数学九年级下册第二章 二次函数综合与测试单元测试课时练习
展开第二章 二次函数A卷 基础夯实
北师大版九年级下册数学单元测试AB卷
【满分:100分】
一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分.
1.抛物线的对称轴是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的顶点为,与y轴交于点,则该抛物线的表达式为( )
A. B. C. D.
3.抛物线经过原点和第一、二、三象限,那么下列结论成立的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
4.已知抛物线与x轴的一个交点坐标为,则代数式的值为( )
A.2018 B.2019 C.2020 D.2021
5.北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥〔如图(1)〕,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊桥,拉索与主梁相连,最高的钢拱如图(2),此钢拱(近似看成抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线形钢拱对应的函数表达式为( )
A. B. C. D.
6.若抛物线经过和两点,则n的值为( )
A. B. C.1 D.
7.竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式表示,其中(m)是物体抛出时离地面的高度,(m/s)是物体抛出时的速度某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为( )
A.23.5 m B.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m
8.已知二次函数的图像如图所示,则下列选项中不正确的是( )
A. B. C. D.
9.当时,二次函数有最大值4,则实数m的值为( )
A. B.或 C.2或 D.2或或
10.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球抛出3秒时到达最高点;②小球从抛出到落地经过的路程是80 m;③小球的高度时,或5;④小球抛出2秒后的高度是35 m.其中正确的有( )
A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③
二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分.
11.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(,且x为整数)出售,可卖出件.若使利润最大,则每件商品的售价应为__________元.
12.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与y轴交于点A,过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B,C,则BC的长为__________.
13.在平面直角坐标系中,已知和是抛物线上的两点,将抛物线向上平移n(n是正整数)个单位,使平移后的抛物线与x轴没有交点,则n的最小值为_________.
14.如图,二次函数的图像与y轴交于点C,与x轴的一个交点为,点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称.已知一次函数的图像经过A,B两点,根据图像得满足不等式的x的取值范围是___________.
15.如图,二次函数的图像中,点O为坐标原点,点A在y轴的正半轴上,点B,C在二次函数的图像上,四边形OBAC为菱形,且,则菱形OBAC的面积为_____________.
三、解答题:本题共2小题,第一小题10分,第二小题15分,共25分.
16.如图,已知抛物线的顶点坐标为,抛物线与y轴交于点,与x轴交于C,D两点.点P是抛物线上的一个动点.
(1)求此抛物线的表达式.
(2)求C,D两点坐标及的面积.
(3)若点P在x轴下方的抛物线上.满足,求点P的坐标.
17.游乐园新建的一种新型水上滑道如图,其中线段PA表示距离水面(x轴)高度为5 m的平台(点P在y轴上),滑道AB可以看作反比例函数图像的一部分,滑道BCD可以看作是二次函数图像的一部分,两滑道的连接点B为二次函数图像的顶点,且点B到水面的距离,点B到y轴的距离是5 m.当小明从上而下滑到点C时,与水面的距离,与点B的水平距离.
(1)求反比例函数的表达式及其自变量的取值范围.
(2)求整条滑道ABCD的水平距离.
(3)若小明站在平台上距y轴1 m的点M处,用水枪朝正前方“扫射”,水枪出水口N距离平台,喷出的水流为抛物线形,设这条抛物线所表示的二次函数表达式的二次项系数为p,若水流最终落在滑道BCD上(包括B,D两点),直接写出p的取值范围.
答案以及解析
1.答案:A
解析:对称轴是直线.
2.答案:A
解析:设抛物线的表达式为,把代入,得,解得,抛物线的表达式为.
3.答案:A
解析:抛物线经过原点,.
抛物线经过第一、二、三象限,
抛物线开口向上,对称轴在y轴左侧,
,,.故选A.
4.答案:D
解析:利用整体换元的思想,根据题意得,所以,所以.
5.答案:B
解析:设此抛物线钢拱对应的函数表达式为,将点的坐标代入,得,解得,所以此抛物线形钢拱对应的函数表达式为.故选B.
6.答案:A
解析:由抛物线经过和两点,可知抛物线的对称轴为直线,.将点代入函数表达式,可得.故选A.
7.答案:C
解析:由题意,得,
当时,h取得最大值,此时.故选C.
8.答案:B
解析:A选项,由图像开口向下得,故A不符合题意;B选项,如图,由图像可知点在x轴下方,故,故B符合题意;C选项,抛物线与y轴的交点在y轴正半轴,故,故C不符题意;D选项,对称轴在y轴左侧,在点右侧,故,故D不符合题意.故选B.
9.答案:C
解析:二次函数图象的对称轴为直线,①若,则当时,函数取得最大值,此时,,解得,不合题意,舍去;②若,则当时,函数取得最大值,此时,解得,不满足,;③若,则当时,函数取得最大值,此时,,解得.综上,当或时,二次函数有最大值4.故选C.
10.答案:A
解析:由图像可知,点,,在抛物线上,顶点为点.设函数表达式为.将代入得,解得,.①顶点坐标为,小球抛出3秒时到达最高点,故①正确;②小球从抛出到落地经过的路程应该为小球上升到最高点,再从最高点落下的路程,故为,故②正确;③令,则,解得,故③错误;④令,则,故④错误.综上,正确的有①②.
11.答案:25
解析:设利润为w元,则,,当时,w有最大值25.
12.答案:6
解析:在函数中,当时,,点A坐标为.把代入,解得,点B坐标为,点C坐标为.
13.答案:4
解析:点和是抛物线上的两点,
.解得.
抛物线的解析式为,顶点坐标为,
将抛物线向上平移n(n是正整数)个单位,
使平移后的抛物线与x轴没有交点,n的最小值是4.
14.答案:
解析:抛物线经过点,,抛物线对应的函数表达式为,,对称轴为直线.点B与C关于对称轴对称,满足的x的取值范围为.
15.答案:
解析:连接BC交OA于D,如图.四边形OBAC为菱形,.,,.设,则,.把代入得,解得(舍去),,,,,.菱形OBAC的面积为.
16.答案:(1)
(2),,
(3)或
解析:(1)抛物线的顶点坐标为,
设抛物线的表达式为.
把点代入,得,解得.
抛物线的表达式为.
(2)由(1)知抛物线的表达式为.
令,则,解得或,,,.
,,.
(3)由(2)知,,.
,,.
点P在x轴下方的抛物线上,点P的纵坐标为-1.抛物线的表达式为,
,解得,
或.
17.答案:(1),
(2)7 m
(3)
解析:(1)因为,点B到y轴的距离是5 m,所以点B的坐标为.设反比例函数的表达式为,则,解得.所以反比例函数的表达式为.
因为当时,,即点A的坐标为,
所以自变量x的取值范围为.
(2)由题意可知二次函数图像的顶点坐标为,点C坐标为.
设二次函数的表达式为,则,解得.所以二次函数的表达式为.
当时,解得,(舍去).
所以点D的坐标为,则.所以整条滑道ABCD的水平距离为.
(3).由题意可知点N的坐标为,且为抛物线的顶点.设水流所成抛物线的表达式为.当水流落在点时,由,解得;当水流落在点时,由,解得.的取值范围为.
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