(新高考)高考数学一轮考点复习2.1《函数及其表示》学案 (含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮考点复习2.1《函数及其表示》学案 (含详解)，共14页。

第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第一节　函数及其表示
核心素养立意下的命题导向
1.以指数函数、对数函数、分式函数及带二次根号的函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养．
2．考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养．
3．与不等式、方程、指数函数、对数函数相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养．


[理清主干知识]
1．函数的概念

函数
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A

2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3．函数的表示方法
函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
5．分段函数的相关结论
(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(相等函数的判断)下列f(x)与g(x)表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝与g(x)＝·
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．y＝x与y＝()2
D．f(x)＝与g(x)＝
答案：B
2．(函数的定义域)函数f(x)＝＋的定义域为________________．
解析：由题意得解得x≥0且x≠2.
答案：[0,2)∪(2，＋∞)
3．(函数的值域)已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为____________．
解析：∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．
答案：{－1,1,3,5,7}
4．(求函数的解析式)已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，依题设得3ax＋3a＋3b＝6x＋4，
∴∴则f(x)＝2x－.
答案：2x－
5．(分段函数求值)已知函数f(x)＝则f的值是________．
解析：由题意可得f＝log2＝－2，
∴f＝f(－2)＝3－2＋1＝.
答案：
二、易错点练清
1．(对函数概念理解不清)已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是(　　)
A．f：x→y＝x　　　　 B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
解析：选C　对于C，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以C不是函数．
2．(忽视自变量范围)设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为__________________．
解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1.当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0,10]．
答案：(－∞，－2]∪[0,10]
3．(忽视新元范围)已知f()＝x－1，则f(x)＝________.
解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
答案：x2－1(x≥0)

考点一　函数的定义域
考法(一)　求函数的定义域
[例1]　(1)函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(－3,0)　　　　　　　 B．(－3,0]
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3,0)
(2)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f＋f的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)∵f(x)＝，∴要使函数f(x)有意义，需使解得－3 (2)由题意得∴
∴≤x≤.故选C.
[答案]　(1)A　(2)C
[方法技巧]
1．根据具体的函数解析式求定义域的策略
已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．
2．求抽象函数的定义域的策略
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
3．求函数定义域应注意的问题
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；
(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．　　
考法(二)　已知函数的定义域求参数
[例2]　若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0,4) B．(0,4)
C．[4，＋∞) D．[0,4]
[解析]　由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则解得0 综上可得0≤m≤4.
[答案]　D
[方法技巧]
已知函数的定义域求参数问题的解题步骤
(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题；
(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．　　

[针对训练]
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]
C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]
解析：选B　要使函数有意义，x需满足解得－1 2．若函数f(x＋1)的定义域是[－1,1]，则函数f(logx)的定义域为________．
解析：∵f(x＋1)的定义域是[－1,1]，∴f(x)的定义域是[0,2]．令0≤logx≤2，解得≤x≤1，∴函数f(logx)的定义域为.
答案：
3．已知函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围是________．
解析：当k＝0时，y＝，满足条件；
当k≠0时，由得0 答案：[0,3)
考点二　求函数解析式
[典题例析]　
(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
[解]　(1)(换元法)令＋1＝t，得x＝，
代入得f(t)＝lg ，又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg ，x∈(1，＋∞)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R.
[方法技巧]　求函数解析式的常用方法
待定
系数法
当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式
换元法
如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式
配凑法
将f(g(x))右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式
解方程
组法
如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式

[针对训练]
1．(换元法)已知函数f(x－1)＝，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝　　　　　 B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：选A　令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝，
即f(x)＝.故选A.
2．(配凑法)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)的解析式．
解：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
3．(解方程组法)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式．
解：∵2f(x)＋f＝3x，①
∴把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②
联立①②可得
解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．
考点三　分段函数
考法(一)　分段函数求值
[例1]　(1)设函数f(x)＝则f(5)的值为(　　)
A．－7　　　　　　　　 B．－1
C．0 D.
(2)(2021·宜昌调研)已知f(x)＝(0 A．－2 B．2
C．3 D．－3
[解析]　(1)f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝.故选D.
(2)由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①
f(－1)＝a－1＋b＝3，②
联立①②，结合0 所以f(x)＝
则f(－3)＝－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.
[答案]　(1)D　(2)B
[方法技巧]
分段函数求值的解题思路
求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．　　
考法(二)　分段函数与方程、不等式结合
[例2]　(1)已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，0]∪(1,2]
C．[0,2] D．(－∞，0]∪[1,2]
[解析]　(1)由题意得a>0.
当0 当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，不成立．
故选D.
(2)当x≥1时，不等式f(x)≤1为log2x≤1，即log2x≤log22，
∵函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，∴1≤x≤2.
当x<1时，不等式f(x)≤1为≤1，
∴－1≤0，∴≤0，∴≥0，
∴x≤0或x>1(舍去)，
∴f(x)≤1的解集是(－∞，0]∪[1,2]．故选D.
[答案]　(1)D　(2)D
[方法技巧]
解分段函数与方程或不等式问题的策略
求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围．　　

[针对训练]
1．已知函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)
A. B.
C．－ D．－3
解析：选A　因为f(3)＝1－log23＝log2<0，所以f(f(3))＝f＝2＝2＝，故选A.
2．(多选)已知函数f(x)＝且f(a)＝1，则实数a的值等于(　　)
A．1 B.
C．－1 D．－
解析：选AD　∵f(a)＝1且f(x)＝
当a≤0时，有f(a)＝a2－1＝1，解得a＝－或a＝(舍去)．
当a>0时，有f(a)＝2a－1＝1，解得a＝1.
综上可得，a＝－或a＝1.故选A、D.
3．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：选D　当a≥0时，不等式可化为a(a2＋a－3a)>0，
即a2＋a－3a>0，即a2－2a>0，解得a>2或a<0(舍去)；
当a<0时，不等式可化为a(－3a－a2＋a)>0，
即－3a－a2＋a<0，即a2＋2a>0，
解得a<－2或a>0(舍去)．
综上，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

