2022-2023学年天津市和平区嘉诚中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市和平区嘉诚中学九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列关于奥运会的剪纸图形中是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知是半径为的圆的一条弦，则的长不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为(    )

A.  B. 或 C. 或 D. 或

4. 已知二次函数向左平移个单位，再向下平移个单位，得到二次函数，则和的值分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 某种药品经过了两次降价，从每盒元降到每盒元．若平均每次降低的百分率都为，则根据题意，可得方程(    )

A.  B.
C.  D.

6. 在如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是(    )
    

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

7. 如图所示，抛物线的函数表达式是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在的延长线上，连接下列结论一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，的直径为，弦的长为，是弦上的一动点，则线段的长的取值范围是(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 已知点，在抛物线上，且与轴的交点为和当时，则，应满足的关系式是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 对于一元二次方程，下列说法：
    若，则；
    若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
    若是方程的一个根，则一定有成立；
    若是一元二次方程的根，则．
    其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12. 已知二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其图象如图所示，下列结论：；；一元二次方程的两个根是和；当时，；当时，随的增大而减小；其中正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 若一元二次方程的两个实数根为，，则的值为______．
14. 若点，关于原点对称，则______．
15. 如图，四边形内接于圆，，则的度数是______度．

16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为______ ．

17. 如图，是圆的直径，，点在圆上，，是的中点，为上一动点，则的最小值是______．
     
18. 二次函数在上有最小值，则的值为____．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解下列一元二次方程：
    ；
    ．
20. 本小题分
    如图，四边形是的内接四边形，，，．
    求的度数．
    求的度数．
     

21. 本小题分
    如图，是的直径，半径弦，点为垂足，连、．
    若，求的度数；
    若，，求的半径．
     
22. 本小题分
    如图，在一个长，宽的矩形铁皮的四角各截去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方形盒子．若长方形盒子的底面图中阴影部分面积是，求截去的小正方形的边长．

23. 本小题分
    某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每月可售出件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件．
    降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
    要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
    每件商品降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？
24. 本小题分
    如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接．
    Ⅰ求证：平分；
    Ⅱ试判断与的位置关系，并说明理由；
    Ⅲ若，求的大小．直接写出结果即可

25. 本小题分
    已知抛物线与轴交于点和点，与直线交于点和点，为抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴．
    求抛物线的解析式及点的坐标．
    点为直线上方抛物线上一点，设为点到直线的距离，当有最大值时，求点的坐标．
    若点为直线上一点，作点关于轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】
解：选项A、、都不能找到这样的一个点，
使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，
使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小．
根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．
【解答】
解：圆的半径为，
直径为，
是一条弦，
的长应该小于等于，不可能为的，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：根据题意知，
，
，即或，
得或．
故选：．
根据完全平方式的结构，而，即可求解．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标是，则向左平移个单位，再向下平移个单位后的坐标为：，
平移后抛物线的解析式为．
又平移后抛物线的解析式为．
，，
，，
故选：．
根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设平均每次降价的百分率为，
．
故选：．
设平均每次降价的百分率为，某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的元降至元，可列方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键知道经过了两次降价，降价前和降价后的价格，可列方程．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，重点掌握旋转的性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
连接、、，分别作、、的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．
【解答】
解：绕某点旋转一定的角度，得到，
连接、、，

作的垂直平分线过、、，
作的垂直平分线过、，
作的垂直平分线过，
三条线段的垂直平分线正好都过，
即旋转中心是．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：根据函数图象开口向下，可得二次项系数小于，
所以排除、；
分别求出的对称轴是直线、的对称轴是直线，
根据图象对称轴在轴右侧，可排除，得到D正确．
故选：．
先根据图象开口向下排除、，再根据对称轴的位置排除，判定D正确．
本题主要考查了二次函数的图象，解决此类问题要从图象的开口方向、对称轴的位置等信息入手．
 

8.【答案】 

【解析】解：点在的延长线上，
、、三点在同一条直线上，
和分别是和的外角，
，，
故A错误、B错误；
由旋转得，，
是等边三角形，
，，
，
，
故C正确；
，，
，
，
若，则，显然与已知条件相矛盾，
，
故D错误，
故选：．
由和分别是和的外角，得，，可判断A错误、B错误；
由旋转得，，则是等边三角形，可证明，则，可判断C正确；
由，，得，则，可证明，于是判断D错误，得到问题的答案．
此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角等知识，正确理解三角形中的边角关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定的最小值，所以求的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
由垂线段最短可知当时最短，当是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
【解答】
解：如图，连接，作于，

