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幂函数、零点与函数的应用--函数的应用 练习+解析
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这是一份幂函数、零点与函数的应用--函数的应用 练习+解析，共30页。
典例分析
题型一：正比例、反比例和一次函数型
【例1】 某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是 元.
【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】 1200
【例2】 某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价的百分数是 .
【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】
【例3】 某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？
观测时间
1996年底
1997年底
1998年底
1999年底
2000年底
该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）
0.2000
0.4000
0.6001
0.7999
1.0001
【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数的图象。
将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，
求得k=0.2，b=0，
所以y=0.2x（x∈N）。
因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年底沙漠面积大约为
95+0.5×15=98（万公顷）。
（2）设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得95+0.2x－0.6(x－5)=90，
解得x=20（年）。
故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。
点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好。
【答案】（1）98（万公顷）（2）2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷
【例4】 已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）证明 其中和均为常数；
【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2006年，安徽理，高考
【解析】 （Ⅰ）令，则，∵，∴。
（Ⅱ）①令，∵，∴，则。
假设时，，则，而，∴，即成立。
②令，∵，∴，
假设时，，则，而，∴，即成立。∴成立。
点评：该题应用了正比例函数的数字特征，从而使问题得到简化。而不是一味的向函数求值方面靠拢。
【答案】（Ⅰ）令，则，∵，∴。
（Ⅱ）①令，∵，∴，则。
假设时，，则，而，∴，即成立。
②令，∵，∴，
假设时，，则，
而，∴，即成立。∴成立。
【例5】 某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月（以30天计）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈[250，400]时，每月所获利润才能最大．于是每月所获利润y为，x∈[250，400]．
因函数y在[250，400]上为增函数，故当x = 400时，y有最大值825元.
【答案】当x = 400时，y有最大值825元
【例6】 某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电荷量为a kW·h，本年度计划将电价降到0.55元/ kW·h至0.75元/ kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/ kW·h.经测算，下调电价后新增的用电荷量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/ kW·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的受益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增长20%
(注：受益＝实际用电量×(实际电价－成本价))？
【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 (1)∵，
∴下调电价后新增的用电荷量为
∴本年度用电荷量为
∵受益＝实际用电量×(实际电价－成本价)，∴
(2)，∴
上年受益＝，∴
解得
即最低电价应定为元/ .
答：关系式为，最低电价为元/ .
【答案】（1），（2）最低电价为元/ .
【例7】 我国从1990年至2000年间，国内生产总值（GDP）（单位：亿元）如下表所示：
年份
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
生产总值
18598.4
21662.5
26651.9
34560.5
46670
57494.9
66850.5
73142.7
76967.1
80422.8
89404
根据表中数据，建立能基本反映这一时期国内生产总值变化的函数模型，并利用所建立的函数模型，预测2010年我国的国内生产总值.
【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 由表中数据作出散点图，如右图所示.
根据散点图，可以看出大致分布在一条直线附近. 选择1990年、2000年的数据代入，得
，解得.
所以，近似的函数模型为.
当x=2010时，y=160209.6，
即预测2010年我国的国内生产总值为160209.6亿元.
点评：根据收集到的数据，作散点图，通过观察图象的特征，选用适合的函数模型，也可以利用计算器或计算机的数据拟合功能，作出具体的函数解析式，再通过所得到的函数模型解决相应的问题. 本题由两点近似求得直线，如果由以后的线性回归知识求解，所得模型则更接近实际情况.
【答案】预测2010年我国的国内生产总值为160209.6亿元
题型二：二次函数型
【例8】 一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
x年
4
6
8
…
（万元）
7
11
7
…
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 表中已给出了二次函数模型
，
由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7），（6，11），（8，7），则
。
解得a=－1，b=12，c=-25，
即。
又
而取“=”的条件为，
即x=5，故选（B）。
点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。
【答案】B
【例9】 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如下表。在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为15.13m，问汽车在刹车时的速度是多少？
刹车时车速v/km/h
15
30
40
50
60
80
刹车距离s/m
1.23
7.30
12.2
18.40
25.80
44.40
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 所求问题就变为根据上表数据，建立描述v与s之间关系的数学模型的问题。此模型不能由表格中的数据直接看出，因此，以刹车时车速v为横轴，以刹车距离s为纵轴建立直角坐标系。根据表中的数据作散点图，可看出应选择二次函数作拟合函数。假设变量v与s之间有如下关系式：，因为车速为0时，刹车距离也为0，所以二次曲线的图象应通过原点（0，0）。再在散点图中任意选取两点A（30，7.30），B（80，44.40）代入，解出a、b、c于是
。（代入其他数据有偏差是许可的）
将s=15.13代入得
，
解得v≈45.07。
所以，汽车在刹车时的速度是45.07km/h。
【答案】汽车在刹车时的速度是45.07km/h
【例10】 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】2003年，北京，高考春
【解析】 （1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： =12，所以这时租出了88辆车.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.
点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。
【答案】（1）租出了88辆，（2）当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元
【例11】 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、万件、万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 (1)利用二次函数模型，设
由已知条件可得方程组：，
解得
∴
把4月份代入可得
(2)用模型2，即指数模型＝
把1，2，3月分别代入可得方程组如下：
解方程组可得：，×＋
∴，综上可知用模型×＋好.
答：用模型×＋作为模拟函数较好.
【答案】用模型×＋作为模拟函数较好
【例12】 一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比，已知当航速为每小时a海里时，每小时所耗燃料费为b元；此外，该海轮航行中每小时的其它费用为c元(与航速无关)，若该海轮匀速航行d海里，问航速应为每小时多少海里才能使航行的总费用最省？此时的总费用为多少？
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 本题的问题求的是匀速航行的速度为多少总费用最省，那么就要找到总费用和航速的关系，总费用等于燃料费和其它费用的总和，燃料费与时间和航速有关，而其它费用只和时间有关，而时间又是由航速确定的，所以本题的一切变量都可以用航速表达出来，从而可以列出函数关系求最值.
由题意设所耗燃料费与其航速的平方的比例系数为k，则：，
设航速为每小时海里使最省，则：航行的总费用为
当，即时取最小值.
答：当航速满足时，费用最小，其最小值为.
【答案】当航速满足时，费用最小，其最小值为
【例13】 有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p万元和q万元，它们与投入的资金x万元的关系有经验公式：p=x，q=. 现有资金9万元投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设对乙商品投入x万元，则对甲商品投入9－x万元.
设利润为y万元，.
∴y===，
∴ 当=2,即x=4时，ymax=1.3.
所以，投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元.
【例14】 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0
【关键词】无
【解析】 （1）由题意
（2）要保证日利润最大，则当且仅当时.
