(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第30讲《平面向量的数量积》（讲）（解析版）

第30讲 平面向量的数量积（讲）

思维导图

知识梳理

1．向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．

(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.

(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．

2．平面向量的数量积

3.向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

4．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

题型归纳

题型1    平面向量数量积的运算

【例1-1】（2020春•南岗区校级期末）已知向量，满足，，则　　

A．0 B．2 C．3 D．4

【分析】根据平面向量数量积的运算法则即可得解．

【解答】解：．

故选：．

【例1-2】（2020春•临渭区期末）在中，为线段的中点，，，则　　

A． B． C．3 D．4

【分析】以，为基底，分别表示，，即可求解．

【解答】解：为线段的中点，，，

又，，则，．

．

故选：．

【跟踪训练1-1】（2020春•泉州期末）平行四边形中，，，，是线段的中点，则　　

A．0 B．2 C．4 D．

【分析】根据条件即可得出，，从而得出，然后进行数量积的运算即可．

【解答】解：如图，根据题意：，，且，，，

．

故选：．

【跟踪训练1-2】（2020春•道里区校级期末）已知，满足，，的夹角为，则　　     ．

【分析】直接利用向量的数量积公式化简求解即可．

【解答】解：，满足，，的夹角为，

．

故答案为：．

【名师指导】

求非零向量a，b的数量积的3种方法

题型2    平面向量数量积的应用

【例2-1】（2020春•北海期末）已知向量，的夹角为，，，则　　

A．1 B． C．3 D．2

【分析】利用向量的数量积公式求将求出的值代入代数式即得．

【解答】解：向量，的夹角为，，

．

则，

故选：．

【例2-2】（2020春•广东期末）已知平面向量，，，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

【分析】根据条件可求出，，然后即可求出的值，从而得出与的夹角．

【解答】解：，，

，且，

．

故选：．

【例2-3】（2020•太原二模）已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则　　

A． B． C． D．

【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，求得的值．

【解答】解：是两个非零向量，其夹角为，若，

则，

．

，

，

．

则，

故选：．

【跟踪训练2-1】（2020春•黔南州期末）已知向量，满足，，，，则　　

A．2 B．3 C．4 D．6

【分析】根据平面向量数量积的运算法则即可得解．

【解答】解：因为，，所以．

故选：．

【跟踪训练2-2】（2020春•赤峰期末）已知，是单位向量，若，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

【分析】由题意利用两个向量数量积公式，求出与的夹角的余弦值，可得它的与的夹角．

【解答】解：已知，是单位向量，若，设与的夹角为，

，

即，求得，，

故选：．

【跟踪训练2-3】（2020春•新余期末）已知向量、满足，，向量，的夹角为，则的值为　　

A．4 B．3 C．2 D．

【分析】根据条件可求出，从而根据即可求出答案．

【解答】解：，且，

．

故选：．

【跟踪训练2-4】（2020春•广州期末）已知，，若，则　　  ．

【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式求出的值，可得的值．

【解答】解：已知，，若，

则，，

则，

故答案为：．

【跟踪训练2-5】（2020春•金安区校级期末）已知向量，，且，则　　

A． B． C．6 D．8

【分析】利用平面向量坐标运算法则求出，再由，利用向量垂直的性质能求出的值．

【解答】解：向量，，

，

，

，

解得．

故选：．

【跟踪训练2-6】（2020•临汾模拟）已知向量，，向量在向量方向上的投影为．若，则实数的值为　　

A． B． C． D．

【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得实数的值．

【解答】解：向量，，向量在向量方向上的投影为，

，

若，则，

，

故选：．

【跟踪训练2-7】（2020春•咸阳期末）已知向量，，若，则实数的值为　　

A． B．1 C． D．2

【分析】利用平面向量坐标运算法则，求出，再由，能求出实数的值．

【解答】解：向量，，

，

，

，

解得实数．

故选：．

【跟踪训练2-8】（2020春•密云区期末）已知向量与的夹角为，，，当时，实数为　　

A．1 B．2 C． D．

【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出的值．

【解答】解：向量与的夹角为，，，

由知，，

，

，

解得．

故选：．

【跟踪训练2-9】（2020春•垫江县校级期末）已知，，且，则　　．

【分析】推导出，，由此能求出结果．

【解答】解：，，且，

，

，

．

故答案为：．

【跟踪训练2-10】（2020•徐州模拟）已知，，若，则实数的值为　  　．

【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值．

【解答】解：已知，，．

若，，，，

则实数，

故答案为：5．

【跟踪训练2-11】（2020•江苏模拟）在中，，若角的最大值为，则实数的值是　  　．

【分析】由得出，设三角所对的边分别为、、，求出，再利用角的最大值得出方程求出的值．

【解答】解：中，，

所以，

即，

所以，

设三角所对的边分别为、、，

则，

所以，

若角的最大值为，

则，

令，解得．

故答案为：3．

【名师指导】

1.求平面向量模的2种方法

2.求平面向量夹角的2种方法

3．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题

若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．

4．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值

根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．

题型3    平面向量与三角函数的综合问题

【例3-1】（2020春•辽阳期末）已知向量，，向量，，函数．

（1）求的最大值；

（2）若，是关于的方程的两根，且，求及的值．

【分析】（1）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，结合三角函数的最值求解即可．

（2）利用方程的根，推出三角函数关系式，然后转化求解表达式的值即可．

【解答】解：（1）向量，，向量，，

函数，

所以函数的最大值为2．

（2），是关于的方程的两根，即与，，

是关于的方程的两根，所以，，

因为，所以，解得．

所以．

【例3-2】（2020春•北海期末）已知向量，，函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，，时，求函数的最值．

【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解即可．

（2）通过的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可．

【解答】解：（1）．

由，，

可得，，

单调递增区间为：，．

（2）若．

当，时，，

即，则，

所以函数的最大值、最小值分别为：，．

【跟踪训练3-1】（2020春•湛江期末）已知向量，，，．

（1）若，求的值；

（2）若，则函数的值域．

【分析】（1）根据平面向量平行的坐标运算以及二倍角公式进行求解即可；

（2）先结合平面向量数量积的坐标运算和辅助角公式将函数化简为，再结合正弦函数的图象与性质求解即可．

【解答】解：（1），，，即，

，，．

（2），

，，．

函数的值域为．

【跟踪训练3-2】（2020春•沈阳期末）已知，．

（1）若，求向量在向量方向的投影的数量．

（2）若，且，求向量的坐标．

【分析】（1）先将等式的左边展开化简运算可得，再根据平面向量数量积的定义求解即可；

（2）把代入的坐标中可得向量，设，根据平面向量的模长和数量积的运算法则可列出关于和的方程组，解之即可．

【解答】解：（1），

，

向量在向量方向的投影的数量为．

（2），，，，

设，则①，

，②，

由①②解得，或．

故向量的坐标为或．

【名师指导】

向量与三角函数综合问题的特点与解题策略

(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．

(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解．

(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误．