2022-2023学年江苏省南京市溧水区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京市溧水区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列方程中，是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    若关于的方程有一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    用配方法解方程，下列变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    如图，在中，，若以点为圆心，长为半径的圆与交于点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.    如图，是的中点，弦，，且，则所在圆的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，点，，在上，，，，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.    方程的根是______．
8.    已知的半径为，线段的长为，则点在 ______填“内”、“外”或“上”．
9.    若关于的方程没有实数根，则的值可以是______写出一个符合条件的值即可．
10. 如图，是的直径，弦若，则 ______ 度．

11. 如图，，是的弦，，是的切线．若，则______

12. 某口罩厂六月份的口罩产量为万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到万只．设七、八月份口罩产量的月平均减少率为，则可列方程为______．
13. 已知，是方程的两个根，则的值是______．
14. 用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为______．
15. 若关于的一元二次方程的两根分别为、，则方程的根为______．
16. 如图，是的弦，点在内，，，连接，若的半径是，则长的最小值为______．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    关于的方程．
    求证：不论取何值，方程总有两个实数根；
    若方程有两个相等的实数根，请求出的值并求此时方程的根．
19. 本小题分
    如图，的弦、相交于点，，求证：．

20. 本小题分
    证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
    已知：如图，是的直径，是的弦，______．
    求证：______．
    证明：

21. 本小题分
    某小区有一块长方形绿地，长为，宽为为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少米，宽增加米，使改造后的面积比原来增加求的值．
22. 本小题分
    如图，在中，，与相切，且与相切于点．
    用直尺和圆规作出不写作法，保留作图痕迹；
    若，，则的半径为______．

23. 本小题分
    如图，在中，平分，平分，的延长线交的外接圆于点，连接求证：．

24. 本小题分
    如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”例如，方程的两个根是和，则这个方程就是“三倍根方程”．
    下列方程是三倍根方程的是______；
    ；
    ；
    ．
    若关于的方程是“三倍根方程”，则______；
    若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值．
25. 本小题分
    某商场销售一批球鞋，其进价为每双元．经市场调查发现，按每双元出售，平均每天可售出双．假设球鞋的单价每降元，商场平均每天可多售出双．该商场若要达到平均每天盈利元，则每双球鞋的定价为多少元？
26. 本小题分
    在四边形中，，是上一点，以为直径的经过，两点，．
    求证：是的切线；
    若，，求的长．

27. 本小题分
    为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．
    
    已知四边形是的内接四边形，对角线与相交于点．
    【特殊情形】
    如图，，过圆心作，垂足为，当是的直径时，求证：．
    【一般情形】
    如图，，过圆心作，垂足为，当不是的直径时，求证：．
    【经验迁移】
    如图，，，为上的一点，，若为的中点，连接，则长的最小值为______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项：该方程是关于的一元一次方程，不符合题意；
选项：该方程中含有个未知数，不是关于的一元二次方程，不符合题意；
选项：该方程是分式方程，不符合题意；
选项：该方程符合一元二次方程的定义，符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义理解，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
 

2.【答案】 

【解析】解：把代入方程中得：
，
，
，
，
故选：．
把代入方程中得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：连接，

，，
，
，
，
，
的度数为．
故选：．
根据，，求出，根据半径相等求出，进而求出即可解答．
本题考查了圆的概念和性质，解题的关键是连接构造等腰三角形求出的度数．
 

5.【答案】 

【解析】解：设所在圆的圆心为点，的半径为，连接，，

，点是中点，
，，三点共线，，
，
，
，
故选：．
由垂径定理，勾股定理，可以求解．
本题考查勾股定理，垂径定理，关键是定出圆心，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于半径的方程．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作交的延长线于点连接．
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
过点作交的延长线于点连接证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，，可得结论．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

7.【答案】， 

【解析】解：，
，
或，
，．
故答案为，．
先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得，方程就可转化为两个一元一次方程或，然后解一元一次方程即可．
本题考查了利用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．
 

8.【答案】内 

【解析】解：的半径为，线段的长为，
，
点在内．
故答案为：内．
设的半径为，点到圆心的距离，根据点在圆内进行判断即可．
本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
 

9.【答案】答案不唯一 

【解析】解：关于的方程没有实数根，
，
解得：．
故可以取，
故答案为：答案不唯一．
根据关于的方程没有实数根，判断出，求出的取值范围，再找出符合条件的的值．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程没有实数根它的判别式小于零是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
又是的直径，，．
故答案为：
根据圆周角定理和直角三角形两锐角互余解答．
本题主要考查直径所对的圆周角是直角，两直线平行内错角相等等性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接、，
与相切于点，与相切于点，
，
，
，
，
故答案为：．
接、，由切线的性质得，再由圆周角定理求得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以得到方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据根与系数的关系得，，
所以