【答案】（1）（2）时
【例15】 某商店按每件80元的价格，购进时令商品（卖不出去的商品将成为废品）1000件；市场调研推知：当每件售价为100元时，恰好全部售完；当售价每提高1元时，销售量就减少5件；为获得最大利润，商店决定提高售价x元，请将获得总利润y元表示为x的函数，并确定合理售价，求出最大利润.
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设比100元的售价高元，总利润为元；则
.
显然，当即售价定为150元时，利润最大；其最大利润为32500元.
【答案】售价定为150元时，利润最大；其最大利润为32500元
【例16】 某商场经销一批进货单价为40元的商品,销售单价与日均销售量的关系如下表：
销售单价/元
50
51
52
53
54
55
56
日均销售量/个
48
46
44
42
40
38
36
为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.
设销售单价定为x元，则每个利润为（x－40）元，日均销量为个.
由于，且，得.
则日均销售利润为，.
易知，当，y有最大值.
所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理.
点评：从表格中发现存在的变化规律，是课标教材中对提价后销量减少一类应用问题相比大纲教材的改进. 这种表格背景更符合实际，规律都是从样本数据中发现，而不是直接生硬地得到，同时也提高了读表分析这一数学阅读理解能力.
【答案】定为57元时较为合理
题型三：分段函数型
【例17】 某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表：
一期2000年投入
1亿元
兴建垃圾堆肥厂
年处理有机肥十多万吨
年综合收益
2千万元
二期2002年投入
4亿元
兴建垃圾焚烧发电一厂
年发电量1.3亿kw/h
年综合收益
4千万元
三期2004年投入
2亿元
兴建垃圾焚烧发电二厂
年发电量1.3亿kw/h
年综合收益
4千万元
如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x年的总收益为f(x)（单位：千万元），试求f（x）的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 由表中的数据知，本题需用分段函数进行处理。由表中的数据易得，
显然，当n≤4时，不能收回投资款。
当n≥5时，由f(n)=10n-24>70，
得n>9.4，取n=10。
所以到2010年可以收回全部投资款。
点评：分段函数是根据实际问题分类讨论函数的解析式，从而寻求在不同情况下实际问题的处理结果。
【答案】到2010年可以收回全部投资款
【例18】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中（2）的抛物线表示.
图2—10
（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t）；
写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?
（注：市场售价和种植成本的单位：元／102 ，ｋg，时间单位：天）
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】2000年，全国，高考
【解析】 （1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为
f（t）＝
由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为
g（t）＝（t－150）2＋100，0≤t≤300．
（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）＝f（t）－g（t），
即h（t）＝
当0≤t≤200时，配方整理得h（t）＝－（t－50）2＋100，
所以，当t＝50时，h（t）取得区间［0，200］上的最大值100；
当200＜t≤300时，配方整理得
h（t）＝－（t－350）2＋100，
所以，当t＝300时，h（t）取得区间（200，300］上的最大值87.5.
综上，由100＞87．5可知，h（t）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.
点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.
【答案】（1）f（t）＝
g（t）＝（t－150）2＋100，0≤t≤300．
（2）从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大
【例19】 某商店将进货价每个10元的商品按每个18元出售时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高一元，则日销量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销量就增加10个.为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设此商品每个售价为x元，日利润为y元，则：
当时：
即商品按20元每个售出时最大日利润为500元；
当时：
此时商品按每个17元售出时获得最大日利润为490元.
答：定价为20元可获日最大利润.
【答案】定价为20元可获日最大利润
【例20】 中国青年报2001年3月19日报道：中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个：“套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法.
具体方案如下：
方案代号
基本月租（元）
免费时间（分钟）
超过免费时间的话费（元/分钟）
1
30
48
0．60
2
98
170
0．60
3
168
330
0．50
4
268
600
0．45
5
388
1000
0．40
6
568
1700
0．35
7
788
2588
0．30
原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟付0.4元，请问：
（1）“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时）的函数关系式；
（2）取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；
（3）据中国移动2000年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分钟，若一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由.
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】2002年，北京，高中数学知识应用竞赛
【解析】 (1)
（2）当0≤t≤600时，解不等式50+0.4t≥268，得545≤t≤600（t∈N），
当t>600时，解不等式50+0.4t≥268+0.45(t-600)，得600
（3）因为按照原来的收费方式，320分钟收费178元（即50+0.4×320），所以，不会选择月 租费多于178元的收费方式，从而只考虑“套餐”中的前三种方式.
第一种方式的话费为：30+0.6×（320-48）=193.2（元）；
第二种方式的话费为：98+0.6×（320-170）=188（元）；
第三种方式的话费为：168元.
故选择第三种方式.
事实上，相对于原收费方式，当通话时间大于244分钟时，第一种方式不合算，当通话时间只有在120分钟至270分钟时，第二种方式较合算.
【答案】(1)
（2）第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱.
（3）第三种方式
【例21】 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线.
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）当时，；当时，，此时在曲线上，
∴，这时. 所以.
（2）∵，即， 解得 ，∴ .
∴ 服药一次治疗疾病有效的时间为个小时.
生活中有许多实际问题，常作为函数模型的应用背景. 我们需依据四步曲“读题理解→建模转化→求解问题→检验作答”求解，从冗长的文字语言中精炼出数学语言，选择合适的数学模型来研究.
【答案】（1）（2）小时
【例22】 “依法纳税是每个公民应尽的义务”. 国家征收个人所得税是分段计算,总收入不超过800元,免征个人所得税，超过800元部分需征税. 设全月纳税所得额为x，x=全月总收入－800元，税率见下表：
级 数
全月纳税所得额
税 率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元至2000元部分
10%
3
超过2000元至5000元部分
15%
…
…
…
9
超过10000元部分
45%
（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示1~3级纳税额f（x）的计算公式；
（2）某人2005年10月总收入3000元，试求该人此月份应缴纳个人所得税多少元；
（3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于
A.800~900元 B.900~1200元 C.1200~1500元 D.1500~2800元
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）依税率表，有：第一段：x·5%，0＜x≤500；
第二段：（x－500）×10%+500×5%，500＜x≤2000；
第三段：（x－2000）×15%+1500×10%+500×5%，2000＜x≤5000，
即f（x）= .
（2）这个人10月份应纳税所得额x=3000－800=2200，
f（2200）=0.15×（2200－2000）+175=205.
所以，这个人10月份应缴纳个人所得税205元.
（3）解法一：（估算法）由500×5%=25元，100×10%=10元，故某人当月工资应在1300~1400元之间，故选C.
解法二：（逆推验证法）设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为400×5%=20（元），500×5%+200×10%=45（元）.可排除A、B、D，故选C.
点评：关系国民经济发展的纳税问题，与分段函数密切相关，我们需注意各级税率的正确理解，超过部分按此税率，并非一个税率来计算纳税.
