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北师大数学初二上册-期末复习专题1-勾股定理
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这是一份北师大数学初二上册-期末复习专题1-勾股定理，文件包含专题1--勾股定理-精练doc、专题1--勾股定理-精讲docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
专题1--勾股定理
一．选择题（共17小题）
1．在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，14 D．1，1，2
2．在Rt△ABC中，AB2＝10，AC2＝6．则BC2＝（ ）
A．8 B．16或64 C．4 D．4或16
3．下列条件中，使△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．a＝5，b＝12，c＝13 B．
C．a2+b2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
4．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
5．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下面图形能够验证勾股定理的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
9．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．3 C．4+2 D．4﹣2
10．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（ ）
A． B．28 C．128 D．100
11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中SA＝20，SB＝16，SC＝12，SD＝6，则S＝（ ）
A．54 B．52 C．48 D．36
12．如图△ABC为直角三角形，斜边AC＝4，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝6，AB＝12，则△ABD的面积是（ ）
A．18 B．24 C．36 D．72
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝1，CD＝2，DA＝，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
16．国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．5米
17．如图，圆柱的底面半径为cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．4cm B．2cm C．5cm D．10cm
三．解答题（共7小题）
18．如图，一架长2.5米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米．
（1）此时梯子顶端A离地面多少米？
（2）若梯子顶端A下滑0.4米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？
19．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2，请问△ACD是直角三角形吗？请说明你判断的理由．
20．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的面积．
21．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3．
（1）求AB和DE的长；
（2）求△ADB的面积．
22．如图，在△ABC中，AE＝3，BE＝5，AC＝4，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．求证：△ABC为直角三角形．
23．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝5，AD＝5．
（1）求AC的长度．
（2）求四边形ABCD的面积．
24．已知：四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝8，BC＝4，CD＝6，；
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
勾股定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共17小题）
1．在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，14 D．1，1，2
【分析】判断三条线段能否构成直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、因为32+42≠62，所以不能构成直角三角形；
B、因为62+82＝102，所以能构成直角三角形；
C、因为52+122≠142，所以不能构成直角三角形；
D、因为12+12≠22，所以不能构成直角三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，关键是先分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．在Rt△ABC中，AB2＝10，AC2＝6．则BC2＝（ ）
A．8 B．16或64 C．4 D．4或16
【分析】分当∠C＝90°或当∠A＝90°两种情形，分别利用勾股定理计算即可．
【解答】解：当∠C＝90°时，BC2＝AB2﹣AC2＝10﹣6＝4，
当∠A＝90°时，BC2＝AB2+AC2＝10+6＝16，
故答案为：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键．
3．下列条件中，使△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．a＝5，b＝12，c＝13 B．
C．a2+b2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．
【解答】解：A、由a＝5，b＝12，c＝13得c2＝a2+b2，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由a：b：c＝1：：2a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、a2+b2＝c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
D、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【分析】首先根据题意由非负数的性质可得，进而得到a＝b，a2+b2＝c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形．
【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
解得：a＝b，a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由勾股定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案．
【解答】解：A、三角形的三边为，2，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
B、三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
C、三角形的三边为，，2，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；
D、三角形的三边为，，2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理．
6．下面图形能够验证勾股定理的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题．
【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．
第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．
第三个图形：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．
第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直角三角形的面积的和，即（b﹣）（a+）＝ab+cc，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理，
∴能够验证勾股定理的有4个．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．