．
故答案为：．
先根据根与系数的关系得到，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

14.【答案】 

【解析】解：设这个圆锥的底面圆半径为，依题意，得
，
解得．
故答案为：．
设这个圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：、圆锥的母线长为扇形的半径，、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
 

15.【答案】， 

【解析】解：关于的一元二次方程的两根分别为、，
方程中或，
解得：，，
即方程的根为，，
故答案为：，．
根据已知方程的解得出或，求出即可．
本题考查了解一元二次方程，能根据已知方程的解得出或是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长交圆于点，连接，，过点作交于点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
点在以为圆心，为半径的圆上，
在中，，，
，
的最小值为，
故答案为：．
延长交圆于点，连接，，过点作交于点，则是等边三角形，再确定点在以为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可．
本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点的轨迹是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，
或，
，；
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
无论取任何实数，，即，
原方程总有两个实数根．
解：方程有两个相等的实数根，
，
解得，
当时，方程为．
解得． 

【解析】先求出判别式的值，再根据“”的意义证明即可；
根据方程有两个相等的实数根，得，即可求出的值和方程的根．
本题考查了根的判别式的应用和解一元二次方程，能正确运用性质进行计算是解此题的关键．
 

19.【答案】证明：如图，连接，，，

，
，
，
即，
，
． 

【解析】连接，，，根据，得，所以，得，根据等角对等边得．
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
 

20.【答案】  ，， 

【解析】解：已知：如图，是的直径，是的弦，．
求证：，，．
证明：连接、，

在中，，，
，，
，
，．
故答案为：；，，．
根据圆心角、弧、弦的关系及垂径定理进行证明即可．
本题考查的是垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，解答此题的关键是熟知以上知识．
 

21.【答案】解：依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：的值为或． 

【解析】根据改造后的面积比原来增加，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．
本题考查了一元二次方程的应用以及多项式乘多项式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；

连接，
与相切于点，
，
，，，
，
与与相切于点，
，
，
，
，
．
故答案为：．
作的平分线交于点，以点为圆心，为半径作，则与，都相切；
根据切线的性质和勾股定理即可求的长．
本题考查了作图复杂作图，切线的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
 

23.【答案】证明：平分，平分，
，，
和所对的圆心角相等，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】根据角平分线定义得到，，得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了三角形外接圆和外心，圆周角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线定义是解题的关键．
 

24.【答案】  

【解析】解：解方程得，，
所以不是“三倍根方程”；
解方程得，，
所以不是“三倍根方程”；
解方程得，，
所以是“三倍根方程”；
故答案为：；
设方程的两根为，，
根据根与系数的关系得，，
解得，
所以；
故答案为：；
设方程的两根为，，
根据根与系数的关系得，，
即，，
所以．
分别解三个方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断；
设方程的两根为，，则利用根与系数的关系得，，然后先求出，再计算出的值；
设方程的两根为，，利用根与系数的关系得到，，再把变形为，然后利用整体代入的方法得到原式，最后进行分式的化简计算即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了因式分解法解方程．
 

25.【答案】解：设每双鞋子应降价元，
根据题意，得，
整理，得，
解得：，，
每双球鞋的定价为或，
答：每双球鞋的定价为元或元． 

【解析】设鞋子的单价应降元，销售数量为，利润为，从而可得方程，解出即可．
此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
 

26.【答案】证明：连接并延长交于，连接，，
，
，
，
，都在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，，
是的直径，
，
，
四边形是矩形，
，
点在上，
是的切线；
解：，，
是的中位线，
，
设的半径为，
在中，，
在中，，
，
解得，舍去，
． 

【解析】连接并延长交于，连接，，根据已知条件得到是的垂直平分线，得到，根据圆周角定理得到，根据矩形的性质得到，根据切线的判定定理得到是的切线；
根据三角形的中位线定理得到，设的半径为，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】证明：在中，，
，
，
是的中线，
，
是的直径，，
，
，
；
证明：如图所示：作直径交于点，连接，
在中，，
，
，
是的中位线，
，
是直径，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
；

解：如图所示：延长，作交于点，
，
，
，

，，，
，
，，
，
当时，值最小，
，，
，
是的中点，
是的中位线，
，
长的最小值为．
故答案为：．

证明是的中位线，则，是的直径，，根据垂径定理可得，进而可证明；
作直径交于点，连接，证明是的中位线，则，再证明，可得，进而可证明；
延长，作交于点，可求，当时值最小，根据特殊角直角三角形，可求出的最小值．
本题考查了圆的性质、三角形的中位线等知识点，综合性较强，难度较大，解本题时注意问题的转化．