初中试题四川省内江市中考数学试卷含答案解析

这是一份初中试题四川省内江市中考数学试卷含答案解析，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018年四川省内江市中考数学试卷
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．（3分）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用科学记数法表示为（　　）
A．3.26×10﹣4毫米 B．0.326×10﹣4毫米
C．3.26×10﹣4厘米 D．32.6×10﹣4厘米
3．（3分）如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（　　）

A．认 B．真 C．复 D．习
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a+a=a2 B．（2a）3=6a3 C．（a﹣1）2=a2﹣1 D．a3÷a=a2
5．（3分）已知函数y=，则自变量x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜1 B．x≥﹣1且x≠1 C．x≥﹣1 D．x≠1
6．（3分）已知：﹣=，则的值是（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
7．（3分）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）
A．外高 B．外切 C．相交 D．内切
8．（3分）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（　　）
A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9
9．（3分）为了了解内江市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指（　　）
A．400
B．被抽取的400名考生
C．被抽取的400名考生的中考数学成绩
D．内江市2018年中考数学成绩
10．（3分）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则如图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图是（　　）

A． B． C． D．
11．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（　　）

A．31° B．28° C．62° D．56°
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（　　）

A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）分解因式：a3b﹣ab3=　 　．
14．（5分）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：
①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．
将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是　 　．
15．（5分）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是　 　．
16．（5分）已知，A、B、C、D是反比例函数y=（x＞0）图象上四个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形（如图）的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形（阴影部分），则这四个橄榄形的面积总和是　 　（用含π的代数式表示）．

　
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．（7分）计算：﹣|﹣|+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2．
18．（9分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．
求证：（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．

19．（9分）为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布表如下（成绩得分均为整数）：
组别
成绩分组
频数
频率
1
47.5～59.5
2
0.05
2
59.5～71.5
4
0.10
3
71.5～83.5
a
0.2
4
83.5～95.5
10
0.25
5
95.5～107.5
b
c
6
107.5～120
6
0.15
合计

40
1.00
根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）已知全区八年级共有200个班（平均每班40人），用这份试卷检测，108分及以上为优秀，预计优秀的人数约为　 　，72分及以上为及格，预计及格的人数约为　 　，及格的百分比约为　 　；
（3）补充完整频数分布直方图．

20．（9分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A=120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=，求灯杆AB的长度．

21．（10分）某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元．
（1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元？
（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．
①该商场有哪几种进货方式？
②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？
　
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．（6分）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为　 　．
23．（6分）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE=3，⊙O的半径r=2，直线AB不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积的最大值为　 　．

24．（6分）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径=　 　．
25．（6分）如图，直线y=﹣x+1与两坐标轴分别交于A，B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，Pn﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，Tn﹣1，用S1，S2，S3，…，Sn﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△Tn﹣1Pn﹣2Pn﹣1的面积，则S1+S2+S3+…+Sn﹣1=　 　．

　
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．（12分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）求证：2DE2=CD•OE；
（3）若tanC=，DE=，求AD的长．

27．（12分）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}=﹣1，max{﹣2，﹣1，0}=0，max{﹣2，﹣1，a}=
解决问题：
（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}=　 　，如果max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则x的取值范围为　 　；
（2）如果2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，求x的值；
（3）如果M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，求x的值．
28．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；
（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．

　

2018年四川省内江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．
【考点】15：绝对值．菁优网版权所有
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：|﹣3|=3．
故﹣3的绝对值是3．
故选：B．
【点评】考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
　
2．（3分）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用科学记数法表示为（　　）
A．3.26×10﹣4毫米 B．0.326×10﹣4毫米
C．3.26×10﹣4厘米 D．32.6×10﹣4厘米
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000326毫米，用科学记数法表示为3.26×10﹣4毫米．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
　
3．（3分）如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（　　）