【答案】（1）f（x）=
（2）10月份应缴纳个人所得税205元
（3）C
【例23】 某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售天内全部售完. 该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）.
（1）分别写出国内市场的日销售量、国外市场的日销售量与第一批产品A的上市时间的关系式；
（2）第一批产品A上市后，求日销售利润的解析式.
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）当时，设，由解得k=2，则.
当时，设，
由解得，则.
所以，国内市场的日销售量.
设，由解得.
所以，国外市场的日销售量（）.
（2）设每件产品A的销售利润为，由图易得，从而这家公司的日销售利润的解析式为
.
点评：销售量由图象分段给出，设立各段图象的解析式，由待定系数法易求解. 单件利润也是分段函数. 解题的关键在于合理分段，正确得到日销售利润的分段函数式.
【答案】（1）（）
（2）
【例24】 有一批影碟机（VCD），原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设某单位需要购买台影碟机，甲、乙两商场的购货款的差价为，
∵去甲商场购买共花费，由题意，
有，∴.
∴，
即y=（）.
当时，； 当时，；当时，.
所以，若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少．
【答案】若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少．
题型四：指数、对数型
【例25】 某工厂生产总值月平均增长率为p，则年平均增长率为（ ）.
A. p B. 12p C. (1+p)12 D. (1+p)12－1
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】A
【例26】 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）.
A. 克 B. (1－0.5%)3克 C. 0.925克 D. 克
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】D
【例27】 1980年我国工农业总产值为a亿元，到2000年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少达到（ ）.
A. －1 B. －1 C. －1 D. －1
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】A
【例28】 某商品2002年零售价比2001年上涨25％，欲控制2003年比2001年只上涨10％，则2003年应比2002年降价（ ）.
A. 15％ B. 12％ C. 10％ D. 8％
【考点】指数、对数型 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】B
【例29】 计算机成本不断降低,若每隔三年计算机价格降低，则现在价格为8100元的计算机9年后价格可降为 元.
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】2400
【例30】 ,,,当时,三个函数增长速度比较,下列选项中正确的是（ ）.
A. >> B. >>
C. >> D. >>
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】B
【例31】 如图,能使不等式成立的自变量的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【考点】指数、对数型 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】D
【例32】 某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20％，则第四年造林（ ）.
A. 14400亩 B. 172800亩 C. 17280亩 D. 20736亩
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】C
【例33】 某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被面积可增长为原来的y倍，则函数的大致图象为（ ）
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】D
【例34】 某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2008年1月1日可取回款（ ）.
A. a(1+x)5元 B. a(1+x)6元 C. a(1+x5)元 D. a(1+x6)元
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】A
【例35】 老师今年用7200元买一台笔记本. 电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一. 三年后老师这台笔记本还值 .
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】
【例36】 有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合。
用，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），表示湖水污染初始质量分数。
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；
（2）分析时，湖水的污染程度如何。
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）设，
因为为常数，，即，
则；
（2）设，
=
因为，，。污染越来越严重。
点评：通过研究指数函数的性质解释实际问题。我们要掌握底数两种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别，它能帮我们解释具体问题。譬如向题目中出现的“污染越来越严重”还是“污染越来越轻”
【答案】（1），（2）污染越来越严重
【例37】 现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，
1小时后，细胞总数为；
2小时后，细胞总数为；
3小时后，细胞总数为；
4小时后，细胞总数为；
可见，细胞总数与时间（小时）之间的函数关系为： ，
由，得，两边取以10为底的对数，得，
∴，
∵，
∴.
答：经过46小时，细胞总数超过个。
点评：对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合理的解析。
【答案】46小时
【例38】 本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的.
（1）求每年平改坡的百分比；
（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？
（3）若通过技术创新，至少保留的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）设每年平改坡的百分比为，则
，即，解得.
（2）设到今年为止，该工程已经进行了n年，则，即，解得n=5.
所以，到今年为止，该工程已经进行了5年.
（3）设今后最多还需平改坡m年，则 ，即，解得m=15.
所以，今后最多还需平改坡15年.
点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.
【答案】（1）6.70%，（2）5年，（3）15年
【例39】 1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿）.
（1）写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；
（2）求2008年底的世界人口数y与x的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）1993年底的世界人口数为 ；
1994年底的世界人口数为 ；
2000年底的世界人口数为 .
（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式为 .
由66.8， 解得.
所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内
【答案】（1）1993年底的世界人口数为 ；
1994年底的世界人口数为 ；
2000年底的世界人口数为
（2）人口的年平均增长率应控制在1.1%以内
【例40】 光线通过一块玻璃,其强度要损失,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为,通过块玻璃后强度为.
（1）写出关于的函数关系式；
（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的以下? (
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）
（2）
∴ .
【答案】（1）
（2）11
【例41】 1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设x年后人口总数超过14亿. 由题意得 ，即 .
两边取常用对数，得.
∴ .
所以，13年后，即2008年我们人口总数超过14亿.
【答案】2008年我们人口总数超过14亿.
【例42】 某公司拟投资100万元，有两种获利的可能提供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5年后，这种有利的投资比另一种投资可多得利息多少元？
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 100万元，按单利计算，年利率10%，5年后的本利和为 （万元）.
100万元，按复利计算，年利率9%，5年后的本利和为 （万元）.
由此可见，按年利率9%的复利计算投资，要比年利率10%的单利计算投资更有利，5年后可多的利息3.86万元.
点评：利率问题考察的函数模型是一次函数和幂函数，要理解“单利”和“复利”的实际意义.
【答案】按年利率9%的复利计算投资，要比年利率10%的单利计算投资更有利，5年后可多的利息3.86万元
【例43】 某人有资金2000元，拟投入在复利方式下年报酬为8%的投资项目，大约经过多少年后能使现有资金翻一番？（下列数据供参考：lg2=0.3010，lg5.4=0.7324，lg5.5=0.7404，lg5.6=0.7482）.
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设经过x年后能使现有资金翻一番，则，即.
两边取对数，有.
所以，经过10年后才能使现有资金翻一番.
【答案】经过10年后才能使现有资金翻一番
【例44】 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）∵ ，，， ∴ 为减函数.
∴ 随时间的增加，臭氧的含量是减少.
（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则，即，
两边去自然对数，，解得.
∴ 287年以后将会有一半的臭氧消失.
【答案】（1）随时间的增加，臭氧的含量是减少，（2）287年后有一半的臭氧消失
【例45】 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，小时内供水总量为吨，（）.从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨?
【考点】指数、对数型 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设小时后蓄水池中的水量为吨，则.
令＝，则，即.
∴ 当，即时，，
所以，从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨.
