2022-2023学年山东省青岛市莱西市八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市莱西市八年级（上）期中数学试卷（五四学制）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列四个多项式中，可以分解因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在式子，，，中，分式有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 下列分式是最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列从左到右的变形是分解因式的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片像到镜头的距离．已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是(    )

A. 最高成绩是环 B. 平均成绩是环
C. 这组成绩的众数是环 D. 这组成绩的方差是

9. 如果正数、同时扩大倍，那么下列分式中值保持不变的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 某班有人，一次数学测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小颖没有参加此次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差后来小颖进行了补测，成绩是分，关于该班人的数学测试成绩，下列说法正确的是(    )

A. 平均分不变，方差变小 B. 平均分不变，方差变大
C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 因式分解：______．
12. 某品牌专卖店月份销售了双运动鞋，其尺码和数量统计如表：

这双运动鞋尺码的众数是______．

13. 已知正方形的面积是，则正方形的周长是______．
14. 学校运动会上，共有名同学参加了男子米预赛，参赛选手要想知道自己是否能进入前名，从而取得决赛资格，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的______．
15. 王老师对本班名学生的血型作了统计，列出如下的统计表，则本班型血的人数是______ ．

16. 已知，，则与的大小关系为 ______填、或
17. 已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为______．
18. 一个长方形的长与宽分别为，，若周长为，面积为，则的值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

19. 分解因式
    ；
    ；
    ；
    ．
20. 解分式方程：
                      
    ．
21. 化简求值：
    先化简，再求值：，其中．
    先化简，再求值：，其中为数据，，，，的极差．
22. 某单位计划从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如表所示；根据录用程序，组织名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率没有弃权票，每位职工只能推荐人如图所示，每得一票记作分．
    请算出三人的民主评议得分；
    如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用；
    根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按：：的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？

23. 小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．
    她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程；
    小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
24. 阅读材料
    下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
    设，
    原式第一步
    第二步
    第三步
    第四步
    请问：
    该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果．
    请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
25. 列分式方程解应用题
    某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种，已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵元，用元购买乙种树苗的棵数恰好与用元购买甲种树苗的棵数相同．
    求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
    在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故此选项符合题意；
B.，无法因式分解，故此选项不合题意；
C.，无法分解因式，故此选项不合题意；
D.，无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：．
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义和因式分解的方法．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
 

2.【答案】 

【解析】解：在上列式子中，分式有：，，共有个分式，
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，所以不是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、是最简分式，符合题意．
故选：．
根据最简分式的概念判断即可．
本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
 

4.【答案】 

【解析】解：原式

．
故选：．
按同分母分式的加减法法则计算即可．
本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，是多项式乘以多项式，故此选项不符合题意；
B、，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
C、，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
D、，从左到右的变形是因式分解，故此选项符合题意．
故选：．
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义利用排除法求解．
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、原式，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项不符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项符合题意；
故选：．
根据分式加减法运算法则进行计算，从而作出判断．
本题考查分式的加减法，理解分式的基本性质，掌握分式加减法运算法则是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含、的代数式表示．
考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知，最高成绩是环，故选项A不合题意；
平均成绩是环，故选项B不合题意；
这组成绩的众数是环，故选项C不合题意；
这组成绩的方差是，故选项D符合题意．
故选：．
根据题意分别求出这组数据的平均数、众数和方差即可判断．
此题主要考查了折线统计图，加权平均数，众数和方差，掌握平均数和方差的计算公式是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：、，故A错；
B、，故B错；
C、，故C错；
D、原式，故D正确．
故选D．
当，都扩大倍，要使分式中的值保持不变，只要将原式中的，换成，，分别计算即可解出本题．
此题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小倍，就将原来的数乘以或除以．
 

10.【答案】 

【解析】解：小颖的成绩和其他人的平均数相同，都是分，
该班人的测试成绩的平均分为分，方差变小，
故选：．
根据平均数，方差的定义计算即可．
本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
原式利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：尺码为的销量最大，故众数为；
故答案为：．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，由此结合表格信息即可得出答案．
本题考查了众数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
正方形的边长为，
正方形的周长是，
故答案为：．
由正方形面积求出边长，再根据周长公式可得正方形周长．
本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握正方形的面积，周长与边长的关系．
 

14.【答案】中位数 

【解析】解：名参赛选手的成绩，第名的成绩就是这组数据的中位数，
所以选手知道自己的成绩和中位数就可知道自己是否进入前名．
故答案为：中位数．
此题是中位数在生活中的运用，知道自己的成绩以及全部成绩的中位数就可知道自己是否进入前名．
本题考查了中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

15.【答案】 

【解析】解：本班型血的人数．
故答案为：．
根据频数频率数据总数求解．
本题考查了频数和频率，解答本题的关键是掌握频数频率数据总数．
 

16.【答案】 

【解析】解：


，
，即，
故答案为：．
利用完全平方公式把变形，根据偶次方的非负性解答．
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
 

17.【答案】且 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为正数，得到，且，
解得：且，
故答案为：且
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数求出的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：一个长方形的长与宽分别为，，周长为，面积为，
，，
则


．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，进而把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了提取公因式、完全平方公式分解因式，正确将原式变形是解题关键．
 

19.【答案】解：

；


；
；


；


． 

【解析】利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可；
先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可；
先利用平方差公式因式分解，再根据完全平方公式因式分解即可；
利用十字相乘法因式分解即可．
本题考查了提公因式法以及十字相乘法因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
去分母得：，
整理得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解． 

【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
 

21.【答案】解：，


，
当时，原式；




，
为数据，，，，的极差，
，
当时，原式． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答；
先算除法，再算加法，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，极差，准确熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

22.【答案】解：甲、乙、丙的民主评议得分分别为：分，分，分；
甲的平均成绩为：，
乙的平均成绩为：，
丙的平均成绩为：，
由于，
所以候选人乙将被录用；
甲：，
乙：，
丙：，
因为：，
丙的个人成绩最高，所以候选人丙将被录用． 

【解析】将总人数乘以各自的比例可得答案；
据平均数的概念求得甲、乙、丙的平均成绩，进行比较；
根据图表给出的数据和加权平均数的计算公式列式算式，求出三人的得分，然后判断录用的候选人即可．
本题考查的是加权平均数的求法，要注意各部分的权重与相应的数据的关系，熟记运算方法是解题的关键．
 

23.【答案】解：方程两边同时乘以得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
设？为，
方程两边同时乘以得，
由于是原分式方程的增根，
所以把代入上面的等式得，
所以，
所以，原分式方程中“？”代表的数是． 

【解析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
把？代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；
设？为，利用分式方程的增根解答即可．
 

24.【答案】解：该同学因式分解的结果不正确，
设，
原式



；

设，
原式



． 

【解析】利用完全平方公式继续分解，即可解答；
仿照例题的解题思路，进行计算即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，理解例题的解题思路是解题的关键．
 

25.【答案】解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
元，
答：甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元；
设他们可购买棵乙种树苗，则可购得甲种树苗棵，
由题意得：，
解得，
为整数，
最大为．
答：他们最多可购买棵乙种树苗； 

【解析】设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，依题意得：，求解方程即可；
设他们可购买棵乙种树苗，则可购得甲种树苗棵，由题意得：，求出满足条件的的最大整数即可求解．
本题考查分式方程和一元一次方程的实际应用，理解题意，能够根据所给的实际问题情境，列出符合条件的方程，并能准确求解方程是解题的关键．