的直径为，
半径为，
的最大值为，
于，
，
，
，
在中，；
此时最短，
当是半径时最长，．
所以长的取值范围是．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，
抛物线经过和，
抛物线对称轴为直线，
，
，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线开口向上，由点，坐标可得抛物线对称轴，由可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，，那么一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时成立，那么一定正确．
方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，进而推断出正确．
由是方程的一个根，得当，则；当，则不一定等于，那么不一定正确．
，由，得由是一元二次方程的根，则成立，那么正确．
综上：正确的有，共个．
故选：．
根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．
本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向上，
，
，
，
抛物线与轴交在轴的负半轴，
，
，故不符合题意；
，
，故符合题意；
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，可
与轴的另一个交点为，
一元二次方程的两个根是和，故符合题意；
由图象可知时，相应的的取值范围为或，故不符合题意；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，故不符合题意；
综上所述，正确的结论有个，
故选：．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性逐个进行判断，得出答案．
考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握、、的值决定抛物线的位置，抛物线的对称性是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以原式．
故答案为．
先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意，得
，，
解得，
，
故答案为：．
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，求出，的值，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案是：．
先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

16.【答案】 

【解析】解：作轴于点，

由旋转可得，轴，
四边形为矩形，
，，
点坐标为．
故答案为：．
作轴于点，由旋转的性质可得，，进而求解．
本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是通过添加辅助线求解．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，此时有最小值，
连接，，


则垂直平分，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
在等腰中，
，
，
，
故答案为：．
作点关于的对称点，连接，交于点，此时有最小值，连接，，利用垂径定理，求出，进一步求出，在等腰直角三角形中求出的长度即可．
本题考查了圆的有关性质，垂径定理，轴对称的性质等，解题的关键是灵活运两点之间线段最短这一定理．
 

18.【答案】或 

【解析】解：分三种情况：
当即时，二次函数在上随的增大而增大，
所以当时，有最小值为，把代入中解得：；
当即时，二次函数在上随的增大而减小，
所以当时，有最小值为，把代入中解得：，舍去；
当即时，此时抛物线的顶点为最低点，
所以顶点的纵坐标为，解得：或，舍去．
综上，的值为或．
故答案为：或．

此题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法，是一道综合题．求二次函数最值时应注意顶点能否取到．
 

19.【答案】解：，
，
或，
解得：，；

，
，
，
或，
解得：，． 

【解析】先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
移项后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，家一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
 

20.【答案】解：，
，
，
；
，
． 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理，同圆或等圆中圆心角，弧，弦之间的关系．
先根据圆周角定理得到，则，然后根据三角形内角和计算的度数；
先根据圆周角定理得到，然后计算即可．  

21.【答案】解：，
，
，
由圆周角定理得，；

连接

是的直径，
，
，
，，
，
，
的半径为． 

【解析】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据垂径定理得到，根据圆周角定理解答；
根据圆周角定理得到，进而得，根据余弦的定义求出即可．
 

22.【答案】解：设截去的小正方形边长是，
根据题意得，
解得，舍去．
答：截去的小正方形边长是． 

【解析】设截去的小正方形边长是，则盒底的长为，宽为的长方形，根据长方形的面积公式结合方盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查一元二次方程的应用．
 

23.【答案】解：降价前每月销售该商品的利润为元；
设每件商品应降价元，
由题意得：，
解得：，，
要更有利于减少库存，则，
即要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元．
，
，
 ，
当时，取得最大值，
即售价元时，总利润最大为元． 

【解析】用每件商品的利润月销售量可得；
根据“总利润单件利润销售量”列出方程求解可得；
根据中所得相等关系列出函数解析式，配方成顶点式可得．
本题是二次函数的应用，属于销售利润问题，明确等量关系：总利润销售量售价进价，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式．
 

24.【答案】Ⅰ证明：是由旋转得到，
，，
，
，
平分．

Ⅱ解：结论：．
由旋转的性质可知，，
，，
，
，
，
，
，
，
．

Ⅲ如图，设交于连接，过点作交的延长线于，作于，

，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】Ⅰ利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可．
Ⅱ结论：证明，即可解决问题．
Ⅲ设交于连接想办法证明是等腰直角三角形，即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，四点共圆等知识，解题的关键是证明，，，四点共圆，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：直线故点和点，则点、的坐标分别为：、，
抛物线的表达式为：，
故，解得：，
故抛物线的表达式为：，
函数的对称轴为：，当时，，故点；

过点作轴的平行线交于点，过点作于点，

，则，
设点，则点，
，
，故有最大值，此时，则点；

点关于轴的对称点，设点，而点，
，，，
由题目知，，则当是直角三角形时，分以下两种情况：
当为斜边时，即，解得：；
当为斜边时，同理可得：，
故点的坐标为：或． 

【解析】抛物线的表达式为：，故，解得：，即可求解；
，即可求解；
分为斜边、为斜边两种情况，分别求解即可．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．