点评：运用二次函数的模型，常解决一些最大（小）值的问题，对生产生活等问题进行优化.
【答案】第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨
【例46】 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）． （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】2007年，上海，高考
【解析】 （1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为，，，．则2006年全球太阳电池的年生产量为(兆瓦)．
（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则，解得．
因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到．
【答案】（1）2499.8(兆瓦)，（2）
【例47】 1650年世界人口为5亿，当时的年增长率为3‰，用指数增长模型计算什么时候世界人口达到10亿（实际上1850年前已超过10亿）. 1970年世界人口为36亿，年增长率为2.1‰，用指数增长模型预测什么时候世界人口会翻一番？
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 由1650年世界人口数据，把，代入马尔萨斯人口模型，得.
解不等式，得
所以，由马尔萨斯人口模型估算，经过231年后，即1881年世界人口达到10亿.
由1970年世界人口数据，把，代入马尔萨斯人口模型，得.
解不等式，得.
所以，由马尔萨斯人口模型估算，经过330年后，即2300年世界人口达到72亿.
【答案】经过330年后，即2300年世界人口达到72亿.
【例48】 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数（其中为常数，且）或指数型函数（其中为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 当选用的模型时，， 解得，
∴.
当选用的模型时， ，解得，
∴.
根据4月份的实际产量可知，选用作模拟函数较好.
点评：根据所给出的几种函数模型，用待定系数法确定系数后，再根据所求得的函数解析式检验其余的一些数据，通过比较误差的大小而优选适合的函数模型.
【答案】选用作模拟函数较好
题型五：其他类型
【例49】 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）.
【考点】其他类型 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】B
【例50】 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回. 设t为出发后的某一时刻，S为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图象中能大致表示的函数关系的为（ C ）.
【考点】其他类型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，，图象为一条线段；
当环岛两周时，S两次增至最大，并减少到与环岛前的距离；
上岛考察时，；
返回时，，图象为一条线段. 所以选C.
点评：根据实践问题中变量的实际意义，寻找它们之间的大概函数关系，由函数关系式确定所要选择的图象.此题的关键是分析各段行程，找出汽艇到岛的距离S与时间t的简明关系.
【答案】C
【例51】 对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 为, 要求清洗完后的清洁度为. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是,
其中是该物体初次清洗后的清洁度.。
(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
【考点】其他类型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】2006年，湖南理，高考
【解析】 (Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.
由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程: 解得y=4,故z=4+3.
即两种方案的用水量分别为19与4+3.
因为当,故方案乙的用水量较少.
（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得
，（*）
于是+
当为定值时,,
当且仅当时等号成立.此时
（不合题意，舍去）或
将代入（*）式得
故时总用水量最少,
此时第一次与第二次用水量分别为与,
最少总用水量是.
当,故T()是增函数，这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.
点评：该题建立了函数解析式后，通过基本不等式“”解释了函数的最值情况，而解决了实际问题。该问题也可以用二次函数的单调性判断。
【答案】(Ⅰ)甲： 19，乙：4+3.
（II）第一次与第二次用水量分别为与,
最少总用水量是.
当,故T()是增函数，这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量
【例52】 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）.
（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；
（2）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；
（3）设f（x）=，现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也
可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由
【考点】其他类型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】2001年，上海，高考
【解析】 （1）f（0）=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．
（2）函数f（x）应该满足的条件和具有的性质是：f（0）=1，f（1）=，
在［0，＋∞）上f（x）单调递减，且0＜f（x）≤1．
（3）设仅清洗一次，残留的农药量为f1＝，清洗两次后，残留的农药量为
f2＝，
则f1－f2＝．
于是，当a＞2时，f1＞f2；当a=2时，f1＝f2；当0＜a＜2时，f1＜f2．
因此，当a＞2时，清洗两次后残留的农药量较少；
当a=2时，两种清洗方法具有相同的效果；
当0＜a＜2时，一次清洗残留的农药量较少．
点评：本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力。以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法。
【答案】当a＞2时，清洗两次后残留的农药量较少；
当a=2时，两种清洗方法具有相同的效果；
当0＜a＜2时，一次清洗残留的农药量较少
【例53】 某农场新开垦50亩土地，计划用20个劳动力耕种这片土地，所能种植的作物及产值如下表：问怎样安排作物的种植数量，才能使总产值最高？
作物
蔬菜
棉花
水稻
每亩所需劳动力(人)
每亩产值(元)
1100
750
600
【考点】其他类型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设蔬菜、棉花、水稻分别种植亩，总产值为元，则由题意可得：
由①和②可得用表示的形式，
代入③，可得：W=50x+43500 ④
∵，∴，即当时，.
；
答：种植蔬菜30亩、水稻20亩，总产值最高，且可达到45000元.
【答案】种植蔬菜30亩、水稻20亩，总产值最高，且可达到45000元
【例54】 某镇自来水厂，蓄水池原有水650，一天中在向水池中注水的同时蓄水池又向居民供水，内向居民总供水.
(1)当每小时向水池注水120时，一天中合适蓄水池中水量最少.
(2)若蓄水池中水量少于，就会出现供水紧张现象，问每小时向水池中注水多少吨，一天中才不会出现供水紧张现象？
【考点】其他类型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 由题意可得水量：，配方后求得当()，即时，水量最少，为150；设每小时向水池中注水，
则由题意可得：，求解该不等式即可.
(1)由题意可得水量：
令，则原式等于
，∴
∴当，即时，水量最少，为150.
(2)设每小时向水池中注水，
则由题意可得：，即，
设，则原式可化为：
即对一切都成立.
即 或
综合上不等式组可解得
答：在每天4时10分水量最少，每小时向水池中注水125吨可保证一天中不会出现供水紧张.
【答案】在每天4时10分水量最少，每小时向水池中注水125吨可保证一天中不会出现供水紧张
【例55】 一批发兼零售的文具商店规定：凡购买铅笔51支以上(含51支)按批发价结算，而少于51支则按零售价计算，批发价每购60支比零售价60支少付1元.现有班长小王来购铅笔，若给全班每人买一支，则必须按零售价结算，需支付元(为整数)，但若多买10支，则可按批发价结算，恰好也是支付元，问该班有多少学生？
【考点】其他类型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设出班级人数为x，那么第一种购买方式可得出零售价为，而第二种购买方式可知批发价为，通过批发价每购60支比零售价60支少付1元可得到二者的差价等式，从而可解出单价x.
设全班有学生x人，由题意可得40＜x≤50.则铅笔的零售价为元，批发价为，
则，整理可得
解得：，∴
又∵25+600m为完全平方数.
综合可解得m=5，∴x=50.
经检验，m=5，x=50是方程的解.
答：该班共有学生50人.