7．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据少走的路长为AC+BC﹣AB，计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10（m），
∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为AC+BC﹣AB是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【分析】根据题意，求出AC的长，AP的长介于AC和AB的长度之间，据此即可选出正确答案．
【解答】解：∵AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
则6≤AP≤10，
∴AP长不可能是5，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，求出AC的长是解题的关键．
9．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．3 C．4+2 D．4﹣2
【分析】根据勾股定理可以求得直角三角形较长直角边的长，然后根据图形可知，阴影部分是正方形，边长为长直角边与短直角边的差，再根据正方形的面积计算即可．
【解答】解：∵直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，
∴较长的直角边长为：＝，
∴阴影部分图形的边长为：﹣1，
∴阴影部分的面积是：（﹣1）2＝3﹣2+1＝4﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理、正方形的面积，解答本题的关键是求出阴影部分图形的边长．
10．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（ ）
A． B．28 C．128 D．100
【分析】由勾股定理即可求出答案．
【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中SA＝20，SB＝16，SC＝12，SD＝6，则S＝（ ）
A．54 B．52 C．48 D．36
【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．
【解答】解：如图，
根据勾股定理的几何意义，可知：
S＝SF+SG
＝SA+SB+SC+SD
＝20+16+12+6＝54；
即S＝54；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．
12．如图△ABC为直角三角形，斜边AC＝4，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
【分析】利用勾股定理及及圆的面积公式计算可求解．
【解答】解：△ABC中，AB2+BC2＝AC2，AC＝4，
∴S1+S2＝π•（AB）2+π•（BC）2
＝πAB2+πBC2
＝π（AB2+BC2）
＝πAC2
＝π×42
＝2π．
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】在△ABC中，通过勾股定理得AC2＝5，从而解决问题．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5，
∵四边形ADEC是正方形，
∴S正方形ADEC＝AC2＝5，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键．
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝6，AB＝12，则△ABD的面积是（ ）
A．18 B．24 C．36 D．72
【分析】作DH⊥AB于D，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝6，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作DH⊥AB于D，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝6，
∴S△ABD＝×12×6＝36．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝1，CD＝2，DA＝，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，在三角形ACD中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ACD为直角三角形，两直角三角形面积之和即为四边形ABCD的面积．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝1，
根据勾股定理得：AC＝＝，
在△ACD中，CD＝2，AD＝，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
则S＝S△ABC+S△ACD＝×1×1+×2×＝+．
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
16．国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．5米
【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则彩灯带长为2个长方形的对角线长，
∵圆柱高3米，底面周长2米，
∴AC2＝22+1.52＝6.25，
∴AC＝2.5，
∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．
故选：D．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
17．如图，圆柱的底面半径为cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．4cm B．2cm C．5cm D．10cm
【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据勾股定理求出AP的长．
【解答】解：侧面展开图如图所示：
∵圆柱的底面半径为cm，
∴圆柱的底面周长为12cm，
∴AC′＝6cm．
在Rt△AC′P中，AP＝＝2（cm）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平面展开最短路线问题，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
二．填空题（共1小题）
18．如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为 10 ．
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为求解．
【解答】解：∵正方形PQED的面积等于36，
∴即PQ2＝36，
∵正方形PRGF的面积为64，
∴PR2＝64，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
QR2＝PR2+PQ2＝64+36＝100，
∴QR＝10．
故答案是：10．
【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
三．解答题（共7小题）
19．如图，一架长2.5米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米．
（1）此时梯子顶端A离地面多少米？
（2）若梯子顶端A下滑0.4米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）∵AB＝2.5米，BO＝0.7米，
梯子距离地面的高度AO＝＝2.4（米）．
答：此时梯子顶端离地面2.4米；
（2）∵梯子下滑了0.4米，即梯子距离地面的高度CO＝（2.4﹣0.4）＝2米，
∴BD+BO＝DO＝＝1.5（米），
∴DB＝1.5﹣0.7＝0.8（米），即下端滑行了0.8米．
答：梯子底端将向左滑动了0.8米．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．
20．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2，请问△ACD是直角三角形吗？请说明你判断的理由．
【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，即可解答．
【解答】解：△ACD是直角三角形，
理由：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝，
∴AC＝＝＝2，
∵CD＝2，AD＝2，
∴AC2+CD2＝22+22＝8，AD2＝（2）2＝8，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据勾股定理分别求出AB、AC、BC的平方，根据求出的结果得出AB2+AC2＝BC2，再根据勾股定理的逆定理得出即可；
