北京市房山区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份北京市房山区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市房山区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共24分，每题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（3分）分式有意义的条件是（　　）
A．x≠1 B．x＝1 C．x≠0 D．x＝0
2．（3分）9的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．81
3．（3分）如果将分式中的字母x，y的值分别扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．不改变 B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
4．（3分）有长分别为2cm，3cm，4cm，5cm的四根木棍，用其中的三根首尾顺次相接不能组成三角形的是（　　）
A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm
C．2cm，4cm，5cm D．3cm，4cm，5cm
5．（3分）下列根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a＜﹣2 B．b＜1 C．﹣a＞b D．﹣a＜﹣b
7．（3分）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．用f，v表示物体到镜头的距离u，正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）的相反数是　 　．
10．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
11．（2分）请写出一个大于2的无理数：　 　．
12．（2分）若分式的值为0，则x的值为 　 　．
13．（2分）如果三角形的两条边长分别为4cm和9cm，第三边与其中一边的长相等，那么第三边的长为 　 　cm．
14．（2分）若实数a，b满足，则a+b的值为 　 　．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝50°，BD平分∠ABC，ED∥BC，则∠BDE＝　 　°．

16．（2分）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中．通常一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格中只有200个方格作为数据码，根据相关的数学知识，这200个方格可生成2200个不同的数据二维码．下列结论：
①2200就是2个200相乘；
②2200就是400个相乘，它是一个非常非常大的数；
③2200的个位数字是6；
④因为＝210＝1024，103＝1000，所以估计比1060大．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
三、解答题（共60分，第17-18题，每题4分，第19-26题，每题5分，第27-28题，每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（4分）计算：．
18．（4分）计算：．
19．（5分）计算：．
20．（5分）计算：．
21．（5分）计算：．
22．（5分）解方程：＝．
23．（5分）解方程：＝3．
24．（5分）已知：x2﹣3x＝4，求代数式的值．
25．（5分）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形三个内角的和等于180°”为主题开展数学活动．某小组三位同学在纸上画出三角形并剪下，然后通过观察、实验的方法得到了“三角形三个内角的和等于180°”的结论，实验方法如下：
实验方法1：将∠A，∠B撕下，然后拼接摆放如图．

实验方法2：将∠B，∠C撕下，然后拼接摆放如图．

实验方法3：将∠A撕下，然后把点A和点C重合拼接摆放如图．

受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：方法1的拼接方法直观上看，是把∠A和∠B移动到∠C的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用所学过的知识就可以解决问题了．
小明的证明过程如下：
已知：如图△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°

证明：延长BC到D，过点C作CM∥AB．
∵CM∥AB，
∴∠A＝∠　 　（两直线平行，内错角相等），∠B＝∠2（ 　 　）．
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角定义）．
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．
请你参考小明解决问题的方法1的思路，从方法2和方法3中任选一种，画图并标注字母，写出证明该结论的过程．




26．（5分）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
27．（6分）△ABC中，∠C＝45°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE＝α．

（1）如图1，若点P在线段BA上，且α＝30°，则∠PEB+∠PDA＝　 　°；
（2）当点P在线段BA上运动时，依题意补全图2，用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示），并证明；
（3）当点P在线段BA的延长线上运动时，请直接用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示）．

28．（6分）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，AB表示A，B两点之间的距离．若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C为点A，B的“n节点”．例如图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A，B的“4节点”
（1）若点C为点A，B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝　 　；
（2）若点D为点A，B的'节点”，请直接写出点D在数轴上表示的数为 　 　；
（3）若点E在数轴上（不与A，B重合），满足A，E两点之间的距离是B，E两点之间的距离的倍，且点E为点A，B的“n节点”，求n的值．


