高中数学竞赛专题11 概率（附解析）

这是一份高中数学竞赛专题11 概率（附解析），共33页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

【高中数学竞赛专题大全】
竞赛专题11 概率
（50题竞赛真题强化训练）
一、填空题
1．（2018·安徽·高三竞赛）从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率=_________.
【答案】
【解析】
【详解】
的样本方差，当且仅当、、是连续的正整数.
故.
故答案为
2．（2018·广东·高三竞赛）袋中装有m个红球和n个白球，m＞n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系的数组（m，n）的个数为_______.
【答案】3
【解析】
【详解】
记“取出两个红球”为事件A，“取出两个白球”为事件B，“取出一红一白两个球”为事件C，则，，.
依题意得，即.所以，从而为完全平方数.又由及，得.
所以或或或.
解之得（m，n）=（6，3）（舍去），或（10，6），或（15，10），或（21，15）.
故符合题意的数组（m，n）有3个.
故答案为3
3．（2018·广东·高三竞赛）已知点A（1，1），B（），C（）经过点A、B的直线和经过点A、C的直线与直线所围成的平面区域为G.已知平面矩形区域中任意一点进入区域G的可能性为，则a=__________.
【答案】
【解析】
【详解】
直线AB方程为，直线AC方程为，直线与它们的交点为
D（），E（）.G的面积等于三角形ADE的面积，因此，解之得.
故答案为
4．（2019·全国·高三竞赛）已知甲、乙两人进行一种博弈游戏，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.若其中一人比另一人多赢两局，则游戏结束那么，需要进行的游戏局数的数学期望为_______.
【答案】.
【解析】
【详解】
设所求的数学期望为.
注意到，两局就结束的概率等于.
若两局没有结束，则必定恰赢了一局，回到初始状态，此时的数学期望为，从而，
.
故答案为
5．（2019·全国·高三竞赛）两人约定：在某天一同去地，早上7点到8点之间在地会合，但先到达地者最多在原地等待5min分钟，如果没有见到对方则自己先行.设两人到达地的时间是随机的、独立的、等可能的.那么，两人能够在当天一同去地的概率是______.
【答案】
【解析】
【详解】
设两人到达地的时间分别是7点过分和7点过分（、）.用数对表示两人分别到达地的时间.则在直角坐标系中，点的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600.
显然，两人能够在当天一同去地等价于.此时，相应点的存在域是正方形中位于两直线之间的部分区域（如图），其面积为.
故所求概率为.
故答案为

6．（2019·全国·高三竞赛）在面积为1的正方形中任取一点，则、、、的面积均大于的概率是____．
【答案】
【解析】
【详解】
如图，以为原点，为轴建立直角坐标系.设，，.
由题设知，必满足
，即.
因此，满足题设条件的点必在直线，和，所围成的正方形区域内.
所以所求概率为.
故答案为

7．（2019·全国·高三竞赛）圆周上有10个等分点.则以这10个等分点中的4个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的个数比为______.
【答案】
【解析】
【详解】
任选4点，共有个凸四边形，其中，梯形的两条平行边既可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从5组不平行于直的4条平行弦中选取，去除矩形，梯形共有60个.
所以，梯形所占的个数比为.
故答案为
8．（2019·全国·高三竞赛）记．现抛掷硬币从A、B中无放回地取出数字组成九位数，规则是：若硬币出现正面时，就从集合A中取出一个最小的数；若硬币出现反面时，就从集合B中取出一个最小的数．当一个集合的数字被取完而另一个集合还有数字时，另一集合剩下的数字就按从小到大的顺序添在后面按此规则，取出的数字恰好为123456789的概率为________．
【答案】
【解析】
【详解】
由规则知，抛掷硬币的正反面序列为：正反正反正反正反．
所以，取出的数字恰好为123456789的概率为．
故答案为
9．（2021·全国·高三竞赛）在1，2，3，…，10这10个正整数中任取4个，记为这四个数中两数相邻的组数，则的数学期望__________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
易知的取值为1,2,3，且：．
故答案为：.
10．（2018·全国·高三竞赛）甲、乙、丙、丁各拿一个足球同时进行一次传球，要求每个人可以将球传给另外三人中的任何一人．一次传球后，每个人仍各有一个球的概率为______．
【答案】
【解析】
【详解】