（2）求出AB、AC的长，再根据三角形的面积公式求出面积即可．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由是：由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
所以AB2+AC2＝BC2，
即△ABC是直角三角形；
（2）由（1）知：AB＝，AC＝＝2，
所以△ABC的面积＝＝×2＝5．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
22．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3．
（1）求AB和DE的长；
（2）求△ADB的面积．
【分析】（1）根据根据勾股定理得到AB，根据角平分线性质得出CD＝DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，
∴AB＝＝＝10；
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵CD＝3，
∴DE＝3；
（2）由（1）知，AB＝10，
∴△ADB的面积为S△ADB＝AB•DE＝×10×3＝15．
【点评】本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
23．如图，在△ABC中，AE＝3，BE＝5，AC＝4，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．求证：△ABC为直角三角形．
【分析】连接CE，根据线段垂直平分线的性质可得EC＝BE＝5，然后根据勾股定理的逆定理证明△AEC是直角三角形，从而可得∠A＝90°，即可解答．
【解答】证明：连接CE，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝BE＝5，
在△AEC中，AE＝3，EC＝5，AC＝4，
∵AC2+AE2＝42+32＝25，EC2＝52＝25，
∴AC2+AE2＝EC2，
∴△AEC是直角三角形，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
24．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝5，AD＝5．
（1）求AC的长度．
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠ABC＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理可证△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD＝90°，然后利用四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ACB的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝＝10，
∴AC的长为10；
（2）∵CD＝5，AD＝5，AC＝10，
∴CD2+AC2＝52+102＝125，AD2＝（5）2＝125，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ACB的面积
＝AC•DC+AB•CB
＝×10×5+×8×6
＝25+24
＝49，
∴四边形ABCD的面积为49．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
25．已知：四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝8，BC＝4，CD＝6，；
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理可证△ACD是直角三角形，从而可得∠ADC＝90°，然后利用四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ACB的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝8，BC＝4，
∴AC＝＝＝4，
∴AC的长为4；
（2）∵CD＝6，，AC＝4，
∴CD2+AD2＝62+（2）2＝48，AC2＝（4）2＝48，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ACB的面积
＝AD•DC+AC•CB
＝×2×6+×4×4
＝6+8
＝14，
∴四边形ABCD的面积为14．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
专题1--勾股定理
一．选择题（共17小题）
1．在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，14 D．1，1，2
2．在Rt△ABC中，AB2＝10，AC2＝6．则BC2＝（ ）
A．8 B．16或64 C．4 D．4或16
3．下列条件中，使△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．a＝5，b＝12，c＝13 B．
C．a2+b2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
4．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
5．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下面图形能够验证勾股定理的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
9．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．3 C．4+2 D．4﹣2
10．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（ ）
A． B．28 C．128 D．100
11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中SA＝20，SB＝16，SC＝12，SD＝6，则S＝（ ）
A．54 B．52 C．48 D．36
12．如图△ABC为直角三角形，斜边AC＝4，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝6，AB＝12，则△ABD的面积是（ ）
A．18 B．24 C．36 D．72
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝1，CD＝2，DA＝，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
16．国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．5米
17．如图，圆柱的底面半径为cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．4cm B．2cm C．5cm D．10cm
三．解答题（共7小题）
18．如图，一架长2.5米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米．
（1）此时梯子顶端A离地面多少米？
（2）若梯子顶端A下滑0.4米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？
19．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2，请问△ACD是直角三角形吗？请说明你判断的理由．
20．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的面积．
21．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3．
（1）求AB和DE的长；
（2）求△ADB的面积．
22．如图，在△ABC中，AE＝3，BE＝5，AC＝4，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．求证：△ABC为直角三角形．
23．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝5，AD＝5．
（1）求AC的长度．
（2）求四边形ABCD的面积．
24．已知：四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝8，BC＝4，CD＝6，；
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
勾股定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共17小题）
1．在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，14 D．1，1，2
