2023届高三数学一轮复习大题专练06导数零点个数问题2

一轮大题专练6—导数（零点个数问题2）

1．已知函数．

（1）证明：有唯一极值点；

（2）讨论的零点个数．

解：（1）．

设，则，故单调递增．

又，．

故存在唯一，使得．

当时，，单调递减；当时，，单调递增．

故是的唯一极值点；

（2）由（1）是的极小值点，且满足．

又；

同理．

故时，有两个零点；时，有一个零点；时，无零点．

又

令，解得，即．

令，

此时关于单调递增，故．

令，解得，即．

此时，故

令，解得，即．

此时关于单调递增，故．

综上所述：当时，有两个零点；

当时，有一个零点；

当时，无零点．

2．已知函数．

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）画出函数的大致图象，并说明理由；

（3）求函数的零点的个数．

解：（1）函数，定义域为，则，

令，解得，

当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，

故当时，函数有极小值，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，有极小值，，无极大值；

（2）令，解得，当时，，当时，，

所以的图象经过特殊点，，，

当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸式增长，增长速度更快，

结合（1）中的单调性与极值情况，作出函数的图象如图所示：

（3）函数的零点的个数为函数的图象与直线的交点个数，

由（1）以及（2）的图象可知，当时，有极小值，

结合函数的图象，所以关于函数的零点的个数如下：

当时，零点的个数为0个；

当或时，零点的个数为1个；

当时，零点的个数为2个．

3．已知函数．

（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（2）当时，讨论函数的零点个数，并给予证明．

解：（1），

由题意得，即在区间上恒成立，

当时，，所以，

故实数的取值范围是，．

（2）由已知得，则，

当时，，函数单调递减，

又，（1），故函数有且只有一个零点．

当时，令，得，函数单调递减；

令，得，函数单调递增，

而，在上恒成立），

由于，所以，

所以在，上存在一个零点，

又，且，

设（a），（a）在恒成立，

故（a）在上单调递增，

而，所以（a）在上恒成立，所以，

所以在，上存在一个零点．

综上所述，当时，函数有且只有一个零点；

当时，有两个零点．

4．已知函数，其中，．

（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；

（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；

（3）讨论函数在，上零点的个数．

解：（1）时，，，，

，，，

故切线方程是：；

（2），

设，，

故递减，，

又时，，

①若，即时，使，

当时，，递增，

当，时，，递减，

在处取极大值，不存在极小值，

②若，即，，

在，递增，此时无极值，

（3）由（2）可知：

若时，由上问可知：

，

即时函数没有零点，

若时，，时，递增，

，时，递减，

由得，从而，

再设，则从而关于递增，

①若，，此时，，

若得或，

时无零点，

得，

时有1个零点，

当时，，，有1个零点，

因此时无零点，时有1个零点；

②，，此时，，

，，

，

设，则，

故，

若即，即时无零点，

若即，即时有1个零点，

综上，，，时无零点，

，时有1个零点．

5．设，．

（1）讨论在，上的单调性；

（2）令，试判断在上的零点个数，并加以证明．

解：（1），

令，则，或，

时，，单调递增，

，时，，单调递减，

时，，单调递增，

，时，，单调递减，

综上，的单调递增区间为和，

单调递减区间为，和，．

（2）在上有3个零点，证明如下：

，则，

故是的一个零点，

，

是偶函数，

要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，

①当时，，

令，即，，

时，，单调递减，，

，时，，单调递增，，

在有唯一零点．

②当时，由于，，，

而在，单调递增，，故，

故在，无零点，

在有一个零点，

由于是偶函数，在有一个零点，而，

故在上有且仅有3个零点．

6．已知函数的图象在点处的切线方程为．

（1）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；

（2）若函数在区间内有3个零点，求实数的范围．

解：（1），．

函数的图象在点处的切线的方程为．

（1），（1），

，解得，．

．

，

，．

当时，函数取得最大值，．

对任意有恒成立，．

．

实数的取值范围是，．

（2）由（1）可得：

，

，

令，解得，1．

列表如下：

由表格可知：当时，函数取得极小值（1）；当时，函数取得极大值

．

要满足函数在区间内有3个零点，

，

解得，

则实数的取值范围．