11．（2018·全国·高三竞赛）袋内有8只白球和2只红球，每次从中随机取出一只球，然后放回1只白球．则第四次恰取完所有红球的概率为______．
【答案】
【解析】
【详解】
第四次恰取完所有红球的概率为．
12．（2019·全国·高三竞赛）从中任取5个数（可以相同）．则取到合数的个数的数学期望是______．
【答案】
【解析】
【详解】
中合数共有74个，设为取到合数的个数．
则．故服从二项分布．
因此，．
故答案为
13．（2018·全国·高三竞赛）甲有一个箱子，里面有红球和白球共4个；乙有一个箱子，里面有2个红球、1个白球、1个黄球.现在，甲从他的箱子中任取2个球，乙从他的箱子中任取1个球，如果取出的3个球颜色全不同，则甲获胜.为了保证甲获胜的概率最大，则甲的箱子中的红球个数为____.
【答案】2
【解析】
【详解】
设甲的箱子中有个红球，则白球有个.故甲获胜的概率为由于，即，当且仅当时，上式等号成立，P最大.
14．（2019·全国·高三竞赛）两人作一种游戏:连续旋转一枚硬币若干次,当正(或反)面向上的次数累计达到5次时游戏结束.游戏结束时,如果正面向上的次数累计达到5次,则胜;否则胜.那么,旋转不足9次就决出胜负的概率为______.
【答案】
【解析】
【详解】
考察旋转9次才结束游戏的情形.此时,前8次旋转中正面向上和反面向上各有4次,其概率为,于是,旋转不足9次就结束游戏的概率为.
故答案为
15．（2019·全国·高三竞赛）设是的一个排列，记数列的前项和为．则排列满足“都不是3的倍数”的概率为______.
【答案】
【解析】
【详解】
设的一个排列为一个基本事件.则基本事件总数为.
下面计算所求事件含的基本事件数．
（1）首项不能是3的倍数，除首项以外各项均可是3的倍数，从而，3的倍数有种排法；
（2）去掉3的倍数后，考虑模3余2、余1的数的位置（用模3的余数代替）：
当时，，，，……此时，含1的项比含2的项多，这与已知矛盾；
当时，，，……此时，满足题设要求．
综上，模3余2、余l的数的位置唯一确定，它们的各自排法分别有和种．
因此，事件含基本事件数为.
故所求概率．
故答案为
16．（2019·全国·高三竞赛）一副扑克牌除去大、小王共52张.洗好后，四个人顺次每人抓13张.则两个红（即红桃、方块）在同一个人手中的概率为________.
【答案】
【解析】
【详解】
注意到，牌洗好后每个人的牌就定下来了，即已将52张牌排在了52个位置上.
记四组牌号为：
1，5，9，13，⋯，49；2，6，10，14，⋯，50；
3，7，11，15，⋯，51；4，8，12，16，⋯，52．
则红桃、方块在同一组中的排列数为.
从而，所求概率为.
故答案为
17．（2018·湖北·高三竞赛）一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为______.
【答案】
【解析】
【详解】
设分别是四次投掷骰子得到的点数，那么共有种不同的情况.
如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则
.
若的值都相等，则有种不同的情况；
若恰好取两个不同的值，则有种不同的情况；
若恰好取3个不同的值，则有种不同的情况；
若恰好取4个不同的值，则有种不同的情况.
因此，满足的情况共有（种）.
故所求的概率为.
18．（2019·上海·高三竞赛）某侦察班有12名战士，其中报务员有3名.现要将这12名战士随机分成3组，分别有3名战士、4名战士、5名战士，那么每一组都有1名报务员的概率是________.
【答案】
【解析】
【详解】
由题意可知，所有的分组方法，满足题意的分组方法，
则满足题意的概率值：.
故答案为：．
19．（2019·贵州·高三竞赛）已知m∈{11，13，15，17，19}，n∈{2000，2001，…，2019}，则mn的个位数是1的概率为____________ .
【答案】
【解析】
【详解】
当m=11，n∈{2000，2001，…，2019}时，mn的个位数都是1，此时有20种选法；
当m=13，n∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn的个位数都是1，此时有5种选法；
当m=15时，mn的个位数不可能为1，此时有0种选法；
当m=17，n∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn的个位数都是1，此时有5种选法；
当m=19，n∈{2000，2002，2004，…，2018}时，m的个位数都是1，此时有10种选法.
综上，所求概率为.
故答案为：．
20．（2021·全国·高三竞赛）有甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个球（所有球都是一样的）.每次随机选择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
相当于前十次中至少有五次选择了甲盒的概率，
即.
故答案为：.
21．（2021·全国·高三竞赛）先后三次掷一颗骰子，则其中某两次的点数和为10的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
有两次为5的概率为，
有两次为6和4的概率为，
所以概率为.
故答案为：.
22．（2018·福建·高三竞赛）从如图所示的，由9个单位小方格组成的，方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为______．

