(新高考)高考数学一轮复习第22讲《三角函数的图象与性质》达标检测(解析版)

第22讲 三角函数的图象与性质（达标检测）

[A组]—应知应会

1．（春•揭阳期末）若函数的最小正周期为2，则　　

A．1 B．2 C． D．

【分析】根据余弦函数的周期性求解即可．

【解答】解：最小正周期，所以．

故选：．

2．（•北京模拟）下列函数中，最小正周期为的是　　

A． B． C． D．

【分析】由题意利用三角函数的周期性，得出结论．

【解答】解：由于函数不是周期函数，故排除；

由于函数的周期为，故不正确；

由于函数的周期为，故排除；

由于函数的周期为，故正确，

故选：．

3．（春•潍坊期末）若函数的最小正周期为，则　　

A．（2） B．（2） 

C．（2） D．（2）

【分析】根据正切函数的周期公式求出的值，结合正切函数的单调性和取值符号进行比较即可．

【解答】解：函数的最小正周期为，

，得，

即，

则，，（2），

，

（2），

故选：．

4．（春•渭滨区期末）函数的一个对称中心是　　

A． B． C． D．

【分析】根据正切函数的图象与性质，即可得出函数的一个对称中心．

【解答】解：函数中，令，；

解得，；

所以时，的一个对称中心是，．

故选：．

5．（春•南平期末）已知函数，，若函数的图象关于对称，则值为　　

A． B． C． D．

【分析】利用三角函数的对称性，列出方程，结合已知条件求解即可．

【解答】解：函数，，若函数的图象关于对称，

可得，，，

所以，所以．

故选：．

6．（春•徐汇区期末）已知函数的图象关于轴对称，则实数的取值可能是　　

A． B． C． D．

【分析】由题意根据正弦函数的对称性即可求出的一个值．

【解答】解：的图象关于轴对称，

则，，

当时，的一个值是．

故选：．

7．（春•平谷区期末）关于函数，下列命题正确的是　　

A．存在，使是偶函数 

B．对任意的，都是非奇非偶函数 

C．存在，使既是奇函数，又是偶函数 

D．对任意的，都不是奇函数

【分析】根据三角函数的性质，即可判断所给命题的真假性．

【解答】解：对于，当，时，函数是偶函数，所以正确；

对于，当，时，函数是奇函数，所以错误；

对于，不存在，使函数既是奇函数，又是偶函数，所以错误；

对于，，时，函数是奇函数，所以错误．

故选：．

8．（•凉山州模拟）设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，求出两个函数的对称轴，利用对称轴完全相同，求出的值．

【解答】解：由题意，函数，

令，

对称轴；

函数，

令，

对称轴；

又函数与函数的对称轴完全相同，

，．

故选：．

9．（•诸暨市模拟）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是

A． B． C． D．

【分析】求出角的范围，结合正弦函数的单调性，建立不等式关系进行求解即可．

【解答】解：当，时，，，

要使在，上单调递增，

则，得，得，

又，

．

故选：．

10．（•天津二模）若函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】利用余弦函数的单调性和零点，求得的取值范围．

【解答】解：由，，

得，，

即函数的单调递减区间为，，，

在区间，单调递减，

且，

即，得，，

即，，

，

当时，，

由得，

在区间有零点，

满足，

当时，，

得

综上：，

故选：．

11．（多选）（春•和平区校级期中）函数的图象的一条对称轴方程为　　

A． B． C． D．

【分析】由余弦函数的性质，令，，解得：，，讨论即可求解．

【解答】解：令，，则解得：，，

当时，，当时，．

故选：．

12．（多选）（2019秋•鼓楼区校级期末）以下函数在区间上为单调增函数的有　　

A． B． C． D．

【分析】先化简函数的解析式，再利用三角函数的单调性，得出结论．

【解答】在区间上，由于，，故 没有单调性，故排除；

在区间上，由于，，故 单调递增，故满足条件；

在区间上，由于，故没有单调性，故排除；

在区间上，由于 故 单调递增，故满足条件，

故选：．

13．（春•静安区期末）函数的定义域为　　            ．

【分析】直接根据正切函数的定义域，利用整体思想求出的定义域．

【解答】解：令，解得，

故函数的定义域为．

14．（春•隆回县期末）函数的周期为　　    ．

【分析】直接利用周期公式求解即可．

【解答】解：函数，的最小正周期是：．

故答案为：．

15．（•鼓楼区校级模拟）已知函数的图象关于点，对称，则的值是　　    ．

【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性，求出的值．

【解答】解：函数的图象关于点，对称，

，，

则，

故答案为：．

16．（春•厦门月考）已知函数图象的一个对称中心为，一条对称轴为，且的最小正周期大于，则　　    ．

【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．

【解答】解：的最小正周期大于，

所以，解得．

函数图象的一个对称中心为，

所以，①，

函数的图象的一条对称轴为，

所以，②，

②①得：，，

整理得，

由于，

所以．

代入①得：，当时，

解得．

故答案为：．

17．（春•西城区校级期末）已知函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的最小正周期；

（Ⅲ）求函数的单调递增区间．

【分析】（Ⅰ）由已知可求即可得解；

（Ⅱ）利用正弦函数的周期公式即可求解；

（Ⅲ）利用正弦函数的单调性即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）由于函数，可得；

（Ⅱ）的最小正周期；

（Ⅲ）令，，可得：，，可得函数的单调递增区间为：，，．

18．（春•永济市期中）已知函数．

（1）判断函数的奇偶性和周期性；

（2）若，求的取值集合．

【分析】（1）由题意利用正弦函数的奇偶性和周期性，得出结论．

（2）分类讨论，结合正弦函数的图象，求得的值．

【解答】解：（1）因为，所以是奇函数，

又因为，所以函数的周期是．

（2）由（1）知函数的周期是，当时，，

，，，，所以，；

当时，，

，，，，所以，；

当时，，

，，，等式不成立；

当时，，

，，，等式不成立；

综上，满足的的取值集合是．

19．（•山东模拟）在①，②恒成立，③的图象关于点，中心对称这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的存在，求出的范围；若不存在，说明理由．

设函数，，　        　是否存在，使得函数在，上是单调的？

【分析】根据三角函数的图象、单调性、最值和对称性来计算即可得出结论．

【解答】解：①，，

，．此时．

当，

要使得函数在，上是单调的，，．

，．

②恒成立，．

，．此时．

，，，

要使得函数在，上是单调的，，．

，．

③的图象关于点，中心对称，

，，，．此时．

，，．

要使得函数在，上是单调的，，．

，．．

故答案为：①．②．③．

[B组]—强基必备

1．（2019春•闵行区校级期中）对于已知函数，若存在实数，，，，满足，且，，，则的最小值为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】根据余弦函数的性质可知，故而当时，取得最小值．

【解答】解：：，

，，2，，

要使取得最小，

则只需要最大，此时，

且在，上只有4对实数，使得，

此时令，，2，3，，5，则．

故的最小值为5．

故选：．

2．（•徐州模拟）函数的图象与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为，，，，，，在点列中存在三个不同的点、、，使得△是等腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大组成的数记为，则　　．

【分析】令，可求对称轴方程，进而可求，，，的坐标，由△是等腰直角三角形可知直线的斜率之积为可求，进而可求的值．

【解答】解：由，得，，

由题意得，，，，，

即，，，，，，，，

由△是等腰直角三角形，

得，

即，得，

同理△是等腰直角三角形得，得．

同理△是等腰直角三角形得，得从而有．

则，

故答案是：．