A．认 B．真 C．复 D．习
【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字．菁优网版权所有
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形．
【解答】解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真”．
故选：B．
【点评】本题考查了正方体的平面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
　
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a+a=a2 B．（2a）3=6a3 C．（a﹣1）2=a2﹣1 D．a3÷a=a2
【考点】4C：完全平方公式；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．菁优网版权所有
【分析】根据合并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幂的除法法则逐项计算即可．
【解答】解：A，a+a=2a≠a2，故该选项错误；
B，（2a）3=8a3≠6a3，故该选项错误
C，（a﹣1）2=a2﹣2a+1≠a2﹣1，故该选项错误；
D，a3÷a=a2，故该选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查了并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幂的除法法则，解题的关键是熟记以上各种运算法则．
　
5．（3分）已知函数y=，则自变量x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜1 B．x≥﹣1且x≠1 C．x≥﹣1 D．x≠1
【考点】E4：函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥﹣1且x≠1．
故选：B．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
　
6．（3分）已知：﹣=，则的值是（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
【考点】6B：分式的加减法；64：分式的值．菁优网版权所有
【分析】由﹣=知=，据此可得答案．
【解答】解：∵﹣=，
∴=，
则=3，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则与分式的性质．
　
7．（3分）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）
A．外高 B．外切 C．相交 D．内切
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．菁优网版权所有
【分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，
又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．
故选：C．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
　
8．（3分）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（　　）
A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9
【考点】S7：相似三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．
【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，
则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
　
9．（3分）为了了解内江市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指（　　）
A．400
B．被抽取的400名考生
C．被抽取的400名考生的中考数学成绩
D．内江市2018年中考数学成绩
【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量．菁优网版权所有
【分析】直接利用样本的定义，从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，进而分析得出答案．
【解答】解：为了了解内江市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名考生的中考数学成绩进行统计分析，
在这个问题中，样本是指被抽取的400名考生的中考数学成绩．
故选：C．
【点评】此题主要考查了样本的定义，正确把握定义是解题关键．
　
10．（3分）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则如图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图是（　　）

A． B． C． D．
【考点】E6：函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据在铁块开始露出水面到完全露出水面时，排开水的体积逐渐变小，根据阿基米德原理和称重法可知y的变化，注意铁块露出水面前读数y不变，离开水面后y不变，即可得出答案．
【解答】解：露出水面前排开水的体积不变，受到的浮力不变，根据称重法可知y不变；
铁块开始露出水面到完全露出水面时，排开水的体积逐渐变小，根据阿基米德原理可知受到的浮力变小，根据称重法可知y变大；
铁块完全露出水面后一定高度，不再受浮力的作用，弹簧秤的读数为铁块的重力，故y不变．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，用到的知识点是函数值随时间的变化，注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
　
11．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（　　）

A．31° B．28° C．62° D．56°
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，
∵∠FDB=90°﹣∠BDC=90°﹣62°=28°，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠FDB=28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD=∠CBD=28°，
∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
　
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（　　）

A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）
【考点】R4：中心对称；KW：等腰直角三角形；R7：坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【分析】先求得直线AB解析式为y=x﹣1，即可得出P（0，﹣1），再根据点A与点A'关于点P成中心对称，利用中点公式，即可得到点A′的坐标．
【解答】解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴A（4，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，则
，
解得，
∴直线AB解析式为y=x﹣1，
令x=0，则y=﹣1，
∴P（0，﹣1），
又∵点A与点A'关于点P成中心对称，
∴点P为AA'的中点，
设A'（m，n），则=0，=﹣1，
∴m=﹣4，n=﹣5，
∴A'（﹣4，﹣5），
故选：A．

【点评】本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB的解析式是解题的关键．
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）分解因式：a3b﹣ab3=　ab（a+b）（a﹣b）　．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】0
【解答】解：a3b﹣ab3，
=ab（a2﹣b2），
=ab（a+b）（a﹣b）．
【点评】0
　
14．（5分）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：
①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．
将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是　　．
【考点】X4：概率公式；P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．菁优网版权所有
【分析】由五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，
∴从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
15．（5分）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是　k≥﹣4　．
【考点】AA：根的判别式．菁优网版权所有
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，
∴△=42﹣4×1×（﹣k）=16+4k≥0，
解得：k≥﹣4．
故答案为：k≥﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
　
16．（5分）已知，A、B、C、D是反比例函数y=（x＞0）图象上四个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形（如图）的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形（阴影部分），则这四个橄榄形的面积总和是　5π﹣10　（用含π的代数式表示）．