【分析】判断三条线段能否构成直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、因为32+42≠62，所以不能构成直角三角形；
B、因为62+82＝102，所以能构成直角三角形；
C、因为52+122≠142，所以不能构成直角三角形；
D、因为12+12≠22，所以不能构成直角三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，关键是先分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．在Rt△ABC中，AB2＝10，AC2＝6．则BC2＝（ ）
A．8 B．16或64 C．4 D．4或16
【分析】分当∠C＝90°或当∠A＝90°两种情形，分别利用勾股定理计算即可．
【解答】解：当∠C＝90°时，BC2＝AB2﹣AC2＝10﹣6＝4，
当∠A＝90°时，BC2＝AB2+AC2＝10+6＝16，
故答案为：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键．
3．下列条件中，使△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．a＝5，b＝12，c＝13 B．
C．a2+b2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．
【解答】解：A、由a＝5，b＝12，c＝13得c2＝a2+b2，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由a：b：c＝1：：2a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、a2+b2＝c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
D、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【分析】首先根据题意由非负数的性质可得，进而得到a＝b，a2+b2＝c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形．
【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
解得：a＝b，a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由勾股定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案．
【解答】解：A、三角形的三边为，2，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
B、三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
C、三角形的三边为，，2，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；
D、三角形的三边为，，2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理．
6．下面图形能够验证勾股定理的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题．
【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．
第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．
第三个图形：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．
第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直角三角形的面积的和，即（b﹣）（a+）＝ab+cc，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理，
∴能够验证勾股定理的有4个．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．
7．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据少走的路长为AC+BC﹣AB，计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10（m），
∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为AC+BC﹣AB是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【分析】根据题意，求出AC的长，AP的长介于AC和AB的长度之间，据此即可选出正确答案．
【解答】解：∵AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
则6≤AP≤10，
∴AP长不可能是5，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，求出AC的长是解题的关键．
9．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．3 C．4+2 D．4﹣2
【分析】根据勾股定理可以求得直角三角形较长直角边的长，然后根据图形可知，阴影部分是正方形，边长为长直角边与短直角边的差，再根据正方形的面积计算即可．
【解答】解：∵直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，
∴较长的直角边长为：＝，
∴阴影部分图形的边长为：﹣1，
∴阴影部分的面积是：（﹣1）2＝3﹣2+1＝4﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理、正方形的面积，解答本题的关键是求出阴影部分图形的边长．
10．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（ ）
A． B．28 C．128 D．100
【分析】由勾股定理即可求出答案．
【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中SA＝20，SB＝16，SC＝12，SD＝6，则S＝（ ）
A．54 B．52 C．48 D．36
【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．
【解答】解：如图，
根据勾股定理的几何意义，可知：
S＝SF+SG
＝SA+SB+SC+SD
＝20+16+12+6＝54；
即S＝54；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．
12．如图△ABC为直角三角形，斜边AC＝4，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
【分析】利用勾股定理及及圆的面积公式计算可求解．
【解答】解：△ABC中，AB2+BC2＝AC2，AC＝4，
∴S1+S2＝π•（AB）2+π•（BC）2
＝πAB2+πBC2
＝π（AB2+BC2）
＝πAC2
＝π×42
＝2π．
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】在△ABC中，通过勾股定理得AC2＝5，从而解决问题．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5，
∵四边形ADEC是正方形，
∴S正方形ADEC＝AC2＝5，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键．
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝6，AB＝12，则△ABD的面积是（ ）
A．18 B．24 C．36 D．72
【分析】作DH⊥AB于D，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝6，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作DH⊥AB于D，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝6，
∴S△ABD＝×12×6＝36．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝1，CD＝2，DA＝，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，在三角形ACD中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ACD为直角三角形，两直角三角形面积之和即为四边形ABCD的面积．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝1，
