普通高中数学学业水平合格性考试标准示范卷8含答案

普 通 高 中 学 业 水 平 合 格 性 考 试

标准示范卷 (八)

(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)

一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1<x<3}，则∁UA＝(　　)

A．{x|x<1或x>3} B．{x|x≥3}

C．{x|x≤1或x≥3} D．{x|x≤1}

C　∁UA＝{x|x≤1，或x≥3}．

2．函数f (x)＝的定义域是(　　)

A． B．

C． D．

D　由已知，2x－1≥0，解得x≥．

3．函数f (x)＝sin的最小正周期是(　　)

A．　　B．π　　C．2π　　D．4π

D　f (x)的最小正周期为T＝＝4π．

4．已知向量a＝(1，－2)，b＝(3,5)，则2a＋b＝(　　)

A．(4,3)　　B．(5,1)　　C．(5,3)　　D．(7,8)

B　2a＋b＝2(1，－2)＋(3,5)＝(2＋3，－4＋5)＝(5,1)．

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＝60°，b＝2，c＝3，则a＝(　　)

A．　　B．　　C．4　　D．

A　∵A＝60°，b＝2，c＝3，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋9－2×2×3×＝7，∴a＝．

6．若tan α＝2，则tan的值为(　　)

A．－　　B．　　C．－3　　D．3

A　∵tan α＝2，

∴tan＝＝＝－．

7．已知复数z＝(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点为(　　)

A． B．(1,1)

C． D．(1，－1)

A　z＝＝＝＝＝＋i，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为．故选A．

8．如果两个球的表面积之比为4∶9，那么这两个球的体积之比为(　　)

A．2∶3　　B．4∶9　　C．8∶27　　D．16∶81

C　设两球的半径分别为r1，r2，则＝，∴＝，所以两球的体积比为＝＝＝．

9．函数y＝log3(3x)的图象大致为(　　)

A　　　　　 　B

C　　　　　　　D

A　由函数性质知y＝log3(3x)为增函数，故排除B，D；当x＝时，y＝log3＝0，即函数过点，排除C，故选A．

10．某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间(单位：小时)进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9,14]，数据的分组依次为：[9,10)，[10,11)，[11,12)，[12,13)，[13,14]．已知活动时间在[9,10)内的人数为300，则活动时间在[11,12)内的人数为(　　)

A．600　　B．800　　C．1 000　　D．1 200

D　活动时间在[9,10)内的频率为0.10，在[11,12)内的频率为0.40，设活动时间在[11,12)内的人数为x，则＝，解得x＝1 200．

11．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列每对事件互斥但不对立的是(　　)

A．“至少有1件次品”与“全是次品”

B．“恰好有1件次品”与“恰好有2件次品”

C．“至少有1件次品”与“全是正品”

D．“至少有1件正品”与“至少有1件次品”

B　从一堆产品中任取2件，基本事件为“全是正品”，“一件正品，一件次品”，“全是次品”，共3种情况，故选B．

12．函数y＝ax－1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(　　)

A．(0，－3)　　B．(0，－2)　　C．(1，－3)　　D．(1，－2)

D　令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点(1，－2)．

13．从3本不同的数学书和1本语文书中任取两本，则取出的两本书中有语文书的概率为(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

A　记3本数学书为a，b，c,1本语文书为d，从中任取两本，共有取法：ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种情况，其中有语文书有3种情况，故所求概率为P＝＝．

14．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为(　　)

A．　　B．　　C．　　D．2

C　设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则解得

15．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：

①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是(　　)

A．1　　B．2　　C．3　　D．4

B　把平面展开图折起，得到如图所示的正方体．

则BF与DN是异面直线，

CM与BN平行，

DF与BN垂直，

AE与DN是异面直线，故正确个数为2．

二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)

16．已知函数f (x)＝则f (－2)＋f (2)的值为________．

－3　f (－2)＝3×(－2)－1＝－7，

f (2)＝22＝4，

∴f (－2)＋f (2)＝－7＋4＝－3．

17．已知向量a与b的夹角为，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b的值为________．

－6　a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝3×4×cos ＝－6．

18．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是CD的中点，沿AE将△DAE向上折起，使D到D′的位置，且平面AED′⊥平面ABCE，则直线AD′与平面ABC所成角的正弦值为________．

　由题意，知△AED′为等腰直角三角形，

∵平面AED′⊥平面ABCE，

∴AD′在底面的射影在AE上，

∴∠D′AE为直线AD′与平面ABC所成角，

且∠D′AE＝45°，其正弦值为，故答案．

19．已知函数f (x)对任意x，y∈R，都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)成立．有以下结论：

①f (0)＝0；②f (x)是R上的偶函数；③若f (2)＝2，则f (1)＝1；④当x>0时，恒有f (x)<0，则函数f (x)在R上单调递增．

则上述所有正确结论的编号是________．

①③　①令x＝y＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，解得f (0)＝0，①正确；

②令y＝－x，则f (0)＝f (x)＋f (－x)＝0，

∴f (－x)＝－f (x)，

∴f (x)是R上的奇函数，②错误；

③令x＝y＝1，则f (2)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)＝2，

∴f (1)＝1，③正确；

④设x1>x2，则x1－x2>0，

∴f (x1－x2)＝f (x1)＋f (－x2)<0，

则f (x1)<－f (－x2)＝f (x2)，

∴f (x)在R上单调递减，④错误．

故正确结论的编号为①③．

三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20．(8分)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，CC1的中点．

证明：EF∥平面AB1D1．

[证明]　连接BC1(图略)，

∵E，F分别为BC，CC1的中点，

∴EF∥BC1，

又BC1∥AD1，∴EF∥AD1，

∵EF⊄平面AB1D1，

AD1⊂平面AB1D1，

∴EF∥平面AB1D1．

21．(14分)已知函数f (x)＝cos2－sin2－a，a∈R．

(1)求函数f (x)的单调递增区间；

(2)若函数f (x)在上有零点，求a的取值范围．

[解]　(1)f (x)＝cos2－sin2－a＝cos x－a，

当2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z时，f (x)单调递增，

∴函数f (x)的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z．

(2)函数f (x)在上有零点，

也就是cos x＝a在上有解．

∵当－≤x≤时，cos x∈．

∴a的取值范围是．

22．(14分)树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)求a的值；

(2)求出样本的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；

(3)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中恰好抽到2人的概率．

[解]　(1)由10×(0.010＋0.015＋a＋0.030＋0.010)＝1，得a＝0.035．

(2)平均数为20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5(岁)；

设中位数为x，

则10×0.010＋10×0.015＋(x－35)×0.035＝0.5，

故x≈42.1(岁)．即中位数为42.1．

(3)第1,2组的人数分别为20人，30人，

从第1,2组中用分层随机抽样的方法抽取5人，

则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，

分别记为a1，a2，b1，b2，b3．

则从这5人中随机抽取3人，为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，共10个基本事件，第2组中恰好抽到2人的情况有6种，故从而第2组中恰好抽到2人的概率P＝＝0.6．