【答案】该班共有学生50人.
典例分析
题型一：正比例、反比例和一次函数型
【例1】 某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是 元.
【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】 1200
【例2】 某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价的百分数是 .
【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】
【例3】 某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？
观测时间
1996年底
1997年底
1998年底
1999年底
2000年底
该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）
0.2000
0.4000
0.6001
0.7999
1.0001
【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数的图象。
将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，
求得k=0.2，b=0，
所以y=0.2x（x∈N）。
因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年底沙漠面积大约为
95+0.5×15=98（万公顷）。
（2）设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得95+0.2x－0.6(x－5)=90，
解得x=20（年）。
故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。
点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好。
【答案】（1）98（万公顷）（2）2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷
【例4】 已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）证明 其中和均为常数；
【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2006年，安徽理，高考
【解析】 （Ⅰ）令，则，∵，∴。
（Ⅱ）①令，∵，∴，则。
假设时，，则，而，∴，即成立。
②令，∵，∴，
假设时，，则，而，∴，即成立。∴成立。
点评：该题应用了正比例函数的数字特征，从而使问题得到简化。而不是一味的向函数求值方面靠拢。
【答案】（Ⅰ）令，则，∵，∴。
（Ⅱ）①令，∵，∴，则。
假设时，，则，而，∴，即成立。
②令，∵，∴，
假设时，，则，
而，∴，即成立。∴成立。
【例5】 某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月（以30天计）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈[250，400]时，每月所获利润才能最大．于是每月所获利润y为，x∈[250，400]．
因函数y在[250，400]上为增函数，故当x = 400时，y有最大值825元.
【答案】当x = 400时，y有最大值825元
【例6】 某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电荷量为a kW·h，本年度计划将电价降到0.55元/ kW·h至0.75元/ kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/ kW·h.经测算，下调电价后新增的用电荷量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/ kW·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的受益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增长20%
(注：受益＝实际用电量×(实际电价－成本价))？
【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 (1)∵，
∴下调电价后新增的用电荷量为
∴本年度用电荷量为
∵受益＝实际用电量×(实际电价－成本价)，∴
(2)，∴
上年受益＝，∴
解得
即最低电价应定为元/ .
答：关系式为，最低电价为元/ .
【答案】（1），（2）最低电价为元/ .
【例7】 我国从1990年至2000年间，国内生产总值（GDP）（单位：亿元）如下表所示：
年份
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
生产总值
18598.4
21662.5
26651.9
34560.5
46670
57494.9
66850.5
73142.7
76967.1
80422.8
89404
根据表中数据，建立能基本反映这一时期国内生产总值变化的函数模型，并利用所建立的函数模型，预测2010年我国的国内生产总值.
【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 由表中数据作出散点图，如右图所示.
根据散点图，可以看出大致分布在一条直线附近. 选择1990年、2000年的数据代入，得
，解得.
所以，近似的函数模型为.
当x=2010时，y=160209.6，
即预测2010年我国的国内生产总值为160209.6亿元.
点评：根据收集到的数据，作散点图，通过观察图象的特征，选用适合的函数模型，也可以利用计算器或计算机的数据拟合功能，作出具体的函数解析式，再通过所得到的函数模型解决相应的问题. 本题由两点近似求得直线，如果由以后的线性回归知识求解，所得模型则更接近实际情况.
【答案】预测2010年我国的国内生产总值为160209.6亿元
题型二：二次函数型
【例8】 一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
x年
4
6
8
…
（万元）
7
11
7
…
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 表中已给出了二次函数模型
，
由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7），（6，11），（8，7），则
。
解得a=－1，b=12，c=-25，
即。
又
而取“=”的条件为，
即x=5，故选（B）。
点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。
【答案】B
【例9】 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如下表。在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为15.13m，问汽车在刹车时的速度是多少？
刹车时车速v/km/h
15
30
40
50
60
80
刹车距离s/m
1.23
7.30
12.2
18.40
25.80
44.40
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 所求问题就变为根据上表数据，建立描述v与s之间关系的数学模型的问题。此模型不能由表格中的数据直接看出，因此，以刹车时车速v为横轴，以刹车距离s为纵轴建立直角坐标系。根据表中的数据作散点图，可看出应选择二次函数作拟合函数。假设变量v与s之间有如下关系式：，因为车速为0时，刹车距离也为0，所以二次曲线的图象应通过原点（0，0）。再在散点图中任意选取两点A（30，7.30），B（80，44.40）代入，解出a、b、c于是
。（代入其他数据有偏差是许可的）
将s=15.13代入得
，
解得v≈45.07。
所以，汽车在刹车时的速度是45.07km/h。
【答案】汽车在刹车时的速度是45.07km/h
【例10】 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】2003年，北京，高考春
【解析】 （1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： =12，所以这时租出了88辆车.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.
点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。
【答案】（1）租出了88辆，（2）当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元
【例11】 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、万件、万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 (1)利用二次函数模型，设
由已知条件可得方程组：，
解得
∴
把4月份代入可得
(2)用模型2，即指数模型＝
把1，2，3月分别代入可得方程组如下：
解方程组可得：，×＋
∴，综上可知用模型×＋好.
答：用模型×＋作为模拟函数较好.
【答案】用模型×＋作为模拟函数较好
【例12】 一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比，已知当航速为每小时a海里时，每小时所耗燃料费为b元；此外，该海轮航行中每小时的其它费用为c元(与航速无关)，若该海轮匀速航行d海里，问航速应为每小时多少海里才能使航行的总费用最省？此时的总费用为多少？
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 本题的问题求的是匀速航行的速度为多少总费用最省，那么就要找到总费用和航速的关系，总费用等于燃料费和其它费用的总和，燃料费与时间和航速有关，而其它费用只和时间有关，而时间又是由航速确定的，所以本题的一切变量都可以用航速表达出来，从而可以列出函数关系求最值.
由题意设所耗燃料费与其航速的平方的比例系数为k，则：，
设航速为每小时海里使最省，则：航行的总费用为
当，即时取最小值.
答：当航速满足时，费用最小，其最小值为.
【答案】当航速满足时，费用最小，其最小值为
【例13】 有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p万元和q万元，它们与投入的资金x万元的关系有经验公式：p=x，q=. 现有资金9万元投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设对乙商品投入x万元，则对甲商品投入9－x万元.
设利润为y万元，.
∴y===，
∴ 当=2,即x=4时，ymax=1.3.
所以，投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元.
【例14】 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0
【关键词】无
【解析】 （1）由题意
（2）要保证日利润最大，则当且仅当时.