创新考查方式——领悟高考新动向
1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　)
A．{0,1,2,3}　　　　　　　 B．{0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
解析：选D　f(x)＝＝＝1＋，
∵2x>0，∴1＋2x>1，∴0<<1，
则0<<2，∴1<1＋<3，即1 当1 当2≤f(x)<3时，[f(x)]＝2.
综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1,2}．故选D.
2．如下折线图统计了2020年2月27日至2020年3月11日共14天全国(不含湖北)新冠肺炎新增确诊人数和新增疑似人数．

记2020年2月27日至2020年3月11日的日期为t(t∈N*)，t的取值如右表.
日期
2.27
2.28
2.29
3.01
3.02
3.03
3.04
t
1
2
3
4
5
6
7








日期
3.05
3.06
3.07
3.08
3.09
3.10
3.11
t
8
9
10
11
12
13
14
新增确诊人数记为f(t)(图中粗线)，新增疑似人数记为g(t)(图中细线)，则下列结论正确的是(　　)
A．f(t)与g(t)的值域相同 B．f(9)>g(10)
C．∃t0∈N*，使f(t0)＝g(t0) D．∀t∈N*，f(t) 解析：选D　由题图纵轴可知f(t)与g(t)的值域不相同；f(9)＝30

3．定义新运算“★”：当m≥n时，m★n＝m；当m 解析：由题意知，f(x)＝当x∈[1,2]时，f(x)∈[－2,0]；当x∈(2,4]时，f(x)∈(4,60]，故当x∈[1,4]时，f(x)∈[－2,0]∪(4,60]．
答案：[－2,0]∪(4,60]
4．若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点M，N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”．已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有________对．
解析：由题意可知，f(x)的“和谐点对”数可转化为y＝ex(x<0)和y＝－x2－4x(x<0)的图象的交点个数．由图象知，函数f(x)有2对“和谐点对”．
答案：2

1．(多选)下面各组函数中是同一函数的是(　　)
A．y＝与y＝x
B．y＝与y＝|x|
C．y＝·与y＝
D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
解析：选BD　选项A中，两个函数的对应关系不同，不是同一函数；选项B中，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数；选项C中，两个函数的定义域不同，不是同一函数；选项D中，两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一函数．故选B、D.
2．若函数f(x)＝则f(f(2))＝(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．4
C．0 D．5－e2
解析：选A　由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1，所以f(f(2))＝1.
3．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，1] B．[－1,1]
C.∪ D.∪
解析：选C　要使函数有意义，需即所以函数y＝的定义域为.
4．(2021·重庆六校模拟)已知函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，则f(2x－1)的定义域为(　　)
A．(－1,0) B．(－2,0)
C．(0,1) D.
解析：选C　∵函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，即－2 5．设函数f(x)＝若f(m)＝3，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．8
C．1 D．2
解析：选D　当m≥2时，由m2－1＝3，得m2＝4，解得m＝2；当0 综上所述，m＝2，故选D.
6．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
解析：选B　令t＝3x＋2，则x＝，所以f(t)＝9×＋8＝3t＋2.所以f(x)＝3x＋2，故选B.
7．(多选)具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A．y＝ln B．y＝
C．y＝ D．y＝sin
解析：选BCD　对于A，令f(x)＝y＝ln ，则f＝ln ＝ln ≠－f(x)，不满足“倒负”变换；
对于B，令f(x)＝y＝，则f＝＝＝－＝－f(x)，满足“倒负”变换；
对于C，令f(x)＝y＝
当01，f(x)＝x，f＝－x＝－f(x)；
当x>1时，0<<1，f(x)＝－，f＝－f(x)；
当x＝1时，＝1，f(x)＝0，f＝f(1)＝0＝－f(x)，
满足“倒负”变换；
对于D，令f(x)＝y＝sin，
则f＝sin ＝sin ＝sin ＝
－sin＝－f(x)，满足“倒负”变换．故选B、C、D.
8．已知函数f(x)＝则满足f(2x＋1) A．(－∞，0] B．(3，＋∞)
C．[1,3) D．(0,1)
解析：选B　由f(x)＝可得当x<1时，f(x)＝1，当x≥1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(1)＝log22＝1，要使得f(2x＋1)3，
即不等式f(2x＋1) 9．已知函数f(2x)＝log2x＋x，则f(4)＝________.
解析：令x＝2，则f(22)＝f(4)＝log22＋2＝1＋2＝3.
答案：3
10.若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________________________．

解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，
所以f(x)＝
答案：f(x)＝
11．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象．

解：(1)由得
解得所以f(x)＝
(2)f(x)的图象如图所示．

12．设函数f(x)＝已知f(a)>1，求a的取值范围．
解：法一：数形结合
画出f(x)的图象，如图所示，作出直线y＝1，由图可见，符合f(a)>1的a的取值范围为(－∞，－2)∪.


法二：分类讨论
①当a≤－1时，由(a＋1)2>1，
得a＋1>1或a＋1<－1，得a>0或a<－2，
又a≤－1，∴a<－2；
②当－11，得a>－，
又∵－1 ③当a≥1时，由－1>1，得0 又∵a≥1，∴此时a不存在．
综上可知，a的取值范围为(－∞，－2)∪.
13.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及函数图象，得
解得m＝，n＝0，∴y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．