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】通过观察可知每个橄榄形的阴影面积都是一个圆的面积的四分之一减去一个直角三角形的面积再乘以2，分别计算这5个阴影部分的面积相加即可表示．
【解答】解：∵A、B、C、D、E是反比例函数y=（x＞0）图象上五个整数点，
∴x=1，y=8；
x=2，y=4；
x=4，y=2；
x=8，y=1；
∴一个顶点是A、D的正方形的边长为1，橄榄形的面积为：
2；
一个顶点是B、C的正方形的边长为2，橄榄形的面积为：
=2（π﹣2）；
∴这四个橄榄形的面积总和是：（π﹣2）+2×2（π﹣2）=5π﹣10．
故答案为：5π﹣10．
【点评】本题主要通过考查橄榄形的面积的计算来考查反比例函数图象的应用，关键是要分析出其图象特点，再结合性质作答．
　
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．（7分）计算：﹣|﹣|+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．菁优网版权所有
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=2﹣+12﹣1×4
=+8．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
　
18．（9分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．
求证：（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．

【考点】L9：菱形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论；
（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
在△AED与△CFD中，

∴△AED≌△CFD（ASA）；

（2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．

【点评】考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关的性质与定理．
　
19．（9分）为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布表如下（成绩得分均为整数）：
组别
成绩分组
频数
频率
1
47.5～59.5
2
0.05
2
59.5～71.5
4
0.10
3
71.5～83.5
a
0.2
4
83.5～95.5
10
0.25
5
95.5～107.5
b
c
6
107.5～120
6
0.15
合计

40
1.00
根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a=　8　，b=　10　，c=　0.25　；
（2）已知全区八年级共有200个班（平均每班40人），用这份试卷检测，108分及以上为优秀，预计优秀的人数约为　1200人　，72分及以上为及格，预计及格的人数约为　6800人　，及格的百分比约为　85%　；
（3）补充完整频数分布直方图．

【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．菁优网版权所有
【分析】（1）根据第一组的频数和频率结合频率=，可求出总数，继而可分别得出a、b、c的值．
（2）根据频率=的关系可分别求出各空的答案．
（3）根据（1）中a、b的值即可补全图形．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为2÷0.05=40人，
∴a=40×0.2=8，b=40﹣（2+4+8+10+6）=10，c=10÷40=0.25，
故答案为：8、10、0.25；

（2）∵全区八年级学生总人数为200×40=8000人，
∴预计优秀的人数约为8000×0.15=1200人，预计及格的人数约为8000×（0.2+0.25+0.25+0.15）=6800人，及格的百分比约为×100%=85%，
故答案为：1200人、6800人、85%；

（3）补全频数分布直方图如下：

【点评】本题主要考查频数分布直方图及频率分布表的知识，难度不大，解答本题的关键是掌握频率=．
　
20．（9分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A=120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=，求灯杆AB的长度．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【分析】过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．设BF=3x知EF=4x、DF=，由DE=18求得x=4，据此知BG=BF﹣GF=1，再求得∠BAG=∠BAC﹣∠CAG=30°可得AB=2BG=2．
【解答】解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．

由题意得∠BDE=α，tan∠β=．
设BF=3x，则EF=4x
在Rt△BDF中，∵tan∠BDF=，
∴DF===x，
∵DE=18，
∴x+4x=18．
∴x=4．
∴BF=12，
∴BG=BF﹣GF=12﹣11=1，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAG=∠BAC﹣∠CAG=120°﹣90°=30°．
∴AB=2BG=2，
答：灯杆AB的长度为2米．
【点评】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．
　
21．（10分）某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元．
（1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元？
（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．
①该商场有哪几种进货方式？
②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？
【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，根据每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元以及商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40﹣a）部，根据花费的钱数不超过7.5万元以及A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍列出不等式组，求出不等式组的解集的正整数解，即可确定出购机方案；
②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．列出w关于a的函数解析式，根据一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号的手机每部进价各是2000元、1500元；