【答案】（1）（2）时
【例15】 某商店按每件80元的价格，购进时令商品（卖不出去的商品将成为废品）1000件；市场调研推知：当每件售价为100元时，恰好全部售完；当售价每提高1元时，销售量就减少5件；为获得最大利润，商店决定提高售价x元，请将获得总利润y元表示为x的函数，并确定合理售价，求出最大利润.
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设比100元的售价高元，总利润为元；则
.
显然，当即售价定为150元时，利润最大；其最大利润为32500元.
【答案】售价定为150元时，利润最大；其最大利润为32500元
【例16】 某商场经销一批进货单价为40元的商品,销售单价与日均销售量的关系如下表：
销售单价/元
50
51
52
53
54
55
56
日均销售量/个
48
46
44
42
40
38
36
为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？
【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.
设销售单价定为x元，则每个利润为（x－40）元，日均销量为个.
由于，且，得.
则日均销售利润为，.
易知，当，y有最大值.
所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理.
点评：从表格中发现存在的变化规律，是课标教材中对提价后销量减少一类应用问题相比大纲教材的改进. 这种表格背景更符合实际，规律都是从样本数据中发现，而不是直接生硬地得到，同时也提高了读表分析这一数学阅读理解能力.
【答案】定为57元时较为合理
题型三：分段函数型
【例17】 某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表：
一期2000年投入
1亿元
兴建垃圾堆肥厂
年处理有机肥十多万吨
年综合收益
2千万元
二期2002年投入
4亿元
兴建垃圾焚烧发电一厂
年发电量1.3亿kw/h
年综合收益
4千万元
三期2004年投入
2亿元
兴建垃圾焚烧发电二厂
年发电量1.3亿kw/h
年综合收益
4千万元
如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x年的总收益为f(x)（单位：千万元），试求f（x）的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 由表中的数据知，本题需用分段函数进行处理。由表中的数据易得，
显然，当n≤4时，不能收回投资款。
当n≥5时，由f(n)=10n-24>70，
得n>9.4，取n=10。
所以到2010年可以收回全部投资款。
点评：分段函数是根据实际问题分类讨论函数的解析式，从而寻求在不同情况下实际问题的处理结果。
【答案】到2010年可以收回全部投资款
【例18】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中（2）的抛物线表示.
图2—10
（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t）；
写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?
（注：市场售价和种植成本的单位：元／102 ，ｋg，时间单位：天）
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】2000年，全国，高考
【解析】 （1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为
f（t）＝
由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为
g（t）＝（t－150）2＋100，0≤t≤300．
（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）＝f（t）－g（t），
即h（t）＝
当0≤t≤200时，配方整理得h（t）＝－（t－50）2＋100，
所以，当t＝50时，h（t）取得区间［0，200］上的最大值100；
当200＜t≤300时，配方整理得
h（t）＝－（t－350）2＋100，
所以，当t＝300时，h（t）取得区间（200，300］上的最大值87.5.
综上，由100＞87．5可知，h（t）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.
点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.
【答案】（1）f（t）＝
g（t）＝（t－150）2＋100，0≤t≤300．
（2）从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大
【例19】 某商店将进货价每个10元的商品按每个18元出售时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高一元，则日销量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销量就增加10个.为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设此商品每个售价为x元，日利润为y元，则：
当时：
即商品按20元每个售出时最大日利润为500元；
当时：
此时商品按每个17元售出时获得最大日利润为490元.
答：定价为20元可获日最大利润.
【答案】定价为20元可获日最大利润
【例20】 中国青年报2001年3月19日报道：中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个：“套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法.
具体方案如下：
方案代号
基本月租（元）
免费时间（分钟）
超过免费时间的话费（元/分钟）
1
30
48
0．60
2
98
170
0．60
3
168
330
0．50
4
268
600
0．45
5
388
1000
0．40
6
568
1700
0．35
7
788
2588
0．30
原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟付0.4元，请问：
（1）“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时）的函数关系式；
（2）取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；
（3）据中国移动2000年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分钟，若一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由.
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】2002年，北京，高中数学知识应用竞赛
【解析】 (1)
（2）当0≤t≤600时，解不等式50+0.4t≥268，得545≤t≤600（t∈N），
当t>600时，解不等式50+0.4t≥268+0.45(t-600)，得600
（3）因为按照原来的收费方式，320分钟收费178元（即50+0.4×320），所以，不会选择月 租费多于178元的收费方式，从而只考虑“套餐”中的前三种方式.
第一种方式的话费为：30+0.6×（320-48）=193.2（元）；
第二种方式的话费为：98+0.6×（320-170）=188（元）；
第三种方式的话费为：168元.
故选择第三种方式.
事实上，相对于原收费方式，当通话时间大于244分钟时，第一种方式不合算，当通话时间只有在120分钟至270分钟时，第二种方式较合算.
【答案】(1)
（2）第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱.
（3）第三种方式
【例21】 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线.
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）当时，；当时，，此时在曲线上，
∴，这时. 所以.
（2）∵，即， 解得 ，∴ .
∴ 服药一次治疗疾病有效的时间为个小时.
生活中有许多实际问题，常作为函数模型的应用背景. 我们需依据四步曲“读题理解→建模转化→求解问题→检验作答”求解，从冗长的文字语言中精炼出数学语言，选择合适的数学模型来研究.
【答案】（1）（2）小时
【例22】 “依法纳税是每个公民应尽的义务”. 国家征收个人所得税是分段计算,总收入不超过800元,免征个人所得税，超过800元部分需征税. 设全月纳税所得额为x，x=全月总收入－800元，税率见下表：
级 数
全月纳税所得额
税 率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元至2000元部分
10%
3
超过2000元至5000元部分
15%
…
…
…
9
超过10000元部分
45%
（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示1~3级纳税额f（x）的计算公式；
（2）某人2005年10月总收入3000元，试求该人此月份应缴纳个人所得税多少元；
（3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于
A.800~900元 B.900~1200元 C.1200~1500元 D.1500~2800元
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）依税率表，有：第一段：x·5%，0＜x≤500；
第二段：（x－500）×10%+500×5%，500＜x≤2000；
第三段：（x－2000）×15%+1500×10%+500×5%，2000＜x≤5000，
即f（x）= .
（2）这个人10月份应纳税所得额x=3000－800=2200，
f（2200）=0.15×（2200－2000）+175=205.
所以，这个人10月份应缴纳个人所得税205元.
（3）解法一：（估算法）由500×5%=25元，100×10%=10元，故某人当月工资应在1300~1400元之间，故选C.
解法二：（逆推验证法）设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为400×5%=20（元），500×5%+200×10%=45（元）.可排除A、B、D，故选C.
点评：关系国民经济发展的纳税问题，与分段函数密切相关，我们需注意各级税率的正确理解，超过部分按此税率，并非一个税率来计算纳税.
