2020-2021学年10 圆锥的侧面积课时训练

5.10 圆锥的侧面积

一．选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．圆有无数条对称轴，每一条直径都是它的一条对称轴 

B．比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比值不变 

C．一种商品先提价，然后再降价，现在和原价一样 

D．圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，则它的体积扩大到原来的4倍

2．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形，做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的全面积（侧面与底面面积的和）为（　　）

A． B． C． D．

3．一个圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为3cm，则这个圆锥的侧面积为（　　）

A．12πcm2 B．15πcm2 C．20πcm2 D．30πcm2

4．如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R，圆心角为90°的扇形和一半径为r的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与r的关系为（　　）

A．R＝2r B．R＝4r C．R＝2r D．R＝6r

5．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（　　）

A．10π B．15π C．20π D．25π

6．已知圆锥的母线长是4cm，侧面积是12πcm2，则这个圆锥底面圆的半径是（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，现以AC为轴旋转一周得到一个圆锥．则该圆锥的侧面积为（　　）

A．130π B．90π C．25π D．65π

8．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则它的侧面展开图的面积为（　　）

A．18πcm2 B．12πcm2 C．6πcm2 D．3πcm2

9．如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且sinθ＝，则该圆锥的侧面积是（　　）

A．24 B．24π C．16π D．12π

10．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，那么这个圆锥的全面积是（　　）

A．12π B．15π C．20π D．24π

11．已知圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则这个圆锥的全面积是（　　）

A．60πcm2 B．96πcm2 C．132πcm2 D．168πcm2

12．如图，从一块半径为20cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（　　）

A．200πcm2 B．100πcm2 C．100πcm2 D．50πcm2

13．如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥底面的半径长为3m，母线长为6m，为防止雨水，需在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价是每平方米10元钱，那么购买油毡所需要的费用是（　　）

A．540π元 B．360π元 C．180π元 D．90π元

14．如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（　　）

A． B． C．4π D．6π

15．如图，把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，圆柱的侧面积是多少平方厘米？正确的列式是（　　）

A．40×40×6 

B．（）2×3.14×40 

C．40×3.14×40 

D．40×3.14×40+（）2×3.14×2

二．填空题

16．如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥的底面圆的半径为3米，母线长为6米，为防雨水，需要在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价为10元/米2，那么购买油毡所需要的费用是　   　元（结果保留π）．

17．用一个圆心角为180°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是　   　．

18．如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是　   　．

19．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，8）、B（﹣8，8）、C（﹣12，4），请在网格图中进行如下操作：

（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为　   　；

（2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为　   　；（结果保留根号）

（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径长为　   　．（结果保留根号）

20．圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为3cm，则其侧面积为　   　．

21．一张扇形纸片，半径是6，圆心角为120°，将它围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径为　   　．

22．如图，圆锥母线长BC＝9厘米，若底面圆的半径OB＝4厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为　   　．

23．一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，已知圆柱的体积是圆锥的9倍，圆锥的高是8.1cm，则这个圆柱的高是　   　cm．

24．如图，圆柱体侧面积为24π，底面圆的半径等于3，则圆柱体的高为　   　．

25．一个圆柱的底面半径是3.2dm，高5dm，则这个圆柱的侧面积为　   　dm2．（π取3.14）

三．解答题

26．一个圆锥形沙堆，底面半径是5米，高是2.5米．（π取3）

（1）求这堆沙子有多少立方米？

（2）用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺多少米？

（3）在（2）的条件下，一台压路机的前轮直径是1m，前轮宽度是2m．如果前轮每分钟转动6周，这台压路机压一遍这段路面大约需要多少分钟？（得数保留整数．）

27．如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．

（1）求阴影部分面积；

（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥侧面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？

28．如图，已知矩形ABCD的周长为36cm，矩形绕它的一条边CD旋转形成一个圆柱．设矩形的一边AB的长为xcm（x＞0），旋转形成的圆柱的侧面积为Scm2．

（1）用含x的式子表示：

矩形的另一边BC的长为　   　cm，旋转形成的圆柱的底面圆的周长为　   　cm；

（2）求S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；

（3）求当x取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大；

（4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于18πcm2，则矩形的长是　   　cm，宽是　   　cm．

