的焦点为F，则，
因为，且轴，
所以A的纵坐标为，代入抛物线 得，故，
故直线AF（即直线）为，
联立，消去，得，故，故A错误；
对于B，又y1＝1，故，故，
故，故B正确；
对于C，因为，故为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，
而，故∠PBQ＝∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正确；
对于D，易得直线AO为y＝x，联立，解得，故，
故，所以C，B，Q三点共线，故D正确.
故选：A.
.
2．已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（    ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】设（）且直线，联立抛物线应用韦达定理，结合向量数量积的坐标表示求得，进而可得，最后应用基本不等式求最小值，注意取值条件.
【详解】
设（）且直线，联立抛物线得，
由，而，所以，得或，
又A，B位于x轴的两侧，故，故，
由，且过定点，
又，，
所以，当且仅当时等号成立.
故与面积之和的最小值是.
故选：D
3．已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线的方程，代入的方程，设，根据根与系数关系即可得出与的关系，通过抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知，代入即可转化为关于的二元一次方程，即可求解.
【详解】由题意知的方程为，代入的方程，得，设，则；因为，且，所以32，整理得，所以，结合，解得.
故选：D.
4．抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点做直线与此抛物线交于，两点，若，则（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据抛物线标准方程，得到焦点坐标和准线方程，设出直线方程，联立抛物线方程，整理得到关于的一元二次方程，根据垂直，得到点的横坐标，根据韦达定理，得到的横坐标，在由抛物线的定义，可得答案.
【详解】由，则焦点，且准线方程为直线，即，
设过点的直线方程为，联立抛物线可得：，
消去可得：，化简得：，
因为，且直线过点，所以，
即点位于以线段为直径的圆上，
易知以线段为直径的圆的方程为，
将代入上式，可得，解得，（舍去），
则点的横坐标，设点的横坐标，
由韦达定理可得：，则，
根据抛物线的定义，可得，，
则，
故选：B.
5．已知抛物线：，圆：，过点的直线与圆交于，两点，交抛物线于，两点，则满足的直线有三条的的值不可能是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】当直线斜率不存在时，直线方程为：与抛物线交于点，与圆交于点.当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，再联立直线与圆的方程，结合，，然后转化为求解直线的条数.
【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：
与抛物线交于点，与圆交于点，显然满足条件；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
由得，设，，，
由韦达定理可得，，
由，
设，，，，
有，，
当时，即，
又因为，所以(舍)
当时，即，
因为，，
由此，，解得，
显然，当，有两解，对应直线有两条.，，此时直线斜率不存在，即为第一种情况，所以当时，对应直线有三条.
故选：A
6．如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有，再将目标式转化为，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件.
【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)，
由直线PQ过抛物线的焦点，则，
圆C2：圆心为(2,0)，半径1，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为13.
故选：D
7．已知抛物线）的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q.则下列四个命题中正确的个数是（    ）个.
①；
②若M（1，1），P是抛物线上一动点，则的最小值为；
③（O为坐标原点）的面积为.；
④，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用求得，然后结合导数、抛物线的定义、三角形的面积、两角差的正切公式对命题进行分析，从而确定正确答案.
【详解】抛物线的焦点为，
直线的方程为，设，
由消去并化简得，.
，
由得，
所以抛物线方程，，
不妨设在第一象限，在第二象限，则，
，设，
，设，
所以，所以，①正确.
到抛物线准线的距离为，结合抛物线的定义可知，的最小值是，②正确.
到直线的距离为，所以，③错误.
，






，④正确.
所以正确的有个.
故选：C
8．过点的直线与抛物线：交于，两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若的面积是的面积的2倍，则（    ）
A． B． C．10 D．17
【答案】C
【分析】设出直线方程，与抛物线联立得到两根之和，两根之积，利用面积之比得到线段之比，进而得到关系式，结合韦达定理求出，从而求出.
【详解】由题意得：，设直线：，与抛物线联立得：，则，，抛物线准线方程为：，则，所以，由可得：，即，又，故，所以，由可得：，整理得：，解得：，.