【答案】（1）f（x）=
（2）10月份应缴纳个人所得税205元
（3）C
【例23】 某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售天内全部售完. 该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）.
（1）分别写出国内市场的日销售量、国外市场的日销售量与第一批产品A的上市时间的关系式；
（2）第一批产品A上市后，求日销售利润的解析式.
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）当时，设，由解得k=2，则.
当时，设，
由解得，则.
所以，国内市场的日销售量.
设，由解得.
所以，国外市场的日销售量（）.
（2）设每件产品A的销售利润为，由图易得，从而这家公司的日销售利润的解析式为
.
点评：销售量由图象分段给出，设立各段图象的解析式，由待定系数法易求解. 单件利润也是分段函数. 解题的关键在于合理分段，正确得到日销售利润的分段函数式.
【答案】（1）（）
（2）
【例24】 有一批影碟机（VCD），原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？
【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设某单位需要购买台影碟机，甲、乙两商场的购货款的差价为，
∵去甲商场购买共花费，由题意，
有，∴.
∴，
即y=（）.
当时，； 当时，；当时，.
所以，若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少．
【答案】若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少．
题型四：指数、对数型
【例25】 某工厂生产总值月平均增长率为p，则年平均增长率为（ ）.
A. p B. 12p C. (1+p)12 D. (1+p)12－1
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】A
【例26】 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）.
A. 克 B. (1－0.5%)3克 C. 0.925克 D. 克
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】D
【例27】 1980年我国工农业总产值为a亿元，到2000年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少达到（ ）.
A. －1 B. －1 C. －1 D. －1
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】A
【例28】 某商品2002年零售价比2001年上涨25％，欲控制2003年比2001年只上涨10％，则2003年应比2002年降价（ ）.
A. 15％ B. 12％ C. 10％ D. 8％
【考点】指数、对数型 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】B
【例29】 计算机成本不断降低,若每隔三年计算机价格降低，则现在价格为8100元的计算机9年后价格可降为 元.
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】2400
【例30】 ,,,当时,三个函数增长速度比较,下列选项中正确的是（ ）.
A. >> B. >>
C. >> D. >>
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】B
【例31】 如图,能使不等式成立的自变量的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【考点】指数、对数型 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】D
【例32】 某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20％，则第四年造林（ ）.
A. 14400亩 B. 172800亩 C. 17280亩 D. 20736亩
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】C
【例33】 某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被面积可增长为原来的y倍，则函数的大致图象为（ ）
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】D
【例34】 某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2008年1月1日可取回款（ ）.
A. a(1+x)5元 B. a(1+x)6元 C. a(1+x5)元 D. a(1+x6)元
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】A
【例35】 老师今年用7200元买一台笔记本. 电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一. 三年后老师这台笔记本还值 .
【考点】指数、对数型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】
【例36】 有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合。
用，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），表示湖水污染初始质量分数。
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；
（2）分析时，湖水的污染程度如何。
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）设，
因为为常数，，即，
则；
（2）设，
=
因为，，。污染越来越严重。
点评：通过研究指数函数的性质解释实际问题。我们要掌握底数两种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别，它能帮我们解释具体问题。譬如向题目中出现的“污染越来越严重”还是“污染越来越轻”
【答案】（1），（2）污染越来越严重
【例37】 现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，
1小时后，细胞总数为；
2小时后，细胞总数为；
3小时后，细胞总数为；
4小时后，细胞总数为；
可见，细胞总数与时间（小时）之间的函数关系为： ，
由，得，两边取以10为底的对数，得，
∴，
∵，
∴.
答：经过46小时，细胞总数超过个。
点评：对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合理的解析。
【答案】46小时
【例38】 本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的.
（1）求每年平改坡的百分比；
（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？
（3）若通过技术创新，至少保留的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）设每年平改坡的百分比为，则
，即，解得.
（2）设到今年为止，该工程已经进行了n年，则，即，解得n=5.
所以，到今年为止，该工程已经进行了5年.
（3）设今后最多还需平改坡m年，则 ，即，解得m=15.
所以，今后最多还需平改坡15年.
点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.
【答案】（1）6.70%，（2）5年，（3）15年
【例39】 1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿）.
（1）写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；
（2）求2008年底的世界人口数y与x的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）1993年底的世界人口数为 ；
1994年底的世界人口数为 ；
2000年底的世界人口数为 .
（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式为 .
由66.8， 解得.
所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内
【答案】（1）1993年底的世界人口数为 ；
1994年底的世界人口数为 ；
2000年底的世界人口数为
（2）人口的年平均增长率应控制在1.1%以内
【例40】 光线通过一块玻璃,其强度要损失,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为,通过块玻璃后强度为.
（1）写出关于的函数关系式；
（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的以下? (
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）
（2）
∴ .
【答案】（1）
（2）11
【例41】 1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设x年后人口总数超过14亿. 由题意得 ，即 .
两边取常用对数，得.
∴ .
所以，13年后，即2008年我们人口总数超过14亿.
【答案】2008年我们人口总数超过14亿.
【例42】 某公司拟投资100万元，有两种获利的可能提供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5年后，这种有利的投资比另一种投资可多得利息多少元？
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 100万元，按单利计算，年利率10%，5年后的本利和为 （万元）.
100万元，按复利计算，年利率9%，5年后的本利和为 （万元）.
由此可见，按年利率9%的复利计算投资，要比年利率10%的单利计算投资更有利，5年后可多的利息3.86万元.
点评：利率问题考察的函数模型是一次函数和幂函数，要理解“单利”和“复利”的实际意义.
【答案】按年利率9%的复利计算投资，要比年利率10%的单利计算投资更有利，5年后可多的利息3.86万元
【例43】 某人有资金2000元，拟投入在复利方式下年报酬为8%的投资项目，大约经过多少年后能使现有资金翻一番？（下列数据供参考：lg2=0.3010，lg5.4=0.7324，lg5.5=0.7404，lg5.6=0.7482）.
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设经过x年后能使现有资金翻一番，则，即.
两边取对数，有.
所以，经过10年后才能使现有资金翻一番.
【答案】经过10年后才能使现有资金翻一番
【例44】 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）∵ ，，， ∴ 为减函数.
∴ 随时间的增加，臭氧的含量是减少.
（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则，即，
两边去自然对数，，解得.
∴ 287年以后将会有一半的臭氧消失.
【答案】（1）随时间的增加，臭氧的含量是减少，（2）287年后有一半的臭氧消失
【例45】 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，小时内供水总量为吨，（）.从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨?
【考点】指数、对数型 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设小时后蓄水池中的水量为吨，则.
令＝，则，即.
∴ 当，即时，，
所以，从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨.
点评：运用二次函数的模型，常解决一些最大（小）值的问题，对生产生活等问题进行优化.