2022-2023学年北京市房山区八年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共24分，每题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（3分）分式有意义的条件是（　　）
A．x≠1 B．x＝1 C．x≠0 D．x＝0
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．
【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故选：A．
2．（3分）9的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．81
【分析】直接根据平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根为±3．
故选：A．
3．（3分）如果将分式中的字母x，y的值分别扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．不改变 B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
＝，
∴如果将分式中的字母x，y的值分别扩大为原来的2倍，那么分式的值不改变，
故选：A．
4．（3分）有长分别为2cm，3cm，4cm，5cm的四根木棍，用其中的三根首尾顺次相接不能组成三角形的是（　　）
A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm
C．2cm，4cm，5cm D．3cm，4cm，5cm
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断．
【解答】解：A、2+3＞4，故能构成三角形，不符合题意；
B、2+3＝5，不能构成三角形，符合题意；
C、2+4＞5，能组成三角形，不符合题意；
D、3+4＞5，故能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
5．（3分）下列根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A．＝，故此选项不合题意；
B．＝2，故此选项不合题意；
C．＝|a|，故此选项不合题意；
D．，是最简二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a＜﹣2 B．b＜1 C．﹣a＞b D．﹣a＜﹣b
【分析】先根据数轴得出a，b的范围，再结合排除法求解．
【解答】解：由题意得：﹣2＜a＜﹣1＜1＜b＜2，
∴﹣a＞1，﹣b＜﹣1，
∴﹣a＞b，
根据排除法，﹣a＞b，
故选：C．
7．（3分）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．用f，v表示物体到镜头的距离u，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用分式的基本性质，把等式＝+（v≠f）恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
【解答】解：∵＝+，
∴＝﹣＝，
∴u＝，
故选：B．
8．（3分）定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
【分析】分别算出各分式的差与积，再由和谐分式的定义即可得出结论．
【解答】解：∵﹣＝＝，•＝，
∴和不是和谐分式，故A不符合题意；
∵﹣＝＝，•＝，
∴和不是和谐分式，故B不符合题意；
∵﹣＝＝，•＝，
∴•＝（﹣），故C符合题意；
﹣＝＝，•＝，
∴和不是和谐分式，故D不符合题意．
故选C．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）的相反数是　﹣　．
【分析】根据相反数的意义，可得答案．
【解答】解：的相反数是﹣，
故答案为：﹣．
10．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　x≥7　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣7≥0，
解得：x≥7，
故答案为：x≥7．
11．（2分）请写出一个大于2的无理数：　如（答案不唯一）　．
【分析】首先2可以写成，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解．
【解答】解：大于2的无理数有：
须使被开方数大于4即可，如（答案不唯一）．
12．（2分）若分式的值为0，则x的值为 　﹣5　．
【分析】根据分式值为零的条件，可得：x+5＝0且x﹣1≠0，据此求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x+5＝0且x﹣1≠0，
解得x＝﹣5．
故答案为：﹣5．
13．（2分）如果三角形的两条边长分别为4cm和9cm，第三边与其中一边的长相等，那么第三边的长为 　9　cm．
【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边即可求解．
【解答】解：设第三边的长为xcm，
满足9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13．
因而第三边的长为9cm．
故答案为：9．
14．（2分）若实数a，b满足，则a+b的值为 　4　．
【分析】根据算术平方根和偶次方的非负数的性质可得a、b的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵，，（b﹣5）2≥0，
∴a+1＝0，b﹣5＝0．
解得a＝﹣1，b＝5，
∴a+b＝﹣1+5＝4．
故答案为：4．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝50°，BD平分∠ABC，ED∥BC，则∠BDE＝　30　°．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线定义求出∠ABD，根据平行线的性质得出∠BDE＝∠ABD即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD＝30°，
故答案为：30．
16．（2分）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中．通常一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格中只有200个方格作为数据码，根据相关的数学知识，这200个方格可生成2200个不同的数据二维码．下列结论：
①2200就是2个200相乘；
②2200就是400个相乘，它是一个非常非常大的数；
③2200的个位数字是6；
④因为＝210＝1024，103＝1000，所以估计比1060大．
其中所有正确结论的序号是 　②③④　．
【分析】由乘方的概念即可判断．
【解答】解：2200是200个2相乘，故①不符合题意；
2200就是400个相乘，它是一个非常非常大的数，正确，故②符合题意；
∵2n的个位是2，4，8，6循环，
∵200÷4＝50，
∴2200的个位数字是6，故②符合题意；
∵＝210＝1024，103＝1000，
∴估计比1060大，故④符合题意，
故答案为：②③④．
三、解答题（共60分，第17-18题，每题4分，第19-26题，每题5分，第27-28题，每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（4分）计算：．
【分析】先计算平方根、绝对值和零次幂，再计算加减．
【解答】解：
＝2﹣1+
＝3﹣1．
18．（4分）计算：．
【分析】原式先算乘方，再算乘除即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣••
＝﹣．
19．（5分）计算：．
【分析】原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝
＝﹣
＝﹣1．
20．（5分）计算：．
【分析】先算乘法，再算加减即可．
【解答】解：
＝2×2
＝6+．
21．（5分）计算：．
【分析】先算完全平方，乘法，再算加减即可．
【解答】解：
＝3+2+5﹣
＝11+．
22．（5分）解方程：＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：5（x+3）＝2x，
解得：x＝﹣5，
检验：把x＝﹣5代入得：x（x+3）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣5．
23．（5分）解方程：＝3．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+x﹣4＝3（x﹣2），
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
24．（5分）已知：x2﹣3x＝4，求代数式的值．
【分析】先解方程求得x，再根据分式有意义的条件得到x的值，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵x2﹣3x＝4，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
∴（x+1）（x﹣4）＝0，
解得x1＝﹣1（不合题意舍去），x2＝4，
∴
＝+﹣
＝++1
＝++1
＝++1
＝．
25．（5分）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形三个内角的和等于180°”为主题开展数学活动．某小组三位同学在纸上画出三角形并剪下，然后通过观察、实验的方法得到了“三角形三个内角的和等于180°”的结论，实验方法如下：
实验方法1：将∠A，∠B撕下，然后拼接摆放如图．