【答案】       
【解析】
【详解】
先计算矩形的个数，再计算直角三角形的个数．
如图所示，根据矩形特点，由这16个点可以构成个不同的矩形．
又每个矩形可以分割成4个不同的直角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角形也不同．
因此，可得个直角顶点在矩形顶点的不同的直角三角形．

再算直角顶点不在矩形顶点：
（1）在的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为的直角三角形两个．而矩形横向、纵向各有6个，故共有个．
（2）在的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为的直角三角形4个，边长分别为的直角三角形4个．而矩形横向、纵向各有两个，故共有个．
所以，所求的概率．
23．（2018·全国·高三竞赛）从集合中随机地、不放回地取出三个数，然后再从剩下的2011个数中同样随机地、不放回地取出三个数.则将为长、宽、高的砖能放进以为长、宽、高的盒子中的概率为__________．
【答案】
【解析】
【详解】
不妨设，，当且仅当，，时砖可放入盒中.
设是从中选出的六个数，再从中选出三个，有=20种方法.这三个作为，剩下三个作为，符合要求的只能为.
若为，则可为或或；若为，则可为或.
故符合要求的取法为5种，概率.
24．（2018·全国·高三竞赛）小明、小红分别独立重复投掷均匀的色子，直到第-次出现6点为止．则小明和小红投掷的次数相差不超过1的概率为________．
【答案】
【解析】
【详解】
设小明、小红投掷次数分别为.
则所求为.
由独立性,知所求概率为

