第一章-充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件与充要条件练习--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一重难点突破

充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件与充要条件

一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     设M，N为两个集合，则是的条件(    )

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

2.     设命题甲为：，命题乙为：，那么甲是乙的(    )

A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.     设p：实数a，b满足，且；q：实数a，b满足；则p是q的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.     已知一元二次方程，则“”是“方程有两个不相等的实数根”的 (    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.     已知a，b是实数，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

6.     对任意实数，下列命题中正确的是(    )

A. “”是“”的充要条件
B. “是无理数”是“是无理数”的充要条件
C. “”是“”的充分不必要条件
D. “”是“”的必要不充分条件

7.     下列说法不正确的是  (    )

A. 是的充分不必要条件
B. 若p：a，b为无理数，q：ab为有理数，则p是q的充分条件
C. 是的充要条件
D. 若p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直，则p是q的充要条件

8.     下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

9.     有以下说法，其中正确的为(    )

A. “m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的必要条件
D. “”是“”的充分条件

三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

10. 设为实数，，则的充要条件为__________.
11. 至少有一个负实根的充要条件是__________.

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

12. 本小题分

已知集合集合，
若时，请判断是的什么条件？并说明理由用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”作答
若是的一个必要条件，求实数a的取值范围.

13. 本小题分

在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第问的横线处，求解下列问题.

问题：已知集合，

当时，求；

若______，求实数a的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

14. 本小题分

已知集合，集合

  若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围；

  是否存在实数m，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.

15. 本小题分

已知集合，且

若是的充分条件，求a的取值范围；

若，求a的取值范围．

16. 本小题分

已知或，或，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

17. 本小题分
    已知，
    是否存在实数m，使是的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
    是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，属于中档题．

根据交集，并集的运算结合充分条件，必要条件，充要条件的定义进行判断即可．

【解答】

解：，不能保证M，N有公共元素，

但，说明M，N中至少有一公共元素，，
则是的必要不充分条件，

故选

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

根据包含关系，直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.

本题考查充分条件，必要条件的判断，不等式的求解.

【解答】

解：由可得，解得，

所以由能推出；

由不能推出，

所以甲是乙的充分不必要条件，
故选

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】

解：当且时，，成立，即充分性成立，
反之当，时，满足，但且不成立，即必要性不成立，
即p是q的充分不必要条件，
故选：

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查充分、必要条件的判断.
举例可知，由方程有两个不相等的实数根，不一定得到如果，则，方程必有两个不相等的实数根，从而得出结论.

【解答】

解：由方程有两个不相等的实数根，不一定得到，例如方程
若，则，方程必有两个不相等的实数根.
故“"是“方程有两个不相等的实数根”的充分不必要条件.
故选

5.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查充分不必要条件的应用以及由基本不等式求取值范围，属于中档题.
利用基本不等式求的取值范围判断充分性成立，利用特殊值法说明必要性不成立，由此即可得到答案.

【解答】

解：若，则，，

则，当且仅当时等号成立，故充分性成立；

当，，此时，但，故必要性不成立；

故“”是“”的充分不必要条件.
故选：

6.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断以及不等式的性质，属于基础题.
可以根据充要条件的定义对题目中的四个选项逐一进行分析即可得到答案．

【解答】

解：“”“”为真命题，但当时，“”“”为假命题，故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题；
“是无理数”“a是无理数”为真命题，“a是无理数”“是无理数”也为真命题，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；
“”“”为假命题，“”“”也为假命题，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；
若，当时不等式不成立，即充分性不成立，若则，则成立，即必要性成立，
则“”是””的必要不充分条件，
故选：

7.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查充分、必要条件.
理解和掌握充分条件和必要条件的定义是解答本题的关键，分别对A、B、C、D四个选项利用充分、必要条件的定义进行验证，可得正确结论.

【解答】

解：对于A，，反之不成立，因此是的必要不充分条件，故A说法不正确；
对于B，若则，p不能推出q，因此p不是q的充分条件，故B说法不正确；
对于C，，故C说法正确；
对于D，正方形的对角线互相垂直，但是对角线互相垂直的不一定是正方形，如菱形，故D说法不正确．
故选

8.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查必要条件的判断.
根据必要条件的判定逐一分析各选项即可.