（2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40﹣a）部，
根据题意得：，
解得：≤a≤30，
∵a为解集内的正整数，
∴a=27，28，29，30，
∴有4种购机方案：
方案一：A种型号的手机购进27部，则B种型号的手机购进13部；
方案二：A种型号的手机购进28部，则B种型号的手机购进12部；
方案三：A种型号的手机购进29部，则B种型号的手机购进11部；
方案四：A种型号的手机购进30部，则B种型号的手机购进10部；

②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．
根据题意，得w=500a+600（40﹣a）=﹣100a+24000，
∵﹣10＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a=27时，能获得最大利润．此时w=﹣100×27+24000=21700（元）．
因此，购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时，获利最大．
答：购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时获利最大．
【点评】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找出满足题意的等量关系与不等关系是解本题的关键．
　
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．（6分）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为　1　．
【考点】AB：根与系数的关系；A9：换元法解一元二次方程．菁优网版权所有
【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4，
∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=1，t2=2，
∴t1+t2=3，
∴x3+x4+2=3
故答案为：1
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
　
23．（6分）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE=3，⊙O的半径r=2，直线AB不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积的最大值为　12　．

【考点】LL：梯形中位线定理．菁优网版权所有
【分析】先判断OE为直角梯形ADCB的中位线，则OE=（AD+BC），所以S四边形ABCD=OE•CD=3CD，只有当CD=AB=4时，CD最大，从而得到S四边形ABCD最大值．
【解答】解：∵OE⊥l，AD⊥l，BC⊥l，
而OA=OB，
∴OE为直角梯形ADCB的中位线，
∴OE=（AD+BC），
∴S四边形ABCD=（AD+BC）•CD=OE•CD=3CD，
当CD=AB=4时，CD最大，S四边形ABCD最大，最大值为12．
【点评】本题考查了梯形中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
　
24．（6分）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径=　　．
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质：算术平方根；KQ：勾股定理．菁优网版权所有
【分析】根据题目中的式子可以求得a、b、c的值，从而可以求得△ABC的外接圆半径的长．
【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，
∴（a﹣1﹣4+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，
∴（﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，
∴，b﹣5=0，c﹣6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作CD⊥AB于点D，
则AD=3，CD=4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，
∴32+（4﹣r）2=r2，
解得，r=，
故答案为：．

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、非负数的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
　
25．（6分）如图，直线y=﹣x+1与两坐标轴分别交于A，B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，Pn﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，Tn﹣1，用S1，S2，S3，…，Sn﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△Tn﹣1Pn﹣2Pn﹣1的面积，则S1+S2+S3+…+Sn﹣1=　﹣　．

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；D2：规律型：点的坐标．菁优网版权所有
【分析】如图，作T1M⊥OB于M，T2N⊥P1T1．由题意可知：△BT1M≌△T1T2N≌△Tn﹣1A，四边形OMT1P1是矩形，四边形P1NT2P2是矩形，推出=××=，S1=，S2=，
可得S1+S2+S3+…+Sn﹣1=（S△AOB﹣n）．
【解答】解：如图，作T1M⊥OB于M，T2N⊥P1T1．

由题意可知：△BT1M≌△T1T2N≌△Tn﹣1A，四边形OMT1P1是矩形，四边形P1NT2P2是矩形，
∴=××=，S1=，S2=，
∴S1+S2+S3+…+Sn﹣1=（S△AOB﹣n）=×（﹣n×）=﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查一次函数的应用，规律型﹣点的坐标、三角形的面积、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分面积．
　
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．（12分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）求证：2DE2=CD•OE；
（3）若tanC=，DE=，求AD的长．