29．如图①，水平放置的空圆柱形容器内放着一个实心的铁“柱锥体”（由一个高为5cm的圆柱和一个同底面的高为3cm圆锥组成的铁几何体）．向这个容器内匀速注水，水流速度为5cm3/s，注满为止．整个注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系如图②所示．

（1）圆柱形容器的高为　   　cm．

（2）求线段BC所对应的函数表达式．

（3）直接写出“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值．

30．如图①，已知圆锥的母线长l＝16cm，若以顶点O为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角θ＝270°．

（1）求圆锥的底面半径；

（2）求圆锥的表面积．

参考答案

一．选择题

1．解：A、圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是它的一条对称轴，故原命题错误，不符合题意；

B、比的前项和后项同时乘或除以相同的数（不为零），比值不变，故原命题错误，不符合题意；

C、一种商品先提价，然后再降价，现在比原价低，故原命题错误，不符合题意；

D、圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，则它的体积扩大到原来的4倍，正确，符合题意，

故选：D．

2．解：设圆锥的底面圆的半径为r，

根据题意得2πr＝，解得r＝，

所以这个圆锥的全面积＝π×（）2+＝π．

故选：D．

3．解：底面圆半径为3cm，则底面周长＝6π，圆锥的侧面积＝×4π×3＝12π（cm2）．

故选：A．

4．解：∵恰好围成图2所示的一个圆锥模型，

∴圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，

∴＝2πr，

解得：R＝4r，

故选：B．

5．解：圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π，

故选：C．

6．解：设圆锥的底面半径为rcm，

则×2πr×4＝12π，

解得，r＝3（cm），

故选：A．

7．解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，

∴AB＝＝13，

∴该圆锥的侧面积＝×2×π×5×13＝65π，

故选：D．

8．解：它的侧面展开图的面积＝•2π•2•3＝6π（cm2）．

故选：C．

9．解：∵sinθ＝，母线长为6，

∴圆锥的底面半径＝×6＝2，

∴该圆锥的侧面积＝×6×2π•2＝12π．

故选：D．

10．解：∵圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，

∴这个圆锥的全面积是：π×32+π×3×5＝24π（cm2）．

故选：D．

11．解：根据题意，这个圆锥的全面积＝×2π×6×10+π×62＝60π+36π＝96π（cm2）．

故选：B．

12．解：作OD⊥AB于D，如图，则AD＝BD，

∵∠OAD＝∠BAC＝30°，

∴OD＝OA＝10，AD＝OD＝10，

∴AB＝2AD＝20，

∴扇形围成的圆锥的侧面积＝＝200π（cm2）．

故选：A．

13．解：底面半径为3m，则底面周长＝6π，侧面面积＝×6π×6＝18π（m2）．

所需要的费用＝18π×10＝180π（元），

故选：C．

14．解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，

BC＝6，AC为底面半圆弧长，AC＝2π，

所以AB＝＝．

故选：A．

15．解：∵把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，

∴圆柱的高和底面的直径都等于正方形的棱长，

∴侧面积为πdh＝40×3.14×40，

故选：C．

二．填空题

16．解：根据题意得：圆锥侧面积＝π×3×6＝18π（平方米），

则购买油毡所需要的费用＝10×18π＝180π（元）．

故答案为：180π．

17．解：设圆锥的底面半径为r．

由题意，2πr＝，

∴r＝3，

故答案为：3．

18．解：连结AD，

∵△ABC是边长为2的等边三角形，

∴AD＝2×＝，

∴扇形的弧长为＝π，

∴圆锥的底面圆的半径是π÷π÷2＝．

故答案为：．

19．解：（1）如图，点D的坐标为（﹣4，0）；

（2）在Rt△OAD中，AD＝＝4，

即⊙D的半径长为4；

（3）设该圆锥的底面圆的半径长为r，