根据勾股定理得：AC＝＝，
在△ACD中，CD＝2，AD＝，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
则S＝S△ABC+S△ACD＝×1×1+×2×＝+．
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
16．国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．5米
【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则彩灯带长为2个长方形的对角线长，
∵圆柱高3米，底面周长2米，
∴AC2＝22+1.52＝6.25，
∴AC＝2.5，
∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．
故选：D．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
17．如图，圆柱的底面半径为cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．4cm B．2cm C．5cm D．10cm
【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据勾股定理求出AP的长．
【解答】解：侧面展开图如图所示：
∵圆柱的底面半径为cm，
∴圆柱的底面周长为12cm，
∴AC′＝6cm．
在Rt△AC′P中，AP＝＝2（cm）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平面展开最短路线问题，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
二．填空题（共1小题）
18．如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为 10 ．
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为求解．
【解答】解：∵正方形PQED的面积等于36，
∴即PQ2＝36，
∵正方形PRGF的面积为64，
∴PR2＝64，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
QR2＝PR2+PQ2＝64+36＝100，
∴QR＝10．
故答案是：10．
【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
三．解答题（共7小题）
19．如图，一架长2.5米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米．
（1）此时梯子顶端A离地面多少米？
（2）若梯子顶端A下滑0.4米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）∵AB＝2.5米，BO＝0.7米，
梯子距离地面的高度AO＝＝2.4（米）．
答：此时梯子顶端离地面2.4米；
（2）∵梯子下滑了0.4米，即梯子距离地面的高度CO＝（2.4﹣0.4）＝2米，
∴BD+BO＝DO＝＝1.5（米），
∴DB＝1.5﹣0.7＝0.8（米），即下端滑行了0.8米．
答：梯子底端将向左滑动了0.8米．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．
20．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2，请问△ACD是直角三角形吗？请说明你判断的理由．
【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，即可解答．
【解答】解：△ACD是直角三角形，
理由：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝，
∴AC＝＝＝2，
∵CD＝2，AD＝2，
∴AC2+CD2＝22+22＝8，AD2＝（2）2＝8，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据勾股定理分别求出AB、AC、BC的平方，根据求出的结果得出AB2+AC2＝BC2，再根据勾股定理的逆定理得出即可；
（2）求出AB、AC的长，再根据三角形的面积公式求出面积即可．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由是：由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
所以AB2+AC2＝BC2，
即△ABC是直角三角形；
（2）由（1）知：AB＝，AC＝＝2，
所以△ABC的面积＝＝×2＝5．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
22．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3．
（1）求AB和DE的长；
（2）求△ADB的面积．
【分析】（1）根据根据勾股定理得到AB，根据角平分线性质得出CD＝DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，
∴AB＝＝＝10；
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵CD＝3，
∴DE＝3；
（2）由（1）知，AB＝10，
∴△ADB的面积为S△ADB＝AB•DE＝×10×3＝15．
【点评】本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
23．如图，在△ABC中，AE＝3，BE＝5，AC＝4，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．求证：△ABC为直角三角形．
【分析】连接CE，根据线段垂直平分线的性质可得EC＝BE＝5，然后根据勾股定理的逆定理证明△AEC是直角三角形，从而可得∠A＝90°，即可解答．
【解答】证明：连接CE，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝BE＝5，
在△AEC中，AE＝3，EC＝5，AC＝4，
∵AC2+AE2＝42+32＝25，EC2＝52＝25，
∴AC2+AE2＝EC2，
∴△AEC是直角三角形，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
24．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝5，AD＝5．
（1）求AC的长度．
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠ABC＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理可证△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD＝90°，然后利用四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ACB的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝＝10，
∴AC的长为10；
（2）∵CD＝5，AD＝5，AC＝10，
∴CD2+AC2＝52+102＝125，AD2＝（5）2＝125，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ACB的面积
＝AC•DC+AB•CB
＝×10×5+×8×6
＝25+24
＝49，
∴四边形ABCD的面积为49．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
25．已知：四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝8，BC＝4，CD＝6，；
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理可证△ACD是直角三角形，从而可得∠ADC＝90°，然后利用四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ACB的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝8，BC＝4，
∴AC＝＝＝4，
∴AC的长为4；
（2）∵CD＝6，，AC＝4，
∴CD2+AD2＝62+（2）2＝48，AC2＝（4）2＝48，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ACB的面积
＝AD•DC+AC•CB
＝×2×6+×4×4
＝6+8
＝14，
∴四边形ABCD的面积为14．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
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