【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）先判断出DE=BE=CE，得出∠DBE=∠BDE，进而判断出∠ODE=90°，即可得出结论；
（2）先判断出△BCD∽△ACB，得出BC2=CD•AC，再判断出DE=BC，AC=2OE，即可得出结论；
（3）先求出BC，进而求出BD，CD，再借助（2）的结论求出AC，即可得出结论．
【解答】解：（1）DE是⊙O的切线，理由：如图，
连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵OE∥AC，OA=OB，
∴BE=CE，
∴DE=BE=CE，
∴∠DBE=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴，
∴BC2=CD•AC，
由（1）知DE=BE=CE=BC，
∴4DE2=CD•AC，
由（1）知，OE是△ABC是中位线，
∴AC=2OE，
∴4DE2=CD•2OE，
∴2DE2=CD•OE；

（3）∵DE=，
∴BC=5，
在Rt△BCD中，tanC==，
设CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，
∴x=﹣1（舍）或x=1，
∴BD=4，CD=3，
由（2）知，BC2=CD•AC，
∴AC==，
∴AD=AC﹣CD=﹣3=．

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△BCD∽△ACB是解本题的关键．
　
27．（12分）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}=﹣1，max{﹣2，﹣1，0}=0，max{﹣2，﹣1，a}=
解决问题：
（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}=　　，如果max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则x的取值范围为　　；
（2）如果2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，求x的值；
（3）如果M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，求x的值．
【考点】AD：一元二次方程的应用；8A：一元一次方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】（1）根据定义写出sin45°，cos60°，tan60°的值，确定其中位数；根据max{a，b，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，可得不等式组：则，可得结论；
（2）根据新定义和已知分情况讨论：①2最大时，x+4≤2时，②2是中间的数时，x+2≤2≤x+4，③2最小时，x+2≥2，分别解出即可；
（3）不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x﹣2，画出图象，根据M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，可知：三个函数的中间的值与最大值相等，即有两个函数相交时对应的x的值符合条件，结合图象可得结论．
【解答】解：（1）∵sin45°=，cos60°=，tan60°=，
∴M{sin45°，cos60°，tan60°}=，
∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，
则，
∴x的取值范围为：，
故答案为：，；
（2）2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，
分三种情况：①当x+4≤2时，即x≤﹣2，
原等式变为：2（x+4）=2，x=﹣3，
②x+2≤2≤x+4时，即﹣2≤x≤0，
原等式变为：2×2=x+4，x=0，
③当x+2≥2时，即x≥0，
原等式变为：2（x+2）=x+4，x=0，
综上所述，x的值为﹣3或0；
（3）不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x﹣2，画出图象，如图所示：
结合图象，不难得出，在图象中的交点A、B点时，满足条件且M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}=yA=yB，
此时x2=9，解得x=3或﹣3．

【点评】本题考查了方程和不等式的应用及新定义问题，理解新定义，并能结合图象，可以很轻松将抽象题或难题破解，由此看出，图象在函数相关问题的作用是何等重要．
　
28．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；
（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先利用待定系数法求出直线AD，BD的解析式，进而求出G，H的坐标，进而求出GH，即可得出结论；
（3）先求出四边形ADNM的面积，再求出直线y=kx+1与线段CD，AB的交点坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴x2+2x﹣3=﹣3，
∴x=0或x=﹣2，
∴D（﹣2，﹣3），
∵A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴直线AD的解析式为y=﹣3x﹣9，直线BD的解析式为y=x﹣1，
∵直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，
∴G（﹣m﹣3，m），H（m+1，m），
∴GH=m+1﹣（﹣m﹣3）=m+4，
∴S矩形GEFH=﹣m（m+4）=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+3，
∴m=﹣，矩形GEFH的最大面积为3．

（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3），
∴CD=2，
∴S四边形ABCD=×3（4+2）=9，
∵S1：S2=4：5，
∴S1=4，
如图，
设直线y=kx+1与线段AB相交于M，与线段CD相交于N，
∴M（﹣，0），N（﹣，﹣3），
∴AM=﹣+3，DN=﹣+2，
∴S1=（﹣+3﹣+2）×3=4，
∴k=

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的面积公式，梯形的面积公式，求出相关线段的长是解本题的关键．