∵CD＝AD＝4，AC＝＝4，

∴CD2+AD2＝AC2，

∴△ACD为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，

根据题意得2πr＝，解得r＝，

即该圆锥的底面圆的半径长为．

故答案为（﹣4，0）；4；．

20．解：∵底面圆的半径为3cm，

∴底面周长为6πcm，

∴侧面展开扇形的弧长为6πcm，

设扇形的半径为r，

∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，

∴＝6π，

解得：r＝9，

∴侧面积为×6π×9＝27π（cm2），

故答案为：27πcm2．

21．解：设圆锥的底面半径为r．

由题意，2π•r＝，

∴r＝2，

故答案为：2．

22．解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×4π＝8π（厘米），

设所求圆心角的度数为n°，

则＝8π，解得n＝160，

即侧面展开扇形图的圆心角为160°．

故答案为：160°．

23．解：设这个圆柱的高是xcm，圆锥和圆柱的底面积都为S，

根据题意得S•x＝9××S×8.1，

解得x＝24.3（cm），

即这个圆柱的高是24.3cm．

故答案为24.3．

24．解：设圆柱体的高为h，

∵圆柱体侧面积为24π，底面圆的半径等于3，

∴2π×3×h＝24π，

解得：h＝4，

故答案为：4．

25．解：侧面积＝2×3.14×3.2×5＝100.48（dm2）．

故这个圆柱的侧面积为100.48dm2．

故答案为：100.48．

三．解答题

26．解：（1）圆锥的体积＝×π×52×2.5＝π≈60.25（立方米），

答：这堆沙子约有60.25立方米；

（2）用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺的米数为：60.25÷（10×0.02）＝301.25（米），

答：用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺301.25米；

（3）压路机一分钟压的面积＝π×1×2×6≈36（平方米），

则这台压路机压一遍这段路面大约需要的时间＝301.25×10÷36≈84（分）．

27．解：（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C．

设图2中的扇形的圆心角为n°，

根据题意得＝2π•1，

∴n＝90°，

∵SA＝SF，

∴△SFA是等腰直角三角形，

∴AF＝SF＝4，SE＝AF＝2，

∴S阴＝S扇形SAF﹣S△SAF＝﹣××＝4π﹣8；

（2）在图2中，∵SC是一条蜜糖线，AE⊥SC，AE＝2，

∴一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2个单位长度才能吃到蜜糖．

28．解：（1）BC＝（36﹣2x）＝（18﹣x）cm，

旋转形成的圆柱的底面圆的周长为2π（18﹣x）cm．

故答案为：（18﹣x），2π（18﹣x）．

（2）S＝2π（18﹣x）•x＝﹣2πx2+36πx（0＜x＜18）．

（3）∵S＝﹣2πx2+36πx＝﹣2π（x﹣9）2+162π，

又∵﹣2π＜0，

∴x＝9时，S有最大值．

（4）由题意：﹣2πx2+36πx＝18π，

∴x2﹣18x+9＝0，

解得x＝9+6或9﹣6（舍弃），

∴矩形的长是（9+6）cm，宽是（9﹣6）cm．

故答案为：（9+6），（9﹣6）．

29．解：（1）由题意和函数图象可得，

圆柱容器的高为12cm，

故答案为：12；

（2）BC过点（26，8），（42，12），

设线段BC所对应的函数表达式为h＝kt+b，

将点（26，8），（42，12）代入，得

，

解得，

所以线段BC所对应的函数表达式为h＝t+；

（3）以为“柱锥体”的高为：5+3＝8（cm），

所以顶端距离水面3.5cm位置有2个，

①当h＝8﹣3.5＝4.5时，在OA上，

设OA解析式为h＝kt，过点A（15，5），

所以15k＝5，解得k＝，

所以OA解析式为h＝t，

当h＝4.5时，t＝13.5；

②当h＝8+3.5＝11.5时，在BC上，

将h＝11.5代入h＝t+，

解得t＝40．

综上所述：“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值为13.5s或40s．

30．解：（1）由题意3×2πr＝，

∴r＝4．

（2）圆锥的表面积＝π•42+•2π•4•16＝80π．