==.
25．（2018·全国·高三竞赛）设n为正整数.从集合中任取一个正整数n恰为方程的解的概率为_______（表示不超过实数x的最大整数）.
【答案】
【解析】
【详解】
当时，，.
满足题中方程的n为6，12，…，2010，共335个；
当时，，
.
满足题中方程的n为1，7，13，…，2011，共336个；
当时，，
.
满足题中方程的n不存在；
当时，，
.
满足题中方程的n为3，9，15，…，2013，共336个；
当时，，
.
满足题中方程的n不存在；
当时，，
.
满足题中方程的n不存在.
因此，从集合中任取一个正整数n恰为题中方程的解的概率为.
26．（2018·全国·高三竞赛）抛一颗色子三次，所得点数分别为、、.则函数在上为增函数的概率为______.
【答案】
【解析】
【详解】
注意到，
在上为增函数等价于
在上恒成立，等价于，即.
当时，，有3种；当时，，有10种；
当时，，有21种；当时，，有30种；
当时，，有35种.
故所求概率为.
27．（2019·全国·高三竞赛）将编号为1，2，…，9的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有相邻珍珠编号之差的绝对值之和为则取得最小值的放法的概率为______.
【答案】
【解析】
【详解】
由题设，知珍珠的固定方法共有（种）.
在项链所在的圆周上，从1~9有优弧和劣弧两条路径，设是依次排列在这段弧上的珍珠号码.
则，
当且仅当时，等号成立.
因此，取得最小值的放法共有（种）.
故所求概率为.
28．（2018·全国·高三竞赛）小张、小李、小华、小明四人玩轮流投掷一枚标准色子的游戏.若有一人投到的数最小，且无人与他并列，则判他获胜；若投出最小数的人多于一个，则将没投出最小数的人先淘汰，再让剩下的人重新做一轮游戏，这样不断地进行下去，直到某个人胜出为止.已知第一个投掷色子的小张投到了数3.则他获胜的概率是______.
【答案】
【解析】
【详解】
考虑第一轮次中可能出现的四种情形.
（1）小张获胜.这种概率是.
（2）小张与另外某一人打成平局.这种概率是，
故形成此情形且小张最终获胜的概率是
（注意该游戏永不停止地进行下去的概率是0，下同）.
（3）小张与另外某两个人打成平局，这种概率是，
故形成此情形且小张最终获胜的概率是.
（4）所有人均打成平局．这种概率是，
故形成此情形且小张最终获胜的概率是.
综上，小张在游戏中获胜的概率为.
29．（2018·全国·高三竞赛）从集合中任意选取两个不同的数、，使得（为某正整数）的概率为．则的最小值为______．
【答案】2010．
【解析】
【详解】
记使得的方法有种．则．
考虑尽量小，且使的方法有1005种．
取．则．
此时，的选法恰有1005种．
于是，的最小值为．
30．（2018·全国·高三竞赛）两队进行乒乓球团体对抗赛,每队各三名队员,每名队员出场一次. 两队的三名队员分别是 ,,且对的胜率为.则队得分期望的最大可能值是______.
【答案】
【解析】
【详解】
设胜率为队得分期望为，
计算
可知,当时,期望最大为.
31．（2018·全国·高三竞赛）将这16个正整数随机地填入棋盘的16个格子中（每格填写一数），则使每行、每列填数之和皆为偶数的概率为______．
【答案】
【解析】
【详解】
首先，将棋盘染黑白两色，使黑、白两种格子各有8个，且每行（或列）中同色的格子有偶数个．
分三种情况讨论：
（1）若第一列为两黑两自，则该列有种染法．
考虑后三列每行黑格的个数，则有种染法．
（2）若第一列为四黑，则后三列共有种染法．
（3）若第一列为四白，则后三列共有21种染法．
对于以上每种染法，将中的偶数填入黑格中，奇数填入白格中，得到满足条件的填法．
故所求概率为．
32．（2019·全国·高三竞赛）某人练习打靶，开始时，他距靶，此时，进行第一次射击.若此次射击不中，则后退进行第二次射击，一直进行下去.每次射击前都后退，直到命中为止，已知他第一次的命中率为，且命中率与距离的平方成反比.则他能够命中的概率等于_________.
【答案】
【解析】
【详解】
记事件“第次射击命中”为，其概率为.则.
又第次射击时距离靶，
则.
于是，前次内命中的概率为


.
令，得.
因此，此人能够命中的概率是.
故答案为
33．（2019·全国·高三竞赛）如图，给定由个点组成的正三角形点阵．在其中任意取三个点，以这三点为顶点构成的正三角形的概率为__________．

【答案】
【解析】
【详解】
设正三角形点阵的凸包为正，边长为.
首先，计算正△DEF的个数，其中，D、E、F为上述正三角形点阵内的点.
如图，将AB、AC分别延长到点，使得.将分成n等份.
对正三角形点阵内任一点X，过X作AB、AC的平行线与的交点，并分别记为.
下面分两种情形.