【解答】

解：对于A，若，当时， ，故A错误；
对于B，当时可得，p是q的必要条件，故B正确；
对于C，当时可得，p是q的必要条件，故C正确；
对于D，若，则，p是q的必要条件，故D正确；
故选

9.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查充分条件、必要条件的判断.
根据充分条件、必要条件的定义逐项分析即可.

【解答】

解：A，“m是有理数”“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；
B，“”“”，反之不成立，所以“”不是“”的必要条件；
C，“”“”，所以“”是“”的必要条件；
D，“”“”，所以“”是“”的充分条件.
故选

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查充要条件的判定，涉及集合中参数取值问题，其中由已知中，分析出，是解答的关键.
若，则，根据集合，，构造关于a的不等式可得答案.

【解答】

解：，

若，则，
若，则，解得，
综上可知的充要条件为
故答案为

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是充要条件，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.
根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可.

【解答】

解：当时，原方程为一元一次方程，有一个负实根，
符合题设．

当时，原方程为一元二次方程，
它有实根的充要条件是，即

设此时方程的两根分别为，，

则，，

当只有一个负实根时，所以；

当有两个负实根时，所以

综上所述，所求的a的取值范围为
故答案为：

12.【答案】 解：时
是的必要不充分条件.

是的一个必要条件，
当时，，不成立;
当时，由，得
      
当时，由得
      
综上，实数a的取值范围为或

【解析】本题考查充分必要条件的判断，考查集合关系的应用，属拔高题.
时，，进而判断是的必要不充分条件.
由是的一个必要条件，得，讨论a的取值，得关于a的不等式，求解即可.
 

13.【答案】解：当时，集合，，
所以；
选择①、因为，所以
因为，所以
又因为，
所以，解得，
因此实数a的取值范围是
选择②、因为““是“”的充分不必要条件，所以
因为，所以
又因为，
所以，且等号不同时成立，解得，
因此实数a的取值范围是
选择③、因为，
而，不为空集，，
所以或，
解得或，
所以实数a的取值范围是或 

【解析】本题考查了充分、必要、充要条件与集合的关系，并集及其运算，交集及其运算.
当时，可得集合，从而利用并集运算得结论；
选择①，利用并集的运算得，再利用集合关系中的参数取值问题得，最后计算得结论；
选择②，利用充分不必要条件的判断得，再利用集合关系中的参数取值问题得且等号不同时成立，最后计算得结论；
选择③，利用交集的运算得或，最后计算得结论.
 

14.【答案】解：根据题意，得

由题意可知，
由或，

则或，
解得或

所以实数m的取值范围是或

假设存在实数m，使得是的必要不充分条件，
所以，即，
则，且等号不能同时成立，此时不等式组无解.

故不存在实数m，使得是的必要不充分条件.

【解析】本题考查充分、必要、充要条件与集合的关系.
根据充分不必要条件可得进而求出结果；
假设存在实数m满足条件，则即，且等号不能同时成立，进而求出结果.
 

15.【答案】解：且，，
是的充分条件，集合，
，，解得，
a的取值范围为
由且，
得，
若，
或，
所以a的取值范围为或 

【解析】本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题，属于中档题.
根据条件可知，，列不等式组求参数a的取值范围；
根据，且，可知或，即可求a的取值范围.
 

16.【答案】解：是q的必要不充分条件，
\(\therefore q\Rightarrow b\)，\(p⇏q.\)
，画数轴分析知，的充要条件是
或
的取值范围是 

【解析】本题考查充要条件的判断，属于容易题.
 

17.【答案】解：，

要使是的充分条件，则，

即，，

所以时，使是的充分条件.

要使是的必要条件，则

当时，，解得，满足；

当时，，解得，

要使，则有，
解得，所以

综上所述，当时，是的必要条件.

【解析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件转化为集合关系是解决本题的关键，属于中档题．
根据充分条件的定义，转化为求解即可；
根据必要条件的定义，转化为求解即可.