【答案】第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨
【例46】 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）． （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】2007年，上海，高考
【解析】 （1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为，，，．则2006年全球太阳电池的年生产量为(兆瓦)．
（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则，解得．
因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到．
【答案】（1）2499.8(兆瓦)，（2）
【例47】 1650年世界人口为5亿，当时的年增长率为3‰，用指数增长模型计算什么时候世界人口达到10亿（实际上1850年前已超过10亿）. 1970年世界人口为36亿，年增长率为2.1‰，用指数增长模型预测什么时候世界人口会翻一番？
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 由1650年世界人口数据，把，代入马尔萨斯人口模型，得.
解不等式，得
所以，由马尔萨斯人口模型估算，经过231年后，即1881年世界人口达到10亿.
由1970年世界人口数据，把，代入马尔萨斯人口模型，得.
解不等式，得.
所以，由马尔萨斯人口模型估算，经过330年后，即2300年世界人口达到72亿.
【答案】经过330年后，即2300年世界人口达到72亿.
【例48】 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数（其中为常数，且）或指数型函数（其中为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.
【考点】指数、对数型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 当选用的模型时，， 解得，
∴.
当选用的模型时， ，解得，
∴.
根据4月份的实际产量可知，选用作模拟函数较好.
点评：根据所给出的几种函数模型，用待定系数法确定系数后，再根据所求得的函数解析式检验其余的一些数据，通过比较误差的大小而优选适合的函数模型.
【答案】选用作模拟函数较好
题型五：其他类型
【例49】 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）.
【考点】其他类型 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】B
【例50】 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回. 设t为出发后的某一时刻，S为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图象中能大致表示的函数关系的为（ C ）.
【考点】其他类型 【难度】 2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，，图象为一条线段；
当环岛两周时，S两次增至最大，并减少到与环岛前的距离；
上岛考察时，；
返回时，，图象为一条线段. 所以选C.
点评：根据实践问题中变量的实际意义，寻找它们之间的大概函数关系，由函数关系式确定所要选择的图象.此题的关键是分析各段行程，找出汽艇到岛的距离S与时间t的简明关系.
【答案】C
【例51】 对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 为, 要求清洗完后的清洁度为. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是,
其中是该物体初次清洗后的清洁度.。
(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
【考点】其他类型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】2006年，湖南理，高考
【解析】 (Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.
由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程: 解得y=4,故z=4+3.
即两种方案的用水量分别为19与4+3.
因为当,故方案乙的用水量较少.
（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得
，（*）
于是+
当为定值时,,
当且仅当时等号成立.此时
（不合题意，舍去）或
将代入（*）式得
故时总用水量最少,
此时第一次与第二次用水量分别为与,
最少总用水量是.
当,故T()是增函数，这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.
点评：该题建立了函数解析式后，通过基本不等式“”解释了函数的最值情况，而解决了实际问题。该问题也可以用二次函数的单调性判断。
【答案】(Ⅰ)甲： 19，乙：4+3.
（II）第一次与第二次用水量分别为与,
最少总用水量是.
当,故T()是增函数，这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量
【例52】 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）.
（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；
（2）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；
（3）设f（x）=，现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也
可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由
【考点】其他类型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】2001年，上海，高考
【解析】 （1）f（0）=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．
（2）函数f（x）应该满足的条件和具有的性质是：f（0）=1，f（1）=，
在［0，＋∞）上f（x）单调递减，且0＜f（x）≤1．
（3）设仅清洗一次，残留的农药量为f1＝，清洗两次后，残留的农药量为
f2＝，
则f1－f2＝．
于是，当a＞2时，f1＞f2；当a=2时，f1＝f2；当0＜a＜2时，f1＜f2．
因此，当a＞2时，清洗两次后残留的农药量较少；
当a=2时，两种清洗方法具有相同的效果；
当0＜a＜2时，一次清洗残留的农药量较少．
点评：本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力。以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法。
【答案】当a＞2时，清洗两次后残留的农药量较少；
当a=2时，两种清洗方法具有相同的效果；
当0＜a＜2时，一次清洗残留的农药量较少
【例53】 某农场新开垦50亩土地，计划用20个劳动力耕种这片土地，所能种植的作物及产值如下表：问怎样安排作物的种植数量，才能使总产值最高？
作物
蔬菜
棉花
水稻
每亩所需劳动力(人)
每亩产值(元)
1100
750
600
【考点】其他类型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设蔬菜、棉花、水稻分别种植亩，总产值为元，则由题意可得：
由①和②可得用表示的形式，
代入③，可得：W=50x+43500 ④
∵，∴，即当时，.
；
答：种植蔬菜30亩、水稻20亩，总产值最高，且可达到45000元.
【答案】种植蔬菜30亩、水稻20亩，总产值最高，且可达到45000元
【例54】 某镇自来水厂，蓄水池原有水650，一天中在向水池中注水的同时蓄水池又向居民供水，内向居民总供水.
(1)当每小时向水池注水120时，一天中合适蓄水池中水量最少.
(2)若蓄水池中水量少于，就会出现供水紧张现象，问每小时向水池中注水多少吨，一天中才不会出现供水紧张现象？
【考点】其他类型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 由题意可得水量：，配方后求得当()，即时，水量最少，为150；设每小时向水池中注水，
则由题意可得：，求解该不等式即可.
(1)由题意可得水量：
令，则原式等于
，∴
∴当，即时，水量最少，为150.
(2)设每小时向水池中注水，
则由题意可得：，即，
设，则原式可化为：
即对一切都成立.
即 或
综合上不等式组可解得
答：在每天4时10分水量最少，每小时向水池中注水125吨可保证一天中不会出现供水紧张.
【答案】在每天4时10分水量最少，每小时向水池中注水125吨可保证一天中不会出现供水紧张
【例55】 一批发兼零售的文具商店规定：凡购买铅笔51支以上(含51支)按批发价结算，而少于51支则按零售价计算，批发价每购60支比零售价60支少付1元.现有班长小王来购铅笔，若给全班每人买一支，则必须按零售价结算，需支付元(为整数)，但若多买10支，则可按批发价结算，恰好也是支付元，问该班有多少学生？
【考点】其他类型 【难度】 3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设出班级人数为x，那么第一种购买方式可得出零售价为，而第二种购买方式可知批发价为，通过批发价每购60支比零售价60支少付1元可得到二者的差价等式，从而可解出单价x.
设全班有学生x人，由题意可得40＜x≤50.则铅笔的零售价为元，批发价为，
则，整理可得
解得：，∴
又∵25+600m为完全平方数.
综合可解得m=5，∴x=50.
经检验，m=5，x=50是方程的解.
答：该班共有学生50人.
【答案】该班共有学生50人.
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