江苏省启东中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试卷（含答案）

2022-2023学年度江苏省启东中学高三第一学期第一次月考

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知集合，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.    若，设，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.    牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间单位：，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度，假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要，则的值为(    )

A.   B.   C.  D.

4.    已知平面和平面不重合，直线和不重合，则的一个充分条件是(    )

A. ，且 B. ，且，
C. ，且 D. ，且

5.    设是定义在实数集上的函数，且满足，，则是(    )

A. 奇函数，又是周期函数 B. 奇函数，但不是周期函数
C. 偶函数，又是周期函数 D. 偶函数，但不是周期函数

6.    若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    在中，，为的平分线，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.    已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.    函数的图象如图所示，则(    )

A.  B.
C. 对任意的都有 D. 在区间上的零点之和为

10. 已知，是边的三等分点，点在线段上，若，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 公比为的等比数列，其前项和为，前项积为，满足，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C. 的最大值为 D. 的最大值为

12. 已知定义域为的函数的图象连续不断，且，，当时，，若，则实数的取值可以为(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知数列满足，，则数列的通项公式为          ．
14. 如图，的外接圆的圆心为，，，，则          ．

15. 三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的表面积          ．
16. 不等式的解集中只存在两个整数，则正数的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知函数，

若在处的切线斜率为，求的值

若在处取得极值，求在上的最大值．

18. 本小题分

如图所示，在梯形中，，，点是上的一点，，．

求的大小；

若的面积为，求．

19. 本小题分
    如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面，，点在上，且平面．
    
    求的值
    求二面角的正弦值．
20. 本小题分

已知各项都为正数的数列的前项和为，且对任意的，都有其中，且为常数，记数列的前项和为

求数列的通项公式及

当时，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前项，记的前项和为，若存在，使得对任意，总有恒成立，求实数的取值范围

21. 本小题分
    已知椭圆的离心率为，点，，分别为的上，左，右顶点，且．
    求的标准方程；
    点为线段上异于端点的动点，过点作与直线平行的直线交于点，，求的最大值．
22. 本小题分
    已知函数．
    Ⅰ讨论的单调性；
    Ⅱ证明：当时，．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查由集合的交集求参数，属于基础题．
由题干得，将代入求，从而求集合．

【解答】

解：因为，所以，
把代入得，
所以，
故选C．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的模，考查共轭复数，考查复数的四则运算，属于基础题．
先求，再求即可．

【解答】

解：因为，
所以，
所以，
故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的实际应用，考查对数的运算，属于基础题．
根据冷却模型公式可以将数据代入直接计算即可．

【解答】

解：由题意，把，，，代入中，
可得，
解得．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行垂直的位置关系是解决本题的关键，属于基础题．
根据空间直线和平面平行、垂直的判定定理以及性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】

解：：当，且时，则与相交或，A错误，
：当，且，时，则与相交或，B错误，
：当且时，可得，又，则，C正确，
：当，且时，则与相交或，D错误，
故选C．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
将题中两个等式相结合，运用变量代换的方法可证出，从而得出是周期的周期函数，再根据结合，可证出，从而得到本题的答案．

【解答】

解：因为，，
所以，
所以，
故，所以周期为，
因为，
所以是奇函数，
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
方法一：由二倍角公式求得的值，由同角三角函数的基本关系求得的值，结合二倍角公式可得结果．
方法二：由二倍角公式求得的值，再利用，把转化为形式，代入即可求得．

【解答】

解：方法一： ，，
，即，，
又，即，
且，，，
则．
方法二： ，，
则．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式，属中档题．
设后，用余弦定理求出，再求出，，，接着在中用正弦定理得，则．

【解答】

解：设，则，
在三角形中由余弦定理得，
，
，
．
在中由正弦定理得，
，
，
．
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用导数判断函数的单调性比较大小，以及利用指数函数的单调性比较大小，属于中档题．
构造函数，求导判断其单调性，进而可判断，由指数函数在定义域内单调递增可得，即可得到答案．

【解答】

解：设，则，
当时，，
故可得函数在单调递增，
所以，即，
化为，即，
由指数函数在定义域内单调递增，
故，即，
故．
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查由正弦型部分图象确定解析式，考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
根据三角函数的图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质分别进行判断即可．

【解答】

解：由图可得，解得，A正确．
，把代入得，
，，B正确．
，当时，，而，
故不满足对任意的都有，C错误．
， ，
则共有个零点，不妨设为、、、，
且，，
两式相加，整理得，
故的所有零点之和为，D错误，
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的基本定理及其运用以及二次函数的应用，属于中档题．
利用平面向量的基本定理得且，再利用二次函数在闭区间上的最值得结论．

【解答】

解： 由题意知，，三点共线，

则存在实数使，

所以，

即，

又因为，

所以，即且．

因此，

所以当时，取得最大值；

当或时，取得最小值．

所以的取值范围为．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的概念，考查等比数列的性质，属于中档题．
推导出，，可判断；利用等比数列的性质，可判断；由数列为正项递减数列，可判断，由，，可判断．

