2020宜宾四中高三下学期第一次在线月考数学（理）试题含答案

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2020年春四川省宜宾四中高三第一学月考试理科数学注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则的子集个数为 A． B． C． D．2．为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.已知f(x)=,则f[f(3)]= A．1 B．2 C．3 D．5下列函数中，任取函数定义域内，满足，且在定义域内单调递减的函数是A． B． C． D．5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的值分别为.则输出的值为A． B． C． D．6．函数的图象大致形状为7．已知平面向量的夹角为，且，则A．64 B．36 C．8 D．68．二项式的展开式中第项是常数项，则的值是A． B． C． D．9．函数的一条对称轴是A． B． C． D．10．若，则 A． B． C． D．11．双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的外接圆方程是A． B．C． D．12．若，，，则的最大值为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则______.14．已知向量=（sin2α，1），=（cosα，1），若∥， ，则______．15．已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，，若，则数列的前项和为______．16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：（单位：吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全布市民用用水量分布情况，通过袖样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照 …… 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求频率分布直方图中的值；（2）若该市政府看望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由。18．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知，，.（1）求；（2）求中的最长边.19．（12分）如图，在矩形中，，，是的中点，以为折痕将向上折起，变为，且平面平面.（1）求证：；（2）求二面角的大小.20．（12分）已知椭圆过点,直线与椭圆相交于两点(异于点).当直线经过原点时,直线斜率之积为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线斜率之积为,求的最小值.21．（12分）已知.（1）求的单调区间；（2）当时，求证：对于，恒成立；（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线的参数方程是（是参数），以坐标原点为原点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）判断直线与曲线的位置关系；（2）过直线上的点作曲线的切线，求切线长的最小值.23．（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）若不等式的解集为，且满足，求实数的取值范围.2020年春四川省宜宾四中高三第一学月考试理科数学参考答案1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．D 8．B 9．A 10．B 11．A 12．C13．5 14． 15． 16．17．（1）由直方图，可得 ，解得.（2）因为前6组频率之和为而前5组的频率之和为 所以.由解得.因此，估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准.18．（1）因为.（2）由（1）知为钝角，所以为最大角，因为，所以，又，所以.由正弦定理得：，所以为最大边.19．（Ⅰ）证明：∵，，∴，∴， 取的中点，连结，则， ∵ 平面平面，∴平面，∴ ，从而平面，∴（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则、、、，，从而=（4,0,0），，.设为平面的法向量，则可以取设为平面的法向量，则可以取因此，，有，即平面 平面，故二面角的大小为.20．(1)当经过原点时,,此时,又,椭圆方程为.(2)由,,,由,,,,,,恒过定点,===,当时,的最小值为3,当直线的斜率为零时,不合题意,综上,.21．（1），当时，.解得．当时，解得．所以单调增区间为，单调减区间为．（2）设，当时，由题意，当时，恒成立．，∴当时，恒成立，单调递减．又，∴当时，恒成立，即．∴对于，恒成立．（3）因为．由（2）知，当时，恒成立，即对于，，不存在满足条件的；当时，对于，，此时．∴，即恒成立，不存在满足条件的；当时，令，可知与符号相同，当时，，，单调递减．∴当时，，即恒成立．综上，的取值范围为．22．（1）由直线的参数方程消去参数得的方程为.，，曲线的直角坐标方程为，即.圆心到直线的距离为，直线与圆的相离.（2）直线上的点向圆引切线，则切线长为．即切线长的最小值为.23．（Ⅰ）可化为，即或或解得或，或；不等式的解集为． （Ⅱ）易知； 所以，又在恒成立； 在恒成立；在恒成立；．