实验方法2：将∠B，∠C撕下，然后拼接摆放如图．

实验方法3：将∠A撕下，然后把点A和点C重合拼接摆放如图．

受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：方法1的拼接方法直观上看，是把∠A和∠B移动到∠C的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用所学过的知识就可以解决问题了．
小明的证明过程如下：
已知：如图△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°

证明：延长BC到D，过点C作CM∥AB．
∵CM∥AB，
∴∠A＝∠　1　（两直线平行，内错角相等），∠B＝∠2（ 　两直线平行，同位角相等　）．
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角定义）．
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．
请你参考小明解决问题的方法1的思路，从方法2和方法3中任选一种，画图并标注字母，写出证明该结论的过程．




【分析】根据平行线的性质得到∠A＝∠1，∠B＝∠2，再利用平角的定义得到∠1+∠2+∠ACB＝180°，从而得到∠A+∠B+∠ACB＝180°；
选择实验方法3进行证明，过C点作AB的平行线CM，如图1，根据平行线的性质得到∠A＝∠ACM，∠B+∠BCM＝180°，即∠B+∠ACB+∠ACM＝180°，然后利用等量代换得到∠A+∠B+∠ACB＝180°．
【解答】证明：延长BC到D，过点C作CM∥AB，
∵CM∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2，
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；
故答案为：1；两直线平行，同位角相等；
选择实验方法3进行证明：
已知：如图△ABC，
求证：∠A+∠B+∠C＝180°
证明：过C点作AB的平行线CM，如图1，
∵CM∥AB，
∴∠A＝∠ACM，∠B+∠BCM＝180°，
即∠B+∠ACB+∠ACM＝180°，
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．


26．（5分）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，由题意：若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，则燃油车平均每公里的加油费为（x+0.6）元，
根据题意，得：＝×4，
解得：x＝0.2，
经检验，x＝0.2是原方程的解，且符合题意，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．
27．（6分）△ABC中，∠C＝45°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE＝α．

（1）如图1，若点P在线段BA上，且α＝30°，则∠PEB+∠PDA＝　75　°；
（2）当点P在线段BA上运动时，依题意补全图2，用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示），并证明；
（3）当点P在线段BA的延长线上运动时，请直接用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示）．

【分析】（1）连接PC，由三角形的外角性质即可得出结论；
（2）根据题意画出图形，由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）分三种情况讨论，由三角形的外角性质即可得出结论．
【解答】解；（1）∠PEB+∠PDA＝90°；理由如下；
连接PC，如图1所示

∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB＝∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角，
∴∠PDA＝∠1+∠2，
∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ACB+∠DPE＝45°+30°＝75°；
故答案为：75；
（2）补全图形如图2所示；

∠PEB+∠PDA＝45°+α，证明如下：
连接PC，如图3所示：

∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB＝∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角，
∴∠PDA＝∠1+∠2，
∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ACB+∠DPE＝45°+α；
∴∠PEB+∠PDA＝45°+α；
（3）分三种情况：
①如图4所示：

连接PC，
由三角形的外角性质得：
∠PEB＝∠ACB+∠PCA+∠CPD+∠DPE，∠PDA＝∠PCA+∠CPD，
∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB+∠DPE＝45°+α，
即∠PEB﹣∠PDA＝45°+α；
②如图5所示：

连接PC，
由三角形的外角性质得：
∠PEB＝∠ACB+∠PCA+∠CPE，∠PDA＝∠PCA+∠CPE+∠DPE，
∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB﹣∠DPE＝45°﹣α，
即∠PEB﹣∠PDA＝45°﹣α；
③如图6所示：P、D、E在同一条直线上，连接PC，

由三角形的外角性质得：
∠PEB＝∠ACB+∠PCA+∠CPE，∠PDA＝∠PCA+∠CPE，
∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB＝45°；
综上所述：如果点P在线段BA的延长线上运动，
∠PEB与∠PDA之间的数量关系是45°+α或45°﹣α或45°．
28．（6分）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，AB表示A，B两点之间的距离．若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C为点A，B的“n节点”．例如图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A，B的“4节点”
（1）若点C为点A，B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝　6　；
（2）若点D为点A，B的'节点”，请直接写出点D在数轴上表示的数为 　±2　；
（3）若点E在数轴上（不与A，B重合），满足A，E两点之间的距离是B，E两点之间的距离的倍，且点E为点A，B的“n节点”，求n的值．

【分析】（1）根据新定义求解；
（2）设未知数，根据新定义列方程求解；
（3）先求点E表示的数，再计算n的值．
【解答】解：（1）AC+BC＝（﹣2+3）+（2+3）＝6，
故答案为：6；
（2）设D表示的数为x，
则|x+2|+|x﹣2|＝4，
解得：x＝±2，
故答案为：±2；
（3）设E点表示的数是y，
则：|﹣2﹣y|＝|2﹣y|，
解得：y＝6，
当y＝6+4时，
n＝AE+BE＝8+4+4+4＝12+8，
当y＝6﹣4时，
n＝AE+BE＝8﹣4+4﹣4＝12﹣8，