1.正△DEF与正△ABC的对应边平行，则正△DEF与边上有序三点组一一对应，有个正三角形.
2.正△不与正△ABC对应边平行，作正△的外接正△DEF，使得正△DEF与正△ABC的对应边平行，则正△与边B’C’上有序四点组一一对应，有个正三角形.
综上，共有个正三角形.
从而，所求概率为.
故答案为
34．（2019·全国·高三竞赛）有7名运动员分别获得某项比赛的一、二、三等奖，已知一等奖的人数不少于1人，二等奖的人数不少于2人，三等奖的人数不少于3人.则恰有2人获一等奖的概率为______.
【答案】
【解析】
【详解】
按一、二、三等奖的顺序，获奖人数有三种情况：
，，.
当时，发奖方式有
（种）；
当时，发奖方式有
（种）；
当时，发奖方式有
（种）.
故恰有2人获一等奖的概率为
.
35．（2019·全国·高三竞赛）某校进行投篮比赛，共有64人参加.已知每名参赛者每次投篮的命中率为.规定：只有连续命中两次才能被录取，一旦录取就停止投篮，否则一直投满4次.设表示录取人数.则______.
【答案】
【解析】
【详解】
每位参赛者被录取的概率为，
故录取人数服从二项分布，即.
所以，.
故答案为
36．（2019·全国·高三竞赛）数字钟分别用两个数字显示小时、分、秒（如10:03:18）.在同一天的05:00:00~23:00:00（按小时计算）之间，钟面上的六个数字都不相同的概率是______.
【答案】
【解析】
【详解】
为了满足题中的条件，设钟面显示应为.
当，时，和应在小于7中的另外四个数中选择.
因而，有四种选择方式，有三种选择方式.
由于已选择了四个数字，和就只能从剩余的六个数字中选择，它们分别有六种、五种的选择方式.
在05:00:00—23:00:00之间，这种情形共有时间总数是.
当、中只有一个小于6时，类似可求在05:00:00~23:00:00之间，这种情形共有时间总数是.
因此，钟面上的六个数字都不相同的次数是，概率为.
37．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）甲，乙两人进行一场七局四胜制的游戏，任何一人累计获胜四局即为胜方，同时游戏结束，另一人为负方．若在每局中，双方各有的概率获胜，则游戏结束时胜方比负方多获胜的局数的数学期望为______．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
由题可设游戏结束时胜方比负方多获胜的局数为,则可能取值为1,2,3,4,
比七局,前六场两人三胜三负,胜方比负方多获胜一场,;
比六局,前五场胜方三胜两负,胜方比负方多获胜两场,;
比五局,前四场胜方三胜一负,胜方比负方多获胜三场,,
比四局,胜方连胜四局,,
所以.
故答案为：.
38．（2019·四川·高三竞赛）设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个现每次从袋子里取出一个球(取出某色球的概率均相同)，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为ξ，则ξ的数学期望为_____ .
【答案】12
【解析】
【详解】
设所求数学期望为E，第一次取出的球的颜色分别为红、黄、蓝的取法的次数的数学期望为E(a)、E(b)、E(c).则E(b)=E(c).
因为第一次取出的球的颜色为红、黄、蓝的概率是相同的，所以，①
先考虑第一次取出的球是红色的，若第二次取出的球是红色的，则操作结束；若不然，第一个为红球，第二个球的颜色为黄或蓝，忽略第一个球，剩下的取球方式可以视为一种新的取法(即第一个球的颜色是黄或蓝)，则②
再考虑第一次取出的球的颜色是黄或蓝，忽略第一个球，剩下的取球方式可以视为一种新的取法，则③
由①、②、③，解得E=12.
故答案为：12．
39．（2019·广西·高三竞赛）从1，2，…，20中任取3个不同的数，这3个数构成等差数列的概率为____________ .
【答案】
【解析】
【详解】
设取出的3个不同的数分别为a、b、c.不同的取法共有种，
若这3个数构成等差数列，则有a+c=2b.故、c同为奇数或同为偶数，且a与c确定后，b随之而定.
从而所求概率为.
故答案为：．
二、解答题(共0分)
40．（2018·黑龙江·高三竞赛）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征如《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[20，45]的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示.