【解答】

解：由于，所以，
所以、中一个比大，一个比小，
因为等比数列的公比为，且，
所以，，故，故A正确；
，故，故B错误；
因为，，所以数列为正项递减数列，所以无最大值，故C错误；
由于，，所以为数列中的最大项，故的最大值为，故D正确，
故选AD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性问题及函数性质，函数的奇偶性，属于较难题．
构造函数 为奇函数，利用导数及奇函数的性质可知，在上单调递减，则 ，解得范围，即可得出结果．

【解答】

解：依题意， ，
所以 ，
即 为奇函数，
，
当 时， ， 在， 为减函数，
又，
根据奇函数的性质可知，在上单调递减，
因为 ，
即 ，
所以 ，
解得，
故选ABC．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查数列递推式，考查数列的通项，属于基础题．
把变为，得到，和原式相减得到，得到奇数项成等差，偶数项也成等差，公差为，即可得解．

【解答】

解：把变为，得到，
和原式相减得到，
得到奇数项成等差，偶数项也成等差，公差为，
由得到奇数项，
得到偶数项，
从而．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量数量积，属于中档题．
根据向量数量积可得，，即可得到答案．

【解答】

解：
，   
因为，所以在上的投影为，
所以，
同理，
故．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查立体几何中线面垂直的证明与运用，同时考查锥体外接球的表面积计算，属于中档题．
先证明平面，求出三角形外接圆的半径，进而求出球的半径，再求出球的表面积．

【解答】

解：由 ，，得．
由点是的中点及，
求得，又，
，得，
又，且，平面，
平面．
球心到底面的距离，
由正弦定理得的外接圆半径，
球的半径为，
球的表面积为．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数，函数图象的应用，涉及数形结合和转化的思想，属于中档题．
分别画出与的图象，则只存在两个整数，使得在直线的下方，结合图象即可求出函数的取值范围．

【解答】

解：

由，可得，
分别画出与的图象，如图所示，
不等式的解集中只存在两个整数，
只存在两个整数，使得在直线的下方
当时，，
当，即时，此时有个整数使得，即或，
结合图象可知不合题意，
再观察图象可得，的取值范围为
故答案为：．

17.【答案】解：因为，则，
因为在处的切线斜率为，所以，
解得或．
因为在处取得极值，即，解得，
所以，令解得，，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
． 

【解析】本题考查函数的最值，导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，属于中档题．
利用导数的几何意义，结合切线的斜率，计算得结论；
利用导数研究函数的极值得，从而得，再利用导数研究函数的单调性，从而得最值．
 

18.【答案】解：
，
，，则．
设，则，，
，
，，
的面积，
由已知得：，
，由，则，即，
此时，，
在中，由余弦定理得
． 

【解析】本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角恒等变换，是中档题．
由余弦定理化简得，可得的大小；
设，则，，代入的面积公式可得，进而得出、，再由余弦定理可得的值．
 

19.【答案】解：因为在四棱柱中，底面为正方形，平面，
如图，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

因为，点在上，
可设，而，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则有，取，得，
因为平面，
所以，即，
解得，所以，．
由平面
可得平面的一个法向量为，而平面的一个法向量，
设二面角的大小为，
则，
所以二面角的正弦值为． 

【解析】本题考查线面垂直的应用，考查二面角的余弦值的求法，属于中档题．
以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，结合平面，即可求解．
求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即能求出二面角的正弦值．
 

20.【答案】解：当时，，，，解得．
当时，由，，
可得，化为，
，都有，
，
数列是等差数列，
，
，
，
即，．
当时，，，，，，
只有，，成等比数列，数列的首项，公比，
．
．
是关于的单调递增数列，．
又的最小值为．
存在，使对任意，总有恒成立，
． 

【解析】本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式和前项和公式、“裂项求和”、数列的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
利用递推式及当时，可得，再利用等差数列的通项公式和前项和公式可得、，再利用“裂项求和”可得．
当时，，可得，，，，只有，，成等比数列，利用等比数列的通项公式和前项和公式可得、再利用及的单调性即可．
 

21.【答案】解：由题意得：，解得，
又因为，所以，
则，
所求的标准方程为；
可得，，，
则，直线的方程为：，
设直线的方程为，
联立方程组，整理可得，即，
由直线与线段有公共点，得，
联立方程组，解得点的坐标为，
设，，由知，
又，
所以，
代入，得，
所以当时，有最大值． 

【解析】本题考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的运算能力，属于较难题．
利用已知建立等式关系，求出，，，从而可以求解；
由得出，，三点坐标，由此设直线的方程，并联立直线的方程与椭圆，利用有公共点求出的取值范围，然后再联立直线与直线的方程，得出点的坐标，设出点，的坐标，利用几何关系以及根与系数的关系求出，根据二次函数的性质即可求解．
 

22.【答案】解：Ⅰ由题意得，
设，则，
当时，；当时，，单调递增，
又因为，所以当时，，即，
当时，，即，
因此在上单调递减，在上单调递增．
Ⅱ证明：要证，即证，即证，
令，待证不等式转化为，
设则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，原命题得证． 

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，进而研究不等式恒成立问题的思路，属于中档题．
Ⅰ求出导数，然后研究导数的符号，此题需要利用导数的单调性和零点确定导数的符号，从而确定原函数的单调性；
Ⅱ问题即为不等式恒成立问题，然后转化为利用导数研究函数的单调性，进而求出最小值即可得证．