专题4-平面向量的线性运算-2022一模期末考试汇编

专题4  平面向量的线性运算

【知识精讲】

1、平面向量的相关概念

(1)向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；

(2)向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；

(3)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；

(4)相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；

(5)互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；

(6)平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．

2、平面向量的加减法则

几个向量相加的多边形法则；向量减法的三角形法则；向量加法的平行四边形法则．

3、实数与向量相乘的运算

设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．

(1)如果，且，那么的长度；

的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向．

(2)如果k = 0或，那么．

4、实数与向量相乘的运算律

设m、n为实数，则

(1)；  (2)；   (3)．

5、平行向量定理

如果向量与非零向量v平行，那么存在唯一的实数m，使．

6、单位向量

单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．

单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．

2、向量的线性运算

向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．

如、、、等，都是向量的线性运算．

一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．

3、向量的合成与分解

如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．

平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．

【历年真题】

【考点1】平面向量的基本概念

1．（2021秋•长宁区、崇明区期末）如果向量与向量方向相反，且，那么向

量用向量表示为（　　）

A． B． C． D．

2．（2021秋•松江区期末）已知，那么下列判断错误的是（　　）

A． B． C． D．

3．（2021秋•徐汇区期末）已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（　　）

A． B． C． D．

4．（2021秋•杨浦区期末）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（　  ）

A． B． C． D．

5．（2021秋•宝山区期末）已知为非零向量，，，那么下列结论中，不正确的是（　　）

A． B． C． D．

6．（2021秋•普陀区期末）已知与是非零向量，且，那么下列说法中正确的是（　　）

A． B． C． D．

7．（2021秋•虹口区期末）已知，下列说法中不正确的是（　　）

A． B．与方向相同 C． D．

8．（2021秋•青浦区期末）如果、均为非零向量），那么下列结论错误的是（　　）

A．  B． C． D．与方向相同

9．（2021秋•嘉定区期末）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中一定正确的是（　　）

A． B． C． D．

10．（2021秋•浦东新区期末）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（　　）

A． B． C． D．

11．（2021秋•黄浦区期末）已知，，是非零向量，下列条件中不能判定的是

（　　）

A．， B．   C．  D．，

12．（2021秋•闵行区期末）如果，，且，下列结论正确的是

（　　）

A．  B．    C．与方向相同 D．与方向相反

13．（2021秋•杨浦区期末）已知的长度为2，的长度为4，且和方向相反，用向

量表示向量＝　   　．

14．（2021秋•普陀区期末）已知是单位向量，与方向相反，且长度为6，那么　　　   　．（用向量表示）

15．（2021秋•闵行区期末）（2021秋•闵行区期末）为单位向量，与方向相同，且

长度为2，那么 　　．

【考点2】向量的线性运算

12．（2021秋•金山区期末）点G是△ABC的重心，设，，那么关于

和的分解式是（　　）

A． B． C． D．

2．（2021秋•徐汇区期末）计算：＝＝　   　．

3．（2021秋•青浦区期末）计算：　　．

4．（2021秋•奉贤区期末）计算：　　．

5．（2021秋•金山区期末）计算：＝　   　．

6．（2021秋•崇明区期末）计算：＝　   　．

7．（2021秋•浦东新区期末）计算：　　．

8．（2021秋•虹口区期末）如果向量、、满足，那么　　（用向量、表示）．

9．（2021秋•嘉定区期末）已知向量、、满足，试用向量、

表示向量，那么　　．

10．（2021秋•松江区期末）如图1，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，设

，，那么可以用，表示为 　   　．

     图1                                     图2                                            图3

11．（2021秋•徐汇区期末）如图2，已知点是的重心，记向量，，则向量　　．（用向量的形式表示，其中，为实数）

12．（2021秋•静安区期末）如图3，在中，中线、相交于点，如果，，那么　　．（用含向量、的式子表示）

13．（2021秋•浦东新区期末）如图4，已知平行四边形的对角线与交于点．设，，那么向量关于向量、的分解式是 　　．

       图4                                            图5                                           图6

14．（2021秋•黄浦区期末）如图5，D、E分别是△ABC的边BA、CA延长线上的点，DE

∥BC，EA：AC＝1：2，如果，那么向量＝　　（用向量表示）．

15．（2021秋•崇明区期末）如图6，在平行四边形ABCD中，点M是边CD中点，点N

是边BC的中点，设，，那么可用、表示为　　．

【考点3】平面向量的线性综合题

1．（2021秋•长宁区期末）如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点，若，．

（1）用、表示、；

（2）求作在、方向上的分向量．

（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）

2．（2021秋•普陀区期末）如图，已知，、相交于点，过作交于点，．

（1）求的值；

（2）设，，那么　　，　　（用向量，表示）

3．（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，且．

（1）如果AC=6，求AE 的长；

（2）设，，试用、的线性组合表示向量．

4．（2021秋•徐汇区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=6，对角线BD，AC相交于点E，过点A作AF//DC，交对角线BD于点F．

（1）求的值；

（2）设，，请用向量、表示向量．

5．（2021秋•宝山区期末）如图，已知在四边形中，是边上一点，，交于点，又．

（1）设，，用向量、表示向量　　，　　．

（2）如果，，，求的长．

6．（2021秋•奉贤区期末）如图，在△ABC中，AC=5，cotA=2，cotB=3，D是AB边上的一点，∠BDC=45°．

（1）求线段BD的长；

（2）如果设，，那么　　，　　，　　（含、的式子表示）．

7．（2021秋•青浦区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE、BD相交于点F，BF=3DF．

（1）求AE：ED的值；

（2）如果，，试用、表示向量．

8．（2021秋•浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥

BC，且DE＝BC．

（1）如果AC＝6，求AE的长；

（2）设，，求向量（用向量、表示）．

9．（2021秋•闵行区期末）如图，AD，BE是△ABC的中线，交于点G，且，

．

（1）直接写出向量关于、的分解式，＝　   　；

（2）在图中画出向量在向量和方向上的分向量．

（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）

10．（2021秋•金山区期末）如图，已知：四边形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，＝2，设，．求向量关于、的分解式．

11．（2021秋•崇明区期末）如图，在△ABC中，点F为△ABC的重心，联结AF并延长交BC于点D，联结BF并延长交AC于点E．

（1）求的值；

（2）如果，，用、表示和．