（1）求图中x的值；
（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】（1）（2）分布列见解析，期望为1.8
【解析】
【详解】
（1）根据频率分布直方图可得
，
解得.
（2）.用分层抽样的方法，从100志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6铭，“年龄不低于35岁”的人有4名，故X的可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P





所以.
41．（2018·湖南·高三竞赛）棋盘上标有第0，1，2，，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败集中营）是，游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为.
（1）求的值；
（2）证明：；
（3）求的值.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【详解】
（1）棋子跳到第3站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率在；第一次掷出反面，第二次掷出正面，其概率为；第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为，因此.
（2）易知棋子先跳到第站，再掷出反面，其概率为；棋子先跳到第站，再掷出正面，其概率为，因此有
，
即，
也即.
（3）由（2）知数列是首项为 ，公比为的等比数列.因此有.由此得到
.
由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有.
42．（2018·全国·高三竞赛）已知数列满足，并且对任意的的概率均为．
（1）设的值为随机变量X，试求X的概率分布；
（2）求X的绝对值的数学期望E|X|．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【详解】
（1）设.则对任意正整数取1或-1的概率均为，且.
设.显然，，
并设此时中有x个1,2n-x个-1.则X-(2n-x)=k.
因此，k=2(x-n)只能取[-2n,2n]之间的偶数值.
对于偶数2m(m=0,±1,...,±n)，事件{X=2m}相当于在2n个数中，有n+m个取1，n-m个取-1，因此，X的概率分布可表示为
（2）对任意1≤i≤n，易知P(X=-2m)=P(X=2m).
从而，.





43．（2018·全国·高三竞赛）掷骰子（为均匀的正方体，六个面分别标有1、2、3、4、5、6）游戏规则如下：第一次掷9枚骰子，将其中显示为1的骰子拿出放到一边；第二次掷剩下的骰子，再将显示为1的骰子拿出；……，直到未掷出显示为1的骰子或骰子全部拿出，游戏结束.已知恰好掷9次结束游戏的概率为（、、、为不同的质数，）.求.
【答案】2012
【解析】
【详解】
由游戏规则，知若恰好掷9次结束游戏，则前八次中每次恰好有1枚骰子显示为1，第九次无论显示是否为1，游戏均结束，其中，第次掷枚骰子，恰有1枚显示为1的概率为.
则

，，，，，.
故.
44．（2018·全国·高三竞赛）从集合的子集中先后取出两个不同的子集、，求以下事件发生的概率：
（1），且；
（2）Card
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】
由集合共有个子集，知有序子集对的取法共有种.
（1）考虑“，且”的对立事件：“ 或 ”.
若 ，记Card..则有种取法.而是的真子集，于是，有种取法.从而，满足 的子集对的取法总数为
.
由对称性， 的取法也有种.
因此， ，且 的概率为.
（2）集合中含有的子集的个数为个.于是，事件Card等价于在元集合\中先后选取两个子集、，使得.
设Card.则有种取法.于是，.
从而，有种取法.
此时，子集对共有种选法.
故满足的子集对有（个）.
因此，Card的概率为.
45．（2019·全国·高三竞赛）甲乙两人参加竞选，结果是甲得票，乙得票. 试求：唱票中甲累计的票数始终超过乙累计的票数的概率.
【答案】
【解析】
【详解】
若唱甲当选，则记为1；若唱乙当选，则记为. 每一种唱票方式都对应一个由个1和个组成的排列. 用表示谴责项的和，在直角坐标系中标出点，并将点与点用线段联结. 这样，每一种唱票方式都对应一条联结与的折线. 而甲累计的票数始终领先等价于所有的点都在轴的上方，即折线与轴无交点（我们称为“好折线”，反之为“坏折线”）.
显然，联结、的“自由”（无限定条件）折线有条，这是因为在段中选择段为上升有种方法.
对每一条坏折线，有如下两种情形：一是经过点，二是经过点.
对于第一种情形，坏折线是由到的自由折线，从而，这样的折线有条.
对于第二种情形，注意到过的坏折线必与轴相交，设其横坐标最小的交点为. 将此折线位于左边的部分作关于轴的对称折线，便得到过点的坏折线，于是，坏折线的条数也有条. 所以，合乎条件的好折线的条数为.
综上所述，所求的概率为.
46．（2019·全国·高三竞赛）如图，正六边形的中心为，对、、、、、、这七个点中的任意两点，以其中一点为起点、另一点为终点作向量.任取其中两个向量，以它们的数量积的绝对值作为随机变量.试求的概率分布列及其数学期望.

