(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第38讲《空间几何体的结构特征及表面积与体积》（讲）（解析版）

第38讲 空间几何体的结构特征及表面积与体积（讲）

思维导图

知识梳理

①特殊的四棱柱

②多面体的关系：

(2)旋转体的结构特征

2．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

4．空间几何体的表面积与体积公式

题型归纳

题型1    空间几何体的结构特征

【例1-1】给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是(　　)

A．0　　　　　　　　　 B．1

C．2  D.3

【解析】　①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

【答案】A

【跟踪训练1-1】下列命题正确的是(　　)

A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台

D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

【解析】　如图所示，可排除A、B选项．对于D选项只有截面与圆柱的母线平行或垂直，截得的截面才为矩形或圆，否则截面为椭圆或椭圆的一部分，故选C.

   【答案】C

【跟踪训练1-2】(多选)给出下列命题，其中真命题是(　　)

A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直

C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

D．存在每个面都是直角三角形的四面体

【解析】　A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形．

  【答案】BCD

【名师指导】

辨别空间几何体的2种方法

题型2    空间几何体的表面积

【例2-1】(1)(2019·四川泸州一诊)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　)

A．(5＋)π　　　　　　　　 B．(4＋)π

C．(5＋2)π  D.(3＋)π

 (2)(2020·河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　)

A．4＋4　　　　　 B．4＋4

C．12  D.8＋4

 [解析]　(1)∵在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱挖去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥，∴该几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×＝(5＋)π.故选A.

(2)连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4.

[答案]　(1)A　(2)A

【跟踪训练2-1】在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.

【解析】将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)．

【答案】2 600π

【名师指导】

求解几何体表面积的类型及求法

题型3    空间几何体的体积

【例3-1】(2019·江苏南通联考)已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D­BB1C1的体积为________．

 [解析]　如图，取BC中点O，连接AO.∵正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长均为2，∴AC＝2，OC＝1，则AO＝.

∵AA1∥平面BCC1B1，∴点D到平面BCC1B1的距离为.

又S＝×2×2＝2，∴V＝×2×＝.

[答案]　

【例3-2】(1)(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.

 (2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．

[解析]　(1)由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，

故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3)．

又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，

所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，

所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．

(2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，BF，易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，则△BHC中BC边的高h＝.∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，∴V多面体＝VE­ADG＋VF­BHC＋VAGD­BHC＝2VE­ADG＋VAGD­BHC＝×××2＋×1＝.

[答案]　(1)118.8　(2)

【例3-3】如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为(　　)

A.   B.

C.  D.

[解析]　易知三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，又三棱锥A­B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.

[答案]　A

【跟踪训练3-1】如图，正四棱锥P­ABCD的底面边长为2 cm，侧面积为8 cm2，则它的体积为________cm3.

【解析】记正四棱锥P­ABCD的底面中心为点O，棱AB的中点为H，连接PO，HO，PH，则PO⊥平面ABCD，因为正四棱锥的侧面积为8 cm2，所以8＝4××2×PH，解得PH＝2，在Rt△PHO中，HO＝，所以PO＝1，所以VP­ABCD＝·S正方形ABCD·PO＝4 cm3.

【答案】4

【跟踪训练3-2】如图，已知体积为V的三棱柱ABC­A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一点，则四棱锥P­AA1C1C的体积为________．

【解析】如图，把三棱柱ABC­A1B1C1补成平行六面体A1D1B1C1­ADBC.设P到平面AA1C1C的距离为h，则V＝S·h＝V＝·2V＝.

【答案】

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求空间几何体的体积的常用方法

题型4    与球有关的切、接问题

【例4-1】(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P­ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　　)

A．8π  B．4π

C．2π  D.π

[解析]　法一：∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB.

∵∠CEF＝90°，∴EF⊥EC，∴PB⊥EC，

又∵三棱锥P­ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC，从而PB⊥平面PAC，∴三条侧棱PA，PB，PC两两垂直．

∵△ABC是边长为2的正三角形，∴PA＝PB＝PC＝，

则球O是棱长为的正方体的外接球，设球O的半径为R，

则2R＝×，R＝，∴球O的体积V＝πR3＝π.故选D.

法二：令PA＝PB＝PC＝2x(x>0)，则EF＝x，连接FC，由题意可得FC＝.在△PAC中，cos∠APC＝＝.

在△PEC中，EC2＝PC2＋PE2－2PC·PEcos∠EPC＝4x2＋x2－2×2x·x·＝x2＋2，在△FEC中，∵∠CEF＝90°，∴FC2＝EF2＋EC2，即x2＋2＋x2＝3，∴x＝，∴PA＝PB＝PC＝2x＝.

∵AB＝BC＝CA＝2，∴三棱锥P­ABC的三个侧面为等腰直角三角形，∴PA，PB，PC两两垂直，故球O是棱长为的正方体的外接球，设球O的半径为R，则2R＝×，R＝，∴球O的体积V＝πR3＝π.故选D.

[答案]　D

【例4-2】(1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．

(2)已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．

[解析]　(1)设圆柱内切球的半径为R，

则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，

故＝＝.

(2)如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，

∵△ABC是正三角形，

∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．

∵AB＝2，∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝.

∴S表＝3××2×＋3＝3＋3.

∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝×3×1＝.

设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，

则r＝＝－1.

[答案]　(1)　(2)－1

【跟踪训练4-1】(2019·四川成都一诊)如图，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，AF＝FG＝BG＝1.现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为(　　)

A．24π  B．6π

C.π  D.π

【解析】　由题意可知，折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱柱，底面等边三角形外接圆的半径为×＝.因为三棱柱的高为BC＝2，所以其外接球的球心与底面外接圆圆心的距离为1，则三棱柱外接球的半径为R＝＝，所以三棱柱外接球的表面积S＝4πR2＝.故选C.

【答案】C

【跟踪训练4-2】(2019·广东中山一中七校联合体联考)在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________．

【解析】由题意知，当球与四棱锥各面均相切，即内切于四棱锥时球的半径最大．作出其侧视图，如图所示．易知球的半径r＝(2－)a.

【答案】(2－)a

【名师指导】

解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：