故选：C
二、填空题
9．过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过拋物线的焦点，那么的最小值为_________．
【答案】16
【分析】设，写出以为切点的切线方程，由判别式求出切线斜率，得到以为切点的切线方程，同理求出以为切点的切线方程，结合在两条切线上得直线的方程，联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系，结合抛物线定义得出结果．
【详解】设，，以为切点的切线斜率为，
则以为切点的切线方程为，
与抛物线联立，得，
由，即，
则，即，解得，
则以为切点的切线方程为，即，，整理得；
同理，设，，则以为切点的切线斜率为，
以为切点的切线方程为，
又因为在切线和，
所以，，
所以直线的方程，
又因为直线经过抛物线的焦点，
所以令得，即，，
所以抛物线方程为，直线的方程，
联立，消去得，
∴，
∴，
，
∵，∴，
所以，
则当时，取最小值16．
故答案为：16．
10．在直线l：上取一点D做抛物线C：的切线，切点分别为A，B，直线AB与圆E：交于M，N两点，当│MN│最小时，D的横坐标是______．
【答案】1
【分析】联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理，根据切线联立求交点，可得直线方程中的截距，可得直线过定点，根据圆中弦最小的情况，得到直线的斜率，可得最后答案.
【详解】设，且直线的方程为，
联立抛物线，可得，消去可得：，
根据韦达定理可得：，
由抛物线，求导可得：，
过的切线方程为，
过的切线方程为，
联立上式，可得：，
消去整理可得：，
两式相减整理可得：，
因为，所以，且，根据题意，可得，即，
则直线的方程为，由此该直线过定点，
由圆E：，可得，可得，
易知当时，│MN│取最小，可得直线的方程为，
所以点的横坐标.故答案为：.
三、解答题
11．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，不同的两点，点在抛物线的准线上，且//轴.
(1)证明：；
(2)判断直线是否经过坐标原点，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)直线是经过坐标原点，理由见解析.
【分析】（1)先设出直线方程（注意考虑斜率的存在性），再将直线与抛物线联立，运用韦达定理解决问题
（2)当斜率不存在时，直线 此时, , ,可证直线经过原点．当斜率存在时，设直线方程为： 与抛物线联立，运用韦达定理可求得k，进而求得直线的方程，证明直线经过原点.
【详解】（1）当斜率不存在时，直线，此时，，则；
当斜率存在时，与抛物线交于，不同的两点，
设直线方程为： ，
联立得： ，整理得：,，
所以，
综上所述；
（2）当直线l斜率不存在时，直线 ，此时，，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，故直线经过原点；
当斜率l存在且不为0时，设直线方程为：，
设 ，，
由（1）知，
所以直线的斜率为 ，
所以直线的方程为，即，
所以直线经过原点，
综上所述，直线经过原点.
四、双空题
12．过抛物线（）的焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，，为抛物线C上一动点，抛物线的方程为______；的最小值为______.
【答案】     ；     .
【分析】设直线方程并联立抛物线方程求，，应用弦长公式列方程求，即可得抛物线方程，由的几何意义，将问题转化为到直线距离最小，应用点线距离公式求最小值即可.
【详解】由题设，，则，联立抛物线可得，
所以，，故，
所以，由有，则，故抛物线方程.
由表示上点到直线与y轴距离之和，

如上图，，要使目标式最小，只需共线且到直线距离最小，即，
所以.
故答案为：1；


一、单选题
1．（2022·天津·高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
2．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
3．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
4．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
5．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.
【详解】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.
6．（2020·全国·高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
二、填空题
7．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于______.
【答案】
【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.
【详解】由题意知：
抛物线方程为：
在抛物线上，所以
在双曲线上，

，又，
故答案为：
8．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【答案】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，

因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
9．（2020·海南·高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得   
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.


故答案为：