【答案】见解析
【解析】
【详解】
所作出的向量数为，则可取对向量.设所取向量分别为、.由于，因此，可不考虑向量的方向.不妨令所取两向量的夹角均为它们所在直线的夹角（取值范围为），则任意两向量之间的夹角均属于集合，每个向量的模值属于集合，其中，模为1的个数为12，模为的个数为6，模为2的个数为3.
若，则它们之间的夹角必为，，其概率为.
若，则它们之间的夹角可能为或.当夹角为时，，其概率为；当夹角为时，，其概率为.
若，则它们之间的夹角可能为或.易知其概率分别为
，.
若，，则它们之间的夹角可能为或.易知其概率分别为
，.
若，，则它们之间的夹角可能为或.易知其概率分别为
，.
若，，则它们之间的夹角可能为或.易知其概率为
，.
从而，的概率分布列为表

0

1

2
3








故的数学期望.
47．（2019·全国·高三竞赛）某镇有、、三处茶楼，新来的镇长每天只去三处之一喝茶．已知第一天他去三处的概率同为，且若某天去了处，则下一天分别以、、的概率去、、三处；若某天去了处，则下一天分别以、、的概率去、、三处；若某天去了处，则下一天分别以、、的概率去、、三处．求第天镇长去、、三处的概率．
【答案】
【解析】
【详解】
设第天镇长去、、三处的概率分别为、、．则，且
．
式①可化为．
由知，恒有．
将代入式②可化为，即．
再由可得．
最后，由，可得．
注：令，可得，，．三个概率之比为．
故答案为
48．（2019·全国·高三竞赛）一个袋子中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外，其余都相同.现从中任取两个球.
（1）若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证:必为奇数；
（2）若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率，求满足的所有数组.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【详解】
（1）记“取出两个红球”为事件，“取出一红一白两个球”为事件.
则.
依题意得.则有.
由此得.
因为，所以，为奇数.
（2）记“取出两个白球”为事件，则.
依题意得.则有.
由此得.
从而，为完全平方数.
又由及，得.
所以，

解得（舍）；.
故满足条件的数组为.
49．（2019·全国·高三竞赛）已知100条线段的长度集合，试求从这些线段中任取三条线段能够构成三角形的概率．
【答案】
【解析】
【详解】
易知，，于是，所求问题转化为：从1，2，…，100这100个数中任取三个不同的数，求其中两个较小的数的和大于最大数的概率.事实上，从1，2，…，100中任取三个不同的数，其不同的取法有种.下面求其中两个较小的数的和大于最大数的取法数.
先考虑一般情形：
设表示从1，2，…，这个数中任取三个数且其中两个较小的数的和大于最大数的取法数.易得，，……
在从1，2，…，这个数中，任取三个数且其中两个较小的数的和大于最大数的取法数为两部分的和，即第一部分：最大数不大于，易知，这部分不同的取法有种；第二部分：最大数为，再从1，2，…，这个数中取两个数，且这两个数的和大于.
考虑从1，2，…，这个数中取两个数中较大的数的情形，具体如表1：
表1
较大的数
最小数的可能值
个数

2，3，…，


3，4，…，


4，…，

…
…
…

由此可知，当是偶数时，第二部分的取法数为
.当是奇数时，第二部分的取法数为 .
当为偶数时，得 .
则 .
故
.
因此，从这些线段中任取三条线段能够构成三角形的概率为.
50．（2019·全国·高三竞赛）甲、乙两人做游戏.甲随机选定一个正整数对，乙做如下操作：将分成段，，对每个整数，取或，得到.若，则甲胜；若，则乙胜.求甲胜的概率.
【答案】
【解析】
【详解】
先求的最小值.
对任意的，取.
设，.
则.
显然
故
.
易知，为下凸的.
又，其中，.
由琴生不等式及调整法知，当，，…，两两之间至多相差1时，取最小值.
设.则.故
.
将分别代入上式得
，，
，，
，，，
，
，
.
下面计算甲胜的概率.
显然，当甲所选的数对为，且时，甲取